Los seis primeros libros, y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides/Advertencias

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Los seis primeros libros, y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides (1774) de Euclides
traducción de Roberto Simson
Libro I

ADVERTENCIAS
SOBRE ESTA TRADUCCION.

I.
Fin de esta Obra.
DEsde que se dignó el Rey confiar la Inspeccion General de su Infantería al Excelentísimo Señor Conde de O-Reilly, es notorio el constante esmero, con que ha fomentado el estudio de la juventud, y las muchas ventajas que de esto han resultado; y para el logro de sus grandes ideas á beneficio del servicio, fue uno de sus principales cuidados la acertada eleccion de libros elementales; y reconociendo desde luego, que uno de los mas necesarios, y oportunos era una exacta, y completa Geometría, y que ninguna obra de este género sería tan util para el intento, como una buena Traducción Española de los mismos Elementos de Euclides hecha de nuevo sobre la mejor version latina de este Autor, que es la de Federico Comandino, conforme á la correctísima edicion de ella modernamente publicada en Inglaterra, revista, corregida, y anotada por Roberto Simson célebre Profesor de Matemáticas en la Universidad de Glasgow, dispuso, que se trabajase esta Obra con el mayor cuidado, y diligencia.

II.
Su utilidad
Euclides es para los Matemáticos lo que Hipócrates para los Médicos; Príncipe de la Facultad, Maestro, modelo, y original de quantos le han succedido. Sus Obras, en especial la de los Elementos, siempre ha sido apreciadas, estudiadas, y traducidas en todas lenguas, países, Naciones, y siglos; aun en el presente, en que parece, que la nueva Geometría de Descartes, la invencion de la Algebra, y su aplicacion á la Geometría, con otros descubrimientos importantes, que han ido succesivamente enriqueciendo, y perfeccionando estas Ciencias, haciendo casi mudar de semblante á la misma Geometría antigua, habian de disminuir el crédito, y concepto de universal utilidad, que lograba esta Obra, conserva aún entera su reputacion de la mas exaƈta, y acabada en su linea; y por consiguiente de la mas propia para la enseñanza: siendo forzoso confesar, que en qualquiera Ciencia el estudio de los Autores originales, y primitivos es el mas á propósito para cimentarse bien en ella; y tal vez bien considerado, si no la única senda, á lo menos la mas breve, segura, y recta para llegar á la perfeccion. Esto, que la experiencia acredita generalmente, tiene aun mas lugar en la Geometría. El orden, y riguroso método sintético de demostrar, que sigue Euclides, aunque á primera vista prolixo, y espinoso, es muy acomodado á la índole, y modo de proceder del entendimiento humano, y tiene las imponderables ventajas de rectificar el espíritu de los jóvenes, acostumbrados á discurrir con solidez, y escrupulosa exâctitud, y fixar su atencion con la seria, y continua meditacion, que necesariamente pide la cadena de ideas, y Proposiciones, en que se funda; de modo, que no solo los hace Geómetras, sino que insensiblemente los vá habituando á ser excelentes Lógicos; requisito muy necesario, así para hacer progresos en las Ciencias, singularmente en las exâctas, como para manejarse acertadamente en todos los negocios, y ocurrencias de la vida. Sus utilidades se hallarán bien probadas en las Notas con exemplos de los escollos, en que han dado muchos, aun de los mas ilustres modernos, por quererse desviar de él, baxo pretexto de seguir otro rumbo mas natural, facil, y corto; y tambien allí se encontrarán plenamente satisfechos los reparos, y objeciones, que contra él se alegan. Solo añadirémos aquí en su recomendacion lo que pensaba el gran Newton [1], quien sin embargo de que con su sublime genio era capaz de haber creado por sí solo la Geometría, se dolía mucho de no haberse radicado bien en su primera edad en los Elementos de Euclides, antes de pasar á las partes sublimes de la Matemática; y reprobaba, que los Geómetras modernos abandonasen el estudio, y uso del método sintético de los antiguos, conténtándose con solo el cálculo algebráico. Despues de un testimonio tan honorífico, y de tanto peso, parece ocioso recordar el exemplo de Wolfio, que por consejo del insigne [2] Leibnitz se ciñó religiosamente al método de Euclides; ni el estrecho encargo, que hace el mismo Wolfio [3] á todos los Matemáticos de imponerse fundamentalmente con la mayor, diligencia en esta Obra: y repetir, que los Ingleses, entre quienes la Matemática logra un cultivo tan superior, y universal, acaban de publicar el año de 1758 [4] para uso de una de las mas florecientes Universidades de aquel sabio Reyno, y á expensas del famoso Conde de Stanhope, la edicion, que nos ha servido de texto, y estimulado vivamente á publicar esta; en la firme persuasion de que no puede dexar de ser muy provechosa la de todos los Escritores clásicos antiguos.

A la verdad no faltaban traducciones Castellanas de Euclides; la de Rodrigo Zamorano publicada en Sevilla el año de 1579 es una de las mas antiguas: pero ademas de contener solo los seis Libros primeros, es de un estilo antiquado, y obscuro. Otras varias Obras posteriores de la misma clase ó adolecen de semejantes defectos, y por lo comun se hicieron todas sobre textos incorreƈtos, y alterados, ó mas bien son compendios, y rudimentos de Geometría arreglados al método del Geómetra Griego, que exâƈta, y puntual version suya; de modo que en el dia son de cortísimo, ó ningun provecho: ademas que las Notas, el cotejo hecho por el editor Inglés del texto con todos los Códíces, versiones, ediciones, y comentarios con el fin de enmendarlo, y restituirlo á su primera integridad, y pureza, constituyen su Obra tan distinta de las demas, como superior á ellas en perfeccion, y exâƈtitud. ¡Así pudiéramos lisongearnos del desempeño de nuestro trabajo, como estamos seguros del acierto de la eleccion!

Mas con todo esto no pretendemos negar, que en los Elementos haya muchas Proposiciones dificultosas, y de poquísimo uso en el dia; pero el primer inconveniente lo vencerá la aplicacion, y la viva voz del Maestro; y el segundo es transcendental aun á las Obras modernas de cálculo, en las quales se halla mucho mayor número de Proposiciones aun menos útiles, y mas enredosas.

El artificio del Libro V es tan maravilloso, y la doctrina de las razones contenida en él tan imuportante, que se puede considerar como el alma de la Geometría: por eso, aunque bastantemente intrincado, y reputado por algunos inutil, hoy que por el cálculo se pueden demostrar sus Proposiciones con mucha mayor facilidad, de ningun modo pareció conveniente suprimirlo: además, que no sería justo mutilar la Obra. Véase el ventajoso juicio, que de este Libro hace Barrow en las Notas.

III.
Reglas que se han tenido presentes para la traduccion.
Las circunstancias esenciales, que deben concurrir en la traduccion de esta especie de Obras, son suma exâƈtitud, fiel correspondencia con el original, claridad, y concision. La primera ley nunca admite disculpa, y nos hemos ceñido á observarla religiosamente: no hemos sido menos escrupulosos en la segunda; pero á veces fue indispensable apartarse algo del contexto literal, especialmente en las enunciaciones de las Proposiciones de los Libros II, y V, ya abreviando, ya alargando, tal vez suprimiendo, ó substituyendo algunas voces, ó cláusulas, bien para facilitar la inteligencia, bien para evitar repeticiones molestas, que en latin no suenan mal, y sí en nuestra lengua; ó porque los vocablos, y frases del Texto no se acomodaban al modo constante de hablar de los Geómetras Españoles: sin embargo estas licencias han sido muy raras, y por lo comun quando las tomamos se advierte en una Nota; y si se ha creido especial fin, ó energía en la voz, ó frase del original, se conserva, añadiendo su explicacion, ó equivalencia de letra bastardilla. Quando se trata de mayor claridad, no nos hemos detenido en repetir; sacrificando entonces á lo util lo agradable, que en esta clase de escritos no es sino accesorio.

 Concluirémos con algunas definiciones, que parecen necesarias para la mejor inteligencia, y uso de esta Obra, y que no se hallan en el Texto; por ser las mas de ellas de voces, que allí no se usan, y nosotros empleamos por no apartarnos del uso corriente, ni explicar con rodeos lo que se puede con un solo vocablo.

 Adviértase, que estas letras L.Q.D.H. puestas al fin de los Problemas significan: Lo que debía hacerse. Y estas L.Q.D.D. al fin de los Teoremas significan: Lo que debía demostrarse. Y estas otras N.T. Nota del Traduƈtor.


LIBRO I.

ENtre sus Definiciones se han de suplir las siguientes colocadas por el orden, en que se pondrán.


Despues de la DEF. IV.


I.

La linea reƈta tirada de un punto á otro se dice, que junta los dos puntos: y juntar dos puntos dados es tirar una reƈta del uno al otro.


Despues de la DEF. IX. antes de la Nota.


II.

Lados del ángulo son las lineas, que lo contienen.

III.
Vértice del ángulo es el punto de concurso de sus lados.


Despues de la Nota siguiente á la DEF. IX.


IV.
Angulos contiguos son los formados á una, y otra parte de una reƈta, que es su lado común, y tienen los vértices en un mismo punto.


V.

Una reƈta se llama insistente, ó se dice, que insiste insiste sobre otra, quando se termina en ella, hallándose ácia su parte superior.

Despues dé la DEF. X.


VI.
Se dice elevar una perpendicular á una reƈta, quando se tira de un punto dado de ella; y baxarla, quando se tira de un punto dado fuera de ella.


Despues de la DEF. XVI.


VII.
Radio del círculo es la reƈta tirada del centro á qualquier punto de la circunferencia.


Despues de la DEF. XVII.


VIII.

Arcó del círculo es una parte, ó porcion qualquiera de la circunferencia del círculo.

IX.
Cuerda, ó subtensa de un arco es la reƈta tirada de uno de los extremos del arco al otro extremo.


Despues de la DEF. XXIII.


X.
Las figuras multiláteras en general se llaman polígonos. El polígono de cinco lados se llama pentágono. El de seis hexâgono. Y el de quince pentadecágono, ó quindecágono.


Despues de la DEF. XXIX.


XI.
Base del triángulo es qualquiera de los lados, en que se concibe estribar: pero en el isósceles se entiende comunmente por base el lado desigual á los demás: y en el reƈtângulo el lado opuesto al ángulo reƈto.
XII.
Quando á un lado se le llama base, se comprehenden los otros baxo el nombre general de lados.


XIII.
Angulo vertical, ó vértice de un triángulo es el ángulo opuesto á la base.


Despues de la DEF. XXXIV.


XIV.
Diagonal de un quadrilátero (que en latin se llama diameter, como el del círculo) es la reƈta tirada del vértice de qualquier ángulo del quadrílátero á su opuesto.


Despues de la DEF. última.


XV.
Paralelogramo es el quadrilátero, que tiene cada dos lados opuestos paralelos entre sí.
Despues de la PROP. XXV.


XVI.
Lado adyacente a dos ángulos es el lado comun á ellos: y ángulos adyacentes á una reƈta son los que la tienen por lado comun.


LIBRO II.


Despues de las DEFINICIONES.
XVII.
A Las partes de toda magnitud geométrica llamamos segmentos.


LIBRO III.


Despues de la DEF. X.


XVIII.
QUadrante del círculo es el sector de círculo, que es mitad del semicírculo.
LIBRO XI.


Despues de la DEF. XVII.


XIX.
HEmisferio es la mitad de la esfera.
PROLOGO
DE ROBERTO SIMSON.

MUchos, y distantísimos son los pareceres de los modernos acerca del verdadero Autor de los Elementos de Geometría, que corren baxo el nombre de Euclides. Pedro Ramos atribuye tanto las Proposiciones de ellos, como sus Demostraciones á Theon; algunos á este solo le dán las Demostraciones, dexando las Proposiciones á Euclides; y finalmente otros, entre quienes merecen el primer lugar los doƈtísimos Juan Butéo, y Enrique Savilio, defienden acérrimamente ser Euclides Autor de ambas cosas, siendo esta opinion seguida por la mayor parte de los posteriores Geómetras. Despues de alegar Savilio varios argumentos á favor de este su dictamen, de ellos infiere no haber hecho Theon otra cosa que interpolar, explicar, y adicionar á Euclides, y aun eso en poquísimos pasages: pero yo por medio de un continuo examen, y cotejo de las demostraciones, que al presente se hallan en Euclides, he reconocido, que Theon, ó quien quiera que fue el editor del Texto Griego que hoy tenemos, mudó, empeorándolas muchas mas cosas de las que creen los citados sabios con otros; ya añadiendo, ya quitando, ó mezclando cosas propias suyas, especialmente en los Libros V, y X, que alteró notablemente el editor: como quando substituye en vez de la legítima demostracion de la Proposicion XVIII del Libro V una mas breve, pero paralogística; y quando quita del mismo Libro entre otras cosas la excelente Definicion de la razon compuesta, que dió Euclides, ó Eudoxô, para poner en su lugar una absurda, qual es la V del Libro VI, de que ni Euclides, ni Arquímedes, ni Apolonio, ni ningun otro Geómetra anterior á Theon se valieron jamás. Esta Definicion, que suele por sí sola dar mucho que hacer á los principiantes, la hemos omitido en los siguientes Elementos, supliéndola con otra, conforme sin duda á la que había dado Euclides, y la colocamos entre las Definiciones del Libro V para facilitar la inteligencia de la razon compuesta. Además de este error ocurre entre las Definiciones del Libro XI otro, en la que dice así: "iguales, y semejantes figuras sólidas son las contenidas por planos semejantes iguales en número, y magnitud; " pues esta Proposicion no es Definicion, sino Teorema, porque la igualdad de qualquiera figura se ha de demostrar, y no suponer; así dicha Proposicion debía demostrarse, aun quando fuese cierta; pero tampoco lo es, sino en el caso en que los ángulos sólidos de las figuras están contenidos por solos tres ángulos planos; pues en otros pueden dos figuras sólidas contenidas por planos semejantes iguales en número, y magnitud ser entre sí desiguales, como se demostrará claramente en las Notas añadidas al fin de esta Obra. Es igualmente falsa la suposicion, que se hace en la demostracion de la Proposicion XXVI del Libro XI, de que son la entre sí iguales dos ángulos sólidos, quando están contenidos por dos ángulos iguales en número, y magnitud; no verificándose esto siempre así, sino únicamente quando los ángulos sólidos están contenidos tan solo por tres ángulos planos: ni hasta entonces se ha trahido en los Elementos demostracion alguna de dicho caso, aunque muy necesaria. = De la Definicion X penden las Proposiciones XXV, y XXVIII del Libro XI; y de la Proposicion XXV, ó de la XXVI penden otras ocho; es á saber las Proposiciones XXVII, XXXI, XXXII, XXXIII, XXXIV, XXXVI, XXXVII, y XL del mismo Libro; y la XII del XII pende de la VIII del mismo; y la misma VIII, el Corolario de la XVII, y la Proposicion XVIII del Libro XII penden de la Definicion IX del Libro XI, que no es buena, porque puede haber figuras sólidas contenidas por planos semejantes, é iguales en número, que sean desemejantes entre sí; por conseqüencia toas las mencionadas Proposiciones estriban hasta entonces en un fundamento falso: otras muchas cosas hay que parece imposible sean de Euclides, y manifiestan suficientemente, que los Elementos de este Autor han sido viciados por algunos ignorantes de la Geometría; pues aunque estos yerros no sean tan crasos como los anteriormente especificados, con todo necesitan indispensablemente de correccion; y todos se advertirán puntualmente al fin de la Obra.

Por estas razones me ha parecido, que sería importantísimo, y al mismo tiempo muy grato á los eruditos, en particular á los aficionados á las demostraciones exâƈtas de Geometría, quitar á estos Libros, los principales de los Elementos de Euclides, unos lunares, que tanto los afeaban, restituyéndolos á su antigua correccion, en quanto alcanzasen mis talentos; sobre todo por ser el fundamento de una Ciencia tan util para muchas cosas, como necesaria para algunas facultades, y para casi todas las artes, así de la Paz, como de la Guerra; y con cuyo auxîlio se promueve la investigacion de la verdad, hasta donde lo permite la debilidad del espiritu humano. A esto hemos tirado, quitando las cosas falsas, y nada exâƈtas, que dieron por legítimos, y verdaderos escritos del mas diligente de los Geómetras sus ignorantes Editores, y restituyendo á Euclides lo que le robaron, ó cercenaron Theon, y otros; y ha permanecido muchos siglos sepultado en el olvido.


  1. Doluit ideo ipse vir summus Isaacus Newtonus, quod cum se studio Mathematico totum daret, ad Cartesii Geometriam, aliosque scriptores algebraicos statim progressus fuisset, antequam Elementa Euclidis eâ attentione expendisset, quam merentur; nec probavit, quod bodio Geometræ methodum syntheticam Veterum prorsus negligant, & in solis calculis algebraicis acquiescant; quemadmodum ex ore ipsius bausta refert Henricus Pemberton in Præfatione ad conspectum Philosophiæ Newtoni, quem patrio sermone edidit. Wolfius. Elementa Mathæseo universæ, tom. 5. pag. 194. in Commentatione de studio Mathematiico recte instituendo, cap. 2. §.101.
  2. Præter nos alii etiam Mathematici agnoverunt reformatores Elementorum Euclidis non fuisse in ausu suo satis felices, sed Euclidis Elementis palmam adbuc meritò tribuendam esse. Memini hanc fuisse Leibnitzio sententiam, cum me inviseret, dum Elementis Geometriæ concimnandis operm darem, ipsique referrem, me multiplici modo tentasse, ut eo ordine Elementa Geometriæ digererem, quo usus est Bernardus Lamy, sed nunquam hoc fieri potuisse, nisi quædam assumerem absque demonstratione quœ essen demonstranda, vel in demonstrando, ac definiendo admitterem confusè tantummodo percepto. Wolfius inc Commentatione de præciputs scriptis Mathematicus, cap. 3.§. 8.
  3. Firmum item ratumque manet, qui intelleƈtus perficiendi gratiæ ad Mathæsim accedit, ei demonstrationes Euclideas omni curâ, ac solicitudine expendendas esse. Idem Wolfius, ibid. §.102.
  4. Ya antes el año de 1715 había publicado Juan Keil en Oxford una edicion de los Elementos de Euclides de la misma version de Comandino, con el fin de atraher á los Geómetras al estudio de dicha Obra; y en el Prólogo reprehende amargamente á los que censuran á Euclides, y disuaden á los jóvenes de su estudio. Wolfio en la Disertacion ya citada sobre los principales Escritos de Matemática.