nos hace dar un paso más. En cierta medida aún puede probarse dicha tautología diciendo: el todo es lo que se compone de partes; una parte es aquello cuya pluralidad constituye un todo; en consecuencia, la parte es más pequeña que el todo. La vacuidad de semejante repetición muestra mejor aún el vacío del contenido.
2.º Dos magnitudes iguales a una tercera, son iguales entre sí. Semejante proposición, como ha mostrado Hegel, es una conclusión cuya exactitud está garantida por la lógica y que por tanto, se prueba aun fuera de las matemáticas puras. Los demás axiomas acerca de la igualdad y la desigualdad, no son sino simples consecuencias lógicas de esta conclusión.
Estas proposiciones no llegan a conclusión alguna en matemáticas ni en cosa alguna. Para ir más lejos, se necesita que entren en consideración relaciones reales, relaciones y formas espaciales derivadas de cuerpos reales. La representación de líneas, de superficies, de ángulos, de polígonos, de cubos, de esferas, etc., se sacan de la realidad y se necesita mucho candor ideológico en los matemáticos para creer que la primera línea ha nacido del movimiento de un punto en el espacio, la primer superficie del movimiento de una línea, el primer cuerpo del movimiento de una superficie, etc. Ya la misma lengua se rebela contra semejante idea: una forma matemática de tres dimensiones, se llama cuerpo, corpus solidum en latín, es decir, un cuerpo palpable; lleva, pues, un nombre que viene, no de la libre imaginación del espíritu, sino de la realidad sólida y tangible.
Mas ¿para qué tantos ambages? Después que el Sr. Dühring ha cantado con fervor (páginas 42 y 43) la independencia de las matemáticas puras respecto del mundo de la experiencia; su carácter à priori, su elaboración como creaciones libres y originales del espíritu, dice en la página 63: «Se olvida muy fácilmente que estos ele-
