Almagesto: Libro XII - Capítulo 04

De Wikisource, la biblioteca libre.
Capítulo Anterior Contenidos Capítulo Siguiente

{Demostración del [Movimiento] Retrógrado de Marte}

Nuevamente, en el caso de Marte [ver Fig. 12.10], de acuerdo a nuestros cálculos, en la distancia media [más] cercana,

ΘZ / ZG = 1 / 0;52,51 [1],
y EG / GZ = 2;52,51 / 0;52,51,
entonces EG * GZ = 2;32,15.
Además, GA / AH = 60 / 39;30,
y DG / GH = 99;30 / 20;30,
entonces DG * GH = 2039;45.

Dividiendo [2039;45 por 2;32,15], nos da 803;50,50 [2], cuya raíz cuadrada es, 28;21,8, multiplicada por la proporción de arriba de ΘZ / ZG, da, en términos de los tamaños anteriores de GA y AZ [por ej. 60 y 39;30],

ΘZ = 28;21,8p,
GZ = 24;58,25p en las mismas unidades,
y, por suma, GΘ = 53;19,33p.

Por lo tanto, en unidades donde las hipotenusas AZ y AG son cada una de 120p [respectivamente],

ZΘ = 86;8,0p
y GΘ = 106;39,6p.

Fig. 12.10
Fig. 12.10
Fig. 12.10

Los arcos correspondientes son

arco ZΘ = 91;44,34º
y arco GΘ = 125;26,10º.
Por consiguiente el ^ ZAΘ = 45;52,17º
y el ^ GAΘ = 62;43,5º.

Y, por sustracción, el ^ ZGA, que representa el [Movimiento] Retrógrado debido a la velocidad del planeta, es de [90º - ^ GAΘ =] 27;16,55º, y el ^ ZAH, que representa el [movimiento en] anomalía, es de [^ GAΘ - ^ ZAΘ =] 16;50,48º. A la cantidad reciente le corresponden 19;7,33º en movimiento [medio] longitudinal, de acuerdo a la proporción anterior [de las velocidades, de 1 / 0;52,51]. De este modo

la mitad del [movimiento] retrógrado es de [27;16,55º - 19;7,33º =] 8;9,22º y alrededor de 36 ½ días.
Y el [movimiento] retrógrado total es de 16;18,44º y 73 días.

[Por consiguiente] la distancia en la elongación de las [Posiciones] Estacionarias desde el apogeo y desde el perigeo es [respectivamente] alrededor de 0;20p de la distancia media [por ej. 60p] menor que la máxima distancia, y alrededor de la misma cantidad mayor que la mínima distancia [3].

De acuerdo a nuestros cálculos dado que cerca de la máxima distancia, la ecuación correspondiente a un argumento de 1º para la corrección [de las velocidades] es hallada ser de 10 ⅓' [4]. Por lo tanto

ΘZ / ZG = 0;49,40 / 1;3,11,
EG / GZ = 2;42,31 / 1;3,11,
y EG * GZ = 2;51,8.
Además, GA / AH = 65;40 / 39;30,
DG / GH = 105;10 / 26;10,
y DG * GH = 2571;51,40.

Y, cuando dividimos [2751;51,40 por 2;51,8], nos da 964;48,47, cuya la raíz cuadrada es, 31;3,41, multiplicada por la proporción anterior de ΘZ / ZG, da, en términos de los tamaños de arriba de GA y AZ [por ej. 65;40 y 39;30],

ΘZ = 25;42,43p,
GZ = 32;42,34p,
y, por suma, GΘ = 58;25,17p.

Por consiguiente, expresadas en unidades donde las hipotenusas AZ y AG son cada una de 120p [respectivamente],

ZΘ = 78;6,44p
y GΘ = 106;45,36p.

Los arcos correspondientes son

arco ZΘ = 81;13,8º [5]
y arco GΘ = 125;39,46º.
Por consiguiente el ^ ZAΘ = 40;36,34º
y el ^ GAΘ = 62;49,53º.

Y, por sustracción, el ^ ZGA, que representa el [movimiento] retrógrado debido a la velocidad del planeta, es de [90º - ^ GAΘ =] 27;10,7º, mientras el ^ ZAH, que representa el [movimiento en] anomalía aparente, es de [^ GAΘ - ^ ZAΘ =] 22;13,19º. A esto último le corresponden [movimientos en] longitud corregidos de 17;13,21º, y en la longitud [media] de 20;58,21º [6], de acuerdo a las proporciones [de las velocidades] en el apogeo. Por consiguiente

la mitad del [movimiento] retrógrado es de [27;10,7º - 17;13,21º =] 9;56,46º y alrededor de 40 días,
y el [movimiento] retrógrado total es de 19;53,52º y 80 días.

De acuerdo a nuestros cálculos dado que cerca de la mínima distancia, la ecuación [correspondiente a un argumento de 1º] para la corrección de [las velocidades], es hallada ser de 12 ⅔' [7]. Por consiguiente

ΘZ / ZG = 1;12,40 / 0;40,11.
EG / GZ = 3;5,31 / 0;40,11,
y EG * GZ = 2;4,14.
Además, GA / AH = 54;20 / 39;30,
DG / GH = 93;50 / 14;50,
y DG * GH = 1391;51,40.

Dividiendo [1391;51,40 por 2;4,14], tomamos 672;13, cuya raíz cuadrada es, 25;55,38, multiplicada por la proporción de arriba de ΘZ / ZG, da, en términos de los tamaños de arriba GA y AZ [por ej. 54;20 y 39;30],

ΘZ = 31;24,3p,
GZ = 17;21,51p en las mismas unidades,
y, por adición, GΘ = 48;45,54p.

Por consiguiente, donde las hipotenusas AZ y AG son cada una de 120p [respectivamente],

ZΘ = 95;23,42p
y GΘ = 107;42,7p.

Los arcos correspondientes son

arco ZΘ = 105;18,10º
y arco GΘ = 127;40,22º [8].
Por consiguiente el ^ ZAΘ = 52;39,5º
y ^ GAΘ = 63;50,11º.

Y, por sustracción, el ^ ZGA, que representa la [cantidad del movimiento] retrógrado debido a la velocidad del planeta, es de [90º - ^ GAΘ =] 26;9,49º, mientras el ^ ZAH, que representa el [movimiento en] anomalía aparente, es de [^ GAΘ - ^ ZAΘ =] 11;11,6º. A este último le corresponden [movimientos en] longitud corregida de 20;33,42º, y en longitud media de 16;52,52º, de acuerdo a las proporciones [de las velocidades] en el perigeo [9]. Entonces

la mitad del [movimiento] retrógrado llega a ser como de [26;9,49º - 20;33,42º =] 5;36,7º y alrededor de 32 ¼ días,
y el [movimiento] retrógrado total es de 11;12,14º y 64 ½ días.
Capítulo Anterior Contenidos Capítulo Siguiente
Libro XII
Capítulos
01 02 03
04 05 06
07 08 09
10

Notas de referencia

  1. De los movimientos medios diarios (Libro IX Capítulo 4): 0;27,41,40 / 0;31,26,36 = 0;52,50,47...
  2. El [valor] exacto podría ser 803;50,33, que es hallado como la lectura de segunda mano (revisión) en el manuscrito D. El manuscrito de Ger (Gerardo de Cremona) tiene 803;50,32, el manuscrito T 803;50,30. La variación no tiene futuras consecuencias, dado que la raíz cuadrada de todo es de 28;21,8 (al segundo más cercano).
  3. Para un Centrum Verdadero (κ) de 19;7,33º, la distancia del centro del Epiciclo es de, ρ = 65;38,12p ≈ 66p - 22'. Para κ = 160;52,27º, ρ = 54;17,56p ≈ 54p + 18', por ej. 20' es un [valor] medio razonable.
  4. Para Marte, en la Tabla de la Anomalía, un argumento de 18º le corresponde una ecuación de 3;13º y para 24º, 4;16º; por lo tanto, como Manitius señala, la cantidad correcta correspondiente a 1º debería ser (4;16 - 3;13) / 6 = 10 ½'.
  5. El correcto podría ser 81;13,28º, y esta es la lectura en los manuscritos B, C, L y en el de Ger (Gerardo de Cremona). Sin embargo, todos los manuscritos están de acuerdo con la lectura de la mitad de estos 40;36,34º, que parecerían confirmar aquí la lectura de Heiberg. Es posible, no obstante, que Ptolomeo cometió un error en la división, y que la lectura '8' en los manuscritos A y D es debido a una corrección del escriba.
  6. Ptolomeo da un cálculo para esto en Libro XII Capítulo 6 Fig. R.
  7. Para Marte, en la Tabla de la Anomalía, un argumento de 162º le corresponde una ecuación de 3;55º, y para 159º, 4;33º. Por lo tanto para 1º, alrededor de 20º desde el perigeo, le corresponden (4;33 - 3;55) / 3 = 12 ⅔'.
  8. Precisamente, 127;40,3º.
  9. Cf. Libro XII Capítulo 2 nota de referencia nro. 16. Cálculo: 11;11,6° * 1 / 0;40,11 = 16;42,3º, que le corresponde una ecuación de 3;40,50º [exactamente 3;38,59º: pareciera como que Ptolomeo tomó la ecuación de (180º - 16;51º)]. [Luego:] 11;11,6 + 3;40,50º = 14;51,56º, que multiplicado por 1 / 0;52,51 da 16;52,52º [exactamente 16;52,36º]. [Finalmente:] 16;52,52º + 3;40,50º = 20;33,42º.