Tractatus Logico-Philosophicus

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Prefacio

Quizá este libro sea sólo entendido por alguien a quien ya se le han ocurrido los pensamientos que se expresan en él - o al menos pensamientos similares. - Por tanto, no es un libro de texto. - Su propósito se habría logrado si hiciera disfrutar a una persona que lo leyera y lo entendiera. El libro se ocupa de problemas de filosofía y muestra, creo yo, que la razón por la que estos problemas se pueden proponer es porque la lógica de nuestro lenguaje está mal entendida. Todo el sentido del libro se podría resumir en las siguientes palabras: todo lo que puede ser expresado en absoluto puede ser expresado claramente, y sobre aquello que no puede ser expresado debemos guardar silencio. Así pues, el objetivo del libro es poner un límite al pensamiento, o mejor dicho - no al pensamiento, sino a la expresión de los pensamientos: puesto que para ser capaces de poner un límite al pensamiento, deberíamos ser capaces de encontrar ambos lados del límite pensable (es decir, deberíamos ser capaces de pensar lo que no puede ser pensado). Es por consiguiente sólo en el lenguaje donde el límite puede ser determinado, y lo que se encuentra al otro lado del límite será simplemente el sinsentido. No quiero juzgar cuánto coinciden mis esfuerzos con los de otros filósofos. Verdaderamente, lo que he escrito aquí no intenta proclamarse como novedoso en el detalle, y la razón por la que no cito fuentes es porque me resulta indiferente si los pensamientos que he tenido fueron anticipados por otro. Sólo mencionaré que estoy en deuda con las grandes obras de Frege y los escritos de mi gran amigo el señor Bertrand Russell, por una gran parte del estímulo a mis pensamientos. Si este trabajo tiene algún valor, consiste en dos cosas: la primera es que hay pensamientos expresados en él, y en este respecto cuanto mejor hayan sido expresados los pensamientos - cuanto más haya acertado en la cabeza del clavo - mayor será su valor. - Aquí soy consciente de haberme quedado muy lejos de lo que es posible. Simplemente porque mis fuerzas son demasiado escasas para el cumplimiento de la tarea. - Espero que vengan otros y lo hagan mejor. Por otra parte, la verdad de los pensamientos que son comunicados aquí me parece incuestionable y definitiva. Por consiguiente, considero que he encontrado, en todos los puntos esenciales, la solución final a estos problemas. Y si no estoy equivocado en esta creencia, entonces la segunda cosa en la que consiste el [mérito] de este trabajo es que muestra cuán poco se consigue una vez que estos problemas han quedado resueltos. L.W. Viena, 1918.

Nota: Los números decimales asignados a las proposiciones individuales indican la importancia lógica de las proposiciones, el énfasis dado a cada una en mi exposición. Las proposiciones n.1, n.2, n.3, etc... son comentarios a la proposición número n; las proposiciones n.m.1, n.m.2, etc... son comentarios a la proposición m; y así.

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• 1 El mundo es todo lo que es el caso.
  • 1.1 El mundo es la totalidad de los hechos, no de las cosas.
    • 1.11 El mundo es determinado por los hechos, y porque éstos sean todos los hechos.
    • 1.12 Puesto que la totalidad de los hechos determina qué es el caso, y también lo que quiera que no sea el caso.
    • 1.13 Los hechos en el espacio lógico son el mundo.
  • 1.2 El mundo se divide en hechos.
    • 1.21 Cada objeto puede ser el caso o puede no ser el caso mientras todo lo demás se mantiene igual.

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• 2 Lo que es el caso - un hecho - es la existencia de estados de los asuntos.
  • • 2.01 Un estado de los asuntos (un estado de las cosas) es una combinación de objetos (cosas).
      • 2.011 Es esencial a las cosas que puedan ser posibles constituyentes de un estado de los asuntos.
      • 2.012 En lógica, nada es accidental: si una cosa puede aparecer en un estado de los asuntos, la posibilidad de este estado de los asuntos está inscrita en la cosa misma.
        • 2.0121 Podría parecer una especie de accidente, si ocurriera que una situación pudiera cuadrar [???] a una cosa que podría existir enteramente por su cuenta. Si alguna cosa puede aparecer en un estado de los asuntos, esta posibilidad debe estar en ellas desde el principio. (Nada en el ámbito de la lógica puede ser meramente posible. La lógica se ocupa de todas las posibilidades y todas las posibilidades son sus hechos.) Así como no somos capaces de imaginar objetos espaciales fuera del espacio u objetos temporales fuera del tiempo, así también no hay un objeto tal que podamos imaginarlo excluído de la combinación con otros. Si puedo imaginar objetos combinados en estados de los asuntos, no puedo imaginar excluídos de la posibilidad de tal combinación.
        • 2.0122 Las cosas son independientes en tanto que pueden aparecer en todas las situaciones posibles, pero esta forma de independencia es una forma de conexión con estados de los asuntos, una forma de dependencia. (Es imposible para las palabras asumir dos papeles diferentes: el de ellas mismas, y el que tienen en las proposiciones.)
        • 2.0123 Si conozco un objeto también conozco todas sus posibles apariciones en estados de los asuntos. (Cada una de estas posibilidades debe ser parte de la naturaleza del objeto.) Una nueva posibilidad no puede ser descubierta posteriormente.
          • 2.01231 Si quiero conocer un objeto, aunque no necesito conocer su propiedades externas, sí debo conocer todas sus propiedades internas.
        • 2.0124 Estando dados todos los objetos, todos los posibles estados de los asuntos están también dados.
      • 2.013 Cada cosa está, por decirlo así, en un espacio de posibles estados de los asuntos. Este espacio puedo imaginarlo vacío, pero no puedo imaginar la cosa sin el espacio.
        • 2.0131 Un objeto espacial debe ser situado en un espacio infinito. (Un punto espacial es una posición-argumento.) Una mota en el campo visual, aunque no necesariamente deba ser roja, debe tener algún color: está, por decirlo así, rodeada de espacio de color. Las notas deben tener una altura, los objetos táctiles un grado de dureza, y así.
      • 2.014 Los objetos contienen la posibilidad de todas las situaciones.
        • 2.0141 La posibilidad de su aparición en estados de los asuntos es la forma de un objeto.
    • 2.02 Los objetos son simples.
      • • 2.0201 Cualquier afirmación sobre complejos puede ser resuelta en una afirmación sobre sus constituyentes y en las proposiciones que describen a los complejos por completo.
      • 2.021 Los objetos constituyen la substancia del mundo. Es por eso por lo que no pueden ser compuestos.
        • 2.0211 Si el mundo no tuviera substancia, entonces el que una proposición tuviera sentido dependería de que otra proposición fuera cierta.
        • 2.0212 En ese caso no podríamos esbozar ninguna imagen del mundo (verdadera o falsa).
      • 2.022 Es obvio que un mundo imaginado, por muy diferente que pueda ser del real, debe tener algo - una forma - en común con éste.
      • 2.023 Los objetos son justamente lo que constituye esta forma inalterable.
        • 2.0231 La substancia del mundo sólo puede determinar una forma, y no propiedades materiales. Puesto que es sólo mediante proposiciones que las propiedades materiales son representadas - sólo por la configuración de objetos son producidas.
        • 2.0232 Por decirlo así, los objetos son incoloros.
        • 2.0233 Si dos objetos tienen la misma forma lógica, la única distinción entre ellos, aparte de sus propiedades externas, es que son diferentes.
          • 2.02331 O bien una cosa tiene propiedades que nada más tiene, en cuyo caso podemos usar inmediatamente una descripción para distinguirla de otras y referirnos a ella; o, por el otro lado, hay varias cosas que tienen todo el conjunto de sus propiedades en común, en cuyo caso es casi imposible indicar una de ellas. Puesto que no hay nada para distinguir a una cosa, no puedo distinguirla, ya que en caso contrario sí podría ser distinguida después de todo.
      • 2.024 La substancia es lo que subsiste independietemente de lo que es el caso.
      • 2.025 Es forma y contenido.
        • 2.0251 El espacio, el tiempo, el color (estar coloreado) son formas de objetos.
      • 2.026 Debe haber objetos, si el mundo ha de tener una forma inalterable.
      • 2.027 Los objetos, lo inalterable y lo subsistente son una y la misma cosa.
        • 2.0271 Los objetos son lo que es inalterable y subsistente; su configuración es lo que es cambiante e inestable.
        • 2.0272 La configuración de los objetos es lo que produce estados de los asuntos.
    • 2.03 En un estado de los asuntos los objetos encajan unos con otros como los eslabones de una cadena.
      • 2.031 En un estado de los asuntos los objetos se mantienen en una determinada relación los unos con los otros.
      • 2.032 El modo determinado en que los objetos están conectados en un estado de los asuntos es la estructura de un estado de los asuntos.
      • 2.033 La forma es la posibilidad de la estructura.
      • 2.034 La estructura de un hecho consiste en la estructura de estados de los asuntos.
    • 2.04 La totalidad de los estados de los asuntos existentes es el mundo.
    • 2.05 La totalidad de los estados de los asuntos existentes determina también cuáles estados de los asuntos no existen.
    • 2.06 La existencia y no existencia de estados de los asuntos es la realidad. (Llamamos a la existencia de estados de los asuntos un hecho positivo, y su no existencia un hecho negativo.)
      • 2.061 Los estados de los asuntos son independientes unos de otros.
      • 2.062 De la existencia o no existencia de un estado de los asuntos es imposible inferir la existencia o no existencia de otro.
      • 2.063 El sumatorio total de la realidad es el mundo.
  • 2.1 Nos representamos hechos a nosotros mismos.
    • 2.11 Una representación presenta una situación en el espacio lógico, la existencia y no existencia de estados de los asuntos.
    • 2.12 Una representación es un modelo de la realidad.
    • 2.13 En una representación, los objetos tienen elementos de la representación correspondiendo a ellos.
    • 2.131 En una representación los elementos de la representación son los representantes de los objetos.
    • 2.14 Lo que constituye una representación es que sus elementos están relacionados unos con otros en un modo determinado.
      • 2.141 Una representación es un hecho.
    • 2.15 El hecho de que los elementos de una representación estén relacionados unos con otros de un modo determinado representa que las cosas están relacionadas unas con otras del mismo modo. Llamemos a esta conexión de sus elementos la estructura de la representación, y llamemos a la posibilidad de esta estructura la forma representativa de la representación.
      • 2.151 La forma representativa es la posibilidad de que las cosas estén relacionadas unas con otras del mismo modo que los elementos de la representación.
        • 2.1511 Así es como una representación se sujeta a la realidad; se extiende directamente hacia ella.
        • 2.1512 Es colocada a lo largo de la realidad como una medida.
          • 2.15121 Sólo los puntos finales de las líneas de medida realmente tocan el objeto que va a ser medido.
        • 2.1514 Así una representación, concebida de esta manera, también incluye la relación representativa, que la convierte en una representación.
        • 2.1515 Estas correlaciones son, como si dijéramos, las antenas de los elementos de la representación, con las que la representación toca la realidad.
    • 2.16 Si un hecho va a ser una representación, debe tener algo en común con aquello que representa.
      • 2.161 Debe haber algo idéntico en la representación y en lo que representa, para permitir que la una sea una representación de lo otro en absoluto.
    • 2.17 Lo que una representación tiene en común con la realidad, para lograr representarla - correcta o incorrectamente - de la manera en que lo hace, es la forma representativa.
      • 2.171 Una representación puede simbolizar cualquier realidad cuya forma tenga. Una representación espacial puede representar cualquier cosa espacial, una coloreada cualquier cosa coloreada, etc.
      • 2.172 Una representación no puede, sin embargo, representar su propia forma representativa: la muestra.
      • 2.173 Una representación muestra su objeto desde una posición fuera de él. (Su punto de vista es su forma representativa.) Es por eso que una representación representa su objeto correcta o incorrectamente.
      • 2.174 Una representación no puede, sin embargo, colocarse fuera de su forma representativa.
    • 2.18 Lo que una representación, de una forma cualquiera, debe tener en común con la realidad, de manera que pueda representarla - correcta o incorrectamente - de algún modo en absoluto, es su forma lógica, es decir, la forma de la realidad.
      • 2.181 Una representación cuya forma representativa sea una forma lógica se denomina una representación lógica.
      • 2.182 Cualquier representación es al mismo tiempo una representación lógica. (Por otro lado, no toda representación es, por ejemplo, una representación espacial.)
    • 2.19 Las representaciones lógicas pueden representar el mundo.
  • 2.2 Una representación tiene forma lógico-representativa en común con lo que representa.
    • • 2.201 Una representación representa la realidad mostrando una posibilidad de existencia y no existencia de estados de los asuntos.
      • 2.202 Una representación contiene la posibilidad de la situación que representa.
      • 2.203 Una representación concuerda con la realidad o falla en concordar con ella; es correcta o incorrecta, verdadera o falsa.
    • 2.22 Lo que una representación representa, lo representa independientemente de su verdad o falsedad, por medio de su forma representativa.
      • 2.221 Lo que una representación representa es su sentido.
      • 2.222 La concordancia o falta de concordancia de su sentido con la realidad consituye su verdad o falsedad.
      • 2.223 Para poder decir si una representación es verdadera o falsa, debemos compararla con la realidad.
      • 2.224 Es imposible decir a partir de la sola representación si es verdadera o falsa.
      • 2.225 No hay representaciones que sean verdaderas a priori.

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• 3 Una representación lógica de hechos es un pensamiento.
  • • • 3.001 'Un estado de los asuntos es pensable': lo que esto significa es que nos lo podemos representar a nosotros mismos.
    • 3.01 La totalidad de los pensamientos verdaderos es una representación del mundo.
    • 3.02 Un pensamiento contiene la posibilidad de la situación de la que es pensamiento. Lo que es pensable es posible también.
    • 3.03 El pensamiento nunca puede ser de nada ilógico, puesto que, si lo fuera, tendríamos que pensar ilógicamente.
      • 3.031 Se solía decir que Dios podía crear cualquier cosa excepto aquello que fuera contrario a las leyes de la lógica. La verdad es que no podríamos imaginar qué aspecto tendría un mundo 'ilógico'.
      • 3.032 Es tan imposible representar en el lenguaje nada que 'contradiga la lógica' como lo es en geometría representar por sus coordenadas una figura que contradiga las leyes del espacio, o dar las coordenadas de un punto que no existe,
        • 3.0321 Aunque un estado de los asuntos que contraviniera las leyes de la física puede ser representado por nosotros espacialmente, uno que contraviniera las leyes de la geometría no puede serlo.
    • 3.04 Si un pensamiento fuera correcto a priori, sería un pensamiento cuya posibilidad aseguraría su verdad.
    • 3.05 El conocimiento a priori de que un pensamiento fuera cierto sería posible sólo si su verdad fuera reconocible por el pensamiento mismo (sin nada con lo que compararlo.)
  • 3.1 En una proposición un pensamiento encuentra una expresión que puede ser percibida por los sentidos.
    • 3.11 Usamos el signo perceptible de una proposición (habladas p escritas, etc.) como una proyección de una situación posible.
    • 3.12 Yo llamo el signo con el cual expresamos un pensamiento un signo proposicional. Y una proposición es un signo proposicional en su relación proyectiva con el mundo.
    • 3.13 Una proposición, por tanto, no contiene realmente su sentido, pero contiene la posibilidad de expresarlos. ('El contenido de una proposición' significa el contenido de una proposición que tiene sentido.) Una proposición contiene la forma, pero no el contenido, de su sentido.
    • 3.14 Lo que constituye un signo proposicional es que sus elementos (las palabras) se encuentran en una determinada relación unos con otros. Un signo proposicional es un hecho.
      • 3.141 Una proposición no es una mezcla de palabras. (Igual que un tema musical no es una mezcla de notas.) Una proposición es articulada.
      • 3.142 Sólo los hechos pueden expresar un sentido, un conjunto de nombres no puede.
      • 3.143 Aunque un signo proposicional es un hecho, esto se ve oscurecido por la forma usual de expresión escrita o impresa. Puesto que en una proposición impresa, por ejemplo, no es visible ninguna diferencia esencial entre un signo proposicional y una palabra. (Esto es lo que hizo posible que Frege llamara una proposición a un nombre compuesto.)
        • 3.1431 La esencia de un signo proposicional se puede ver muy claramente si imaginamos uno compuesto de objetos espaciales (tal como mesas, sillas y libros) en lugar de signos escritos.
        • 3.1432 En lugar de: "El signo complejo 'aRb' indica que a está con respecto a b en la relación R", deberíamos pones "Que 'a' esté con respecto a 'b' en una cierta relación indica que aRb".
      • 3.144 Las situaciones puedes ser descritas pero no pueden recibir nombres.
  • 3.2 En una proposición un pensamiento puede ser expresado de tal manera que los elementos del signo proposicional correspondan a los objetos del pensamiento.
    • • 3.201 Llamo a tales elementos "signos simples", y a tales proposiciones "analizadas completas".
      • 3.202 Los signos simples empleados en las proposiciones se denominan nombres.
      • 3.203 Un nombre significa un objeto. El objeto es su significado. ('A' es el mismo signo que 'A'.)
    • 3.21 La configuración de los objetos en una situación corresponde a la configuración de los signos simples en el signo proposicional.
      • 3.221 Los objetos sólo pueden ser nombrados. Los signos son sus representantes. Sólo puedo hablar sobre ellos: no puedo ponerlos en palabras. Las proposiciones sólo pueden decir cómo son las cosas, no lo que son las cosas.
    • 3.23 El requisito de que los signos simples sean posibles es el requisito de que su sentido esté determinado.
    • 3.24 Una proposición acerca de un complejo se encuentra en una relación interna con una proposición acerca de un constituyente del complejo. Un complejo puede ser dado sólo por su descripción, que puede ser correcta o equivocada. Una proposición que menciona un complejo no será absurda si el complejo no existe, sino simplemente falsa. Cuando un elemento proposicional denota un complejo, puede verse por una indeterminación en la proposiciones en las que aparece. En tales casos, sabemos que la proposición deja algo indeterminado. (De hecho la notación para la generalidad [???] contiene un prototipo.) La contracción de un símbolo para un complejo en un símbolo simple puede ser expresada en una definición.
    • 3.25 Una proposición no puede ser diseccionada más allá por medio de una definición: es un signo primitivo.
      • 3.261 Cualquier signo que tiene una definición obtiene su significado mediante los signos que sirven para definirlo; y las definiciones señalan el camino. Dos signos no pueden tener el mismo significado si uno es primitivo y el otro está definido mediante signos primitivos. Los nombres no pueden ser anatomizados por medio de definiciones. (Ni puede serlo ningún signo que tenga un sentido independientemente y por sí mismo.)
      • 3.262 Lo que los signos no expresan, lo muestra su aplicación. Lo que los signos callan, lo pronuncia su aplicación.
  • 3.3 Sólo las proposiciones tienen sentido; sólo en el seno de una proposición tiene sentido un nombre.
    • 3.31 Llamo a cualquier parte de una proposición que caracteriza su sentido una proposición (un símbolo). (La proposición es en sí misma una expresión.) Una expresión es todo aquello esencial a su sentido que las proposiciones pueden tener en común. La expresión caracteriza a una forma y a un contenido.
      • 3.311 La expresión presupone las formas de todas las proposiciones en las que puede darse. Es la marca característica común a una clase de proposiciones.
      • 3.312 Es también representada por la forma general de las proposiciones que ella caracteriza. De hecho, en esta forma la expresión será una constante y todo lo demás será variable.
      • 3.313 La expresión es también representada por una variable, cuyos valores son las proposiciones que contienen la expresión. (En el caso límite la variable se convierte en una constante, la expresión una proposición.) Llamo a una variable así una "variable proposicional".
      • 3.314 La expresión tiene sólo sentido dentro de una proposición. Cualquier variable puede ser interpretada como variable proposicional. (También el nombre de la variable.)
      • 3.315 Si transformamos un constituyente de una proposición en una variable, habrá una clase de proposiciones que contiene valores de la proposición así transformada en variable. Esta clase depende en general también del significado que nosotros, por convención arbitraria, hayamos asignado a las demás partes de la proposición. Sin embargo, si transformamos todo aquellos signos cuyo significado haya sido asignado por convención arbitraria en variables, seguiremos teniendo aún una clase de este tipo. Ésta, por contra, no es dependiente de ninguna convención, sino sólo de la naturaleza de la proposición. Se corresponde con una forma lógica - un prototipo lógico.
      • 3.316 Qué valores pueda adoptar una variable proposicional viene estipulado. La estipulación de estos valores es la variable.
      • 3.317 La estipulación de los valores de las variables proposicionales es la indicación de las proposiciones, cuya característica común sea la variable. La estipulación es una descripción de estas proposiciones. La estipulación tratará por tanto sólo de símbolos, no de su significado. Y sólo esto es esencial a la estipulación, que sólo es una descripción de símbolos y no se declara nada sobre lo denotado. Cómo se produzca la descripción de las proposiciones no es esencial.
      • 3.318 Como Frege y Russel, yo interpreto la proposición como una función de las expresiones en ella contenidas.
    • 3.32 El signo es la parte perceptible de un símbolo.
      • 3.321 Dos símbolos diferentes pueden por tanto compartir un mismo signo (escrito, oral, etc...) - en cuyo caso ambos significan de modos diferentes.
      • 3.322 No puede mostrar nunca la característica común de dos objetos el que nosotros utilicemos el mismo signo pero dos modos de denominación para denotarlos. Puesto que el signo es por supuesto arbitrario. Podríamos también elegir dos signos diferentes, y entonces ¿dónde quedaría lo común en el lado de la significación?
      • 3.323 En lenguaje coloquial ocurre muy a menudo, que la misma palabra tiene diferentes significados - por tanto pertenece a diferentes símbolos -, o que dos palabras que significan de maneras distintas son utilizadas aparentemente de la misma manera en una frase. Así figura la palabra 'es' como cópula, como signo de identidad, y como expresión de existencia; 'existe' figura como verbo intransitivo como 'ir'; 'idéntico' como adjetivo; hablamos de algo, pero también de que algo sucede. (En la frase "Verde es verde" - donde la primera palabra es un nombre propio y la última un adjetivo - estas palabras no tienen sólo diferentes significados, sino que son símbolos diferentes.)
      • 3.324 Así se producen fácilmente las confusiones más fundamentales (de las cuales está llena toda la filosofía).
      • 3.325 Para evitar estos errores debemos utilizar una lengua de signos que los excluya, al no utilizar el mismo signo para diferentes símbolos, y al no utilizar de manera superficialmente equivalente signos que tienen modos de significación diferentes. Una lengua de signos, por tanto, que esté gobernada por la gramática lógica - por la sintaxis lógica. (La notación conceptual de Frege y Russell es una lengua así, aunque ciertamente aún no excluye todos los errores.)
      • 3.326 Para reconocer el símbolo por su signo, debemos observar su uso con sentido.
      • 3.327 El signo determina tan sólo conjuntamente con su utilización lógico-sintáctica una forma lógica.
      • 3.328 Si un signo no es utilizado, no tiene significado. Éste es el sentido de la máxima de Occam. (Si todo se comporta como si un signo tuviera significado, entonces tiene un significado.)
    • 3.33 En la sintaxis lógica el significado de un signo no debería tener nunca importancia; debe poder inferirse sin tener que mencionar el significado del signo, sólo debe presuponer la descripción de las expresiones.
      • 3.331 A partir de esta observación nos volvemos hacia la "Teoría de los tipos" de Russell. La equivocación de Russell se muestra en que para la determinar las reglas para los signos tuvo que hablar de su significado.
      • 3.332 Ninguna proposición puede declarar algo acerca de sí misma, puesto que el signo proposicional no puede estar contenido dentro de sí mismo (ésta es toda la "Teoría de los tipos").
      • 3.333 Una función no puede ser su propio argumento porque el signo para una función ya contiene el prototipo de su argumento y éste no puede contenerse a sí mismo. Supongamos por ejemplo que la función F(fx) pudiera ser su propio argumento; entonces existiría una proposición "F(F(fx))" y en ésta deberían tener diferente significado la función F exterior y la función F interior, puesto que la interior tiene la forma O(f(x)) y la exterior tiene la forma Y(O(fx)). Sólo la letra "F" es común a las dos funciones, pero la letra por sí misma no significa nada. Esto se vuelve inmediatamente claro, cuando en lugar de "F(Fu)" escribimos '(do) : F(Ou) . Ou = Fu'. Así acabamos con la paradoja de Russell.
      • 3.334 Las reglas de la sintaxis lógica deben ser evidentes por sí mismas, una vez que sepamos qué significa cada signo individual.
    • 3.34 Una proposición posee características esenciales y accidentales. Características accidentales son aquéllas que resultan de la manera particular en la que el signo proposicional es producido. Características esenciales son aquéllas sin las cuales la proposición no podría expresar su sentido.
      • 3.341 Así, lo que es esencial en una proposición es lo que todas las proposiciones que pueden expresar el mismo sentido tienen en común. Y similarmente, en general, lo que es esencial a un símbolo es lo que todos los símbolos que sirven al mismo propósito tienen en común.
        • 3.3411 Así, se podría decir que el nombre real de un objeto era lo que todos los signos que denotan a ese objeto tenían en común. Por tanto, uno a uno, todas las maneras de composición se demostrarían no esenciales a un nombre.
      • 3.342 Aunque hay algo arbitrario en nuestras notaciones, esta parte no es arbitraria - que cuando hemos determinado algo arbitrariamente, otra cosa es necesariamente el caso. (Esto se deriva de la esencia de la notación.)
        • 3.3421 Un modo particular de denotación podría no ser importante pero siempre es importante que es un modo posible de denotación. Y así es generalmente en filosofía: una y otra vez el caso particular resulta no ser importante, pero la posibilidad de cada caso individual revela algo acerca de la esencia del mundo.
      • 3.343 Las definiciones son reglas para traducir de un lenguaje a otro. Cualquier lenguaje de signos correcto debe ser traducible a cualquier otro que obedezca a las mismas reglas: es esto lo que todos ellos tienen en común.
      • 3.344 La parte de un símbolo que significa es lo que es común a todos los símbolos que las reglas de la sintaxis lógica nos permite sustituir por éste.
        • 3.3441 Por ejemplo, podemos expresar lo que es común a todas las notaciones para las funciones de verdad de la manera siguiente: tienen en común que, por ejemplo, la notación que usa 'Pp' ('no p') y 'p C g' ('p ó g') puede ser sustituida por cualquiera de ellas. (Esto sirve para caracterizar la manera en que algo general puede ser revelado por la posibilidad de una notación específica.)
        • 3.3442 Ni tampoco se resuelve el análisis de un signo para un complejo de manera arbitraria, de modo que tuviera una resolución diferente cada vez que fuera incorporado a una proposición diferente.
  • 3.4 Una proposición determina una posición en el espacio lógico. La existencia de esta posición lógica está garantizada por la mera existencia de sus constituyentes - por la existencia de una proposición con sentido.
    • 3.41 El signo proposicional con coordenadas lógicas - ésta es la posición lógica.
      • 3.411 Tanto en geometría como en lógica una posición es una posibilidad: algo puede existir en ella.
    • 3.42 Una proposición puede determinar sólo una posición en el espacio lógico: sin embargo, la totalidad del espacio lógico debe estar ya dado por ella. (En caso contrario, la negación, la suma lógica, el producto lógico, etc. introducirían más y más elementos de coordenadas [???] ) (El andamiaje lógico rodeando a una imagen determina el espacio lógico. La fuerza de una proposición alcanza a todo el espacio lógico.)
  • 3.5 Un signo proposicional, aplicado y desarrollado [thought out] [???], es un pensamiento.

4

• 4 Un pensamiento es una proposición con sentido.
  • • • 4.001 La totalidad de las proposiciones es el lenguaje.
      • 4.002 El hombre posee la habilidad de crear lenguajes capaces de expresar cualquier sentido, sin tener idea en absoluto de cómo cada palabra tiene significado o cuál es su significado - igual que las personas hablan sin saber cómo se producen los sonidos individuales. El lenguaje coloquial es una parte del organismo humano y no es menos complicado que éste. No es humanamente posible colegir de él cuál es la lógica del lenguaje. El lenguaje disfraza al pensamiento. Tanto es así, que de la forma exterior del ropaje es imposible inferir la forma del pensamiento debajo de él, porque la forma exterior del ropaje no está diseñada para revelar la forma del cuerpo, sino para propósitos enteramente diferentes. Las convenciones tácitas de las que depende el lenguaje coloquial son enormemente complicadas.
      • 4.003 La mayoría de las proposiciones y de las preguntas que se pueden encontrar en las obras filosóficas no son falsas, sino carentes de significado. Consecuentemente, no podemos dar ninguna respuesta a preguntas de este tipo, sino sólo hacer notar que no tienen significado. La mayoría de las proposiciones y de las preguntas de los filósofos obedecen a nuestro fracaso a la hora de entender la lógica de nuestro lenguaje. (Pertenecen a la misma clase de preguntas que la pregunta de si el bien es más o menos idéntico que la belleza.) Y no es sorprendente que los problemas más profundos no sean de hecho ningún problema en absoluto.
        • 4.0031 Toda filosofía es una "crítica del lenguaje" (aunque no en el sentido de Mauthner). Fue Russel el que nos prestó el servicio de mostrar que la forma aparentemente [evidentemente] [???] lógica de una proposición no necesariamente coincide con su forma real.
    • 4.01 Una proposición es una imagen de la realidad. Una proposición es un modelo de la realidad tal y como nos la imaginamos.
      • 4.011 A primera vista una proposición - una expresada en una página impresa, por ejemplo - no parece ser una imagen de la realidad de la que se ocupa. Pero tampoco la partitura escrita parece ser una imagen de una pieza de música, ni nuestra notación fonética (el alfabeto) ser una imagen de nuestra lengua. Y sin embargo estos lenguajes de signos se demuestran una imagen, incluso en el sentido ordinario, de lo que representan.
      • 4.012 Es obvio que una proposición de la forma 'aRb' resalta como una imagen. En este caso, el signo es obviamente una semblanza de lo denotado.
      • 4.013 Y si penetramos en la esencia de este carácter pictórico, vemos que no se ve impedido por las irregularidades aparentes (como el uso de sostenidos y bemoles en la notación musical). Puesto que incluso estas irregularidades representan lo que se pretende que expresen; sólo que lo hacen de una manera diferente.
      • 4.014 Un disco de gramófono, una idea musical, las partituras escritas, y las ondas de sonido, todas ellas se encuentran unas con otras en la misma relación interna de representación que se da entre el lenguaje y el mundo. Todas se construyen de acuerdo a un mismo patrón lógico. (Como los dos jóvenes del cuento de hadas, sus dos caballos y sus flores [lillies] [???]. Todos son, en cierto sentido, uno.)
        • 4.0141 Hay una regla general por medio de la cual el músico puede obtener la sinfonía de la partitura, y otra que hace posible derivar la sinfonía del surco en el disco de gramófono, y, usando la primera regla, derivar la partitura de nuevo. Eso es lo que constituye la similitud interna entre estas cosas que parecen estar construidas de maneras tan enteramente diferentes. Y esa regla es la ley de proyección que proyecta la sinfonía sobre el lenguaje de la notación musical. Es la regla para traducir este lenguaje al lenguaje de los discos de gramófono.
      • 4.015 La posibilidad de toda imaginería [imaginery] [???], de todos los modos pictóricos de expresión, está contenida en la lógica de la representación.
      • 4.016 Para comprender la naturaleza esencial de una proposición, deberíamos tomar en consideración la escritura hieroglífica, que representa aquellos hechos que describe. Y la escritura alfabética que se desarrolló a partir de aquélla sin perder lo que era esencial de la representación.
    • 4.02 Podemos ver esto a partir del hecho de que entendemos el sentido de una signo proposicional sin que nos sea explicado antes.
      • 4.021 Una proposición es una imagen de la realidad: puesto que si entiendo una proposición, conozco la situación que representa. Y entiendo la proposición sin que me haya sido explicado su sentido.
      • 4.022 Una proposición muestra su sentido. Una proposición muestra cómo se encontrarían las cosas si fuera cierta. Y dice que efectivamente se encuentran así.
      • 4.023 Una proposición debe constreñir la realidad a dos alternativas: sí o no. Para conseguir esto, debe describir la realidad completamente. Una proposición es una descripción de un estado de los asuntos. Así como una descripción de un objeto lo describe dando sus propiedades externas, así una proposición describe la realidad por sus propiedades interiores. Una proposición construye un mundo con la ayuda de una dispersión [???] lógica, de manera que uno pueda realmente ver a partir de la proposición cómo se encontraría todo lógicamente si es cierta. Uno puede obtener inferencias de una proposición falsa.
      • 4.024 Comprender una proposición significa saber lo que sería el caso si fuera verdadera. (Uno puede comprenderla, por tanto, sin saber si es verdadera.) Es entendida por cualquiera que entienda sus constituyentes.
      • 4.025 Al traducir de un lenguaje a otro, no procedemos traduciendo cada proposición de uno a una proposición del otro, sino meramente traduciendo los constituyentes de las proposiciones. (Y el diccionario traduce no sólo substantivos, sino también verbos, adjetivos y conjunciones, etc. tratando a todos de la misma manera.)
      • 4.026 El significado de signos simples (palabras) debe sernos explicado si debemos entenderlas. Con proposiciones, sin embargo, hacemos que se nos entienda.
      • 4.027 Pertenece a la esencia de una proposición que deba ser capaz de comunicarnos un nuevo sentido.
    • 4.03 Una proposición debe usar expresiones antiguas para comunicar un nuevo sentido. Una proposición nos comunica una situación, y, así, debe estar esencialmente conectada con la situación. Y la conexión es precisamente que es su imagen lógica. Una proposición afirma algo sólo en la medida en que es una imagen.
      • 4.031 En una proposición una situación es, como si dijéramos, construida por medio de un experimento. En lugar de 'Esta proposición tiene este y este sentido', podemos simplemente decir, 'Esta proposición representa esta y esta situación'.
        • 4.0311 Un nombre representa una cosa, otro representa otra, y se combinan el uno con el otro. De este modo todo el grupo - como un tableau vivant - presenta un estado de los asuntos.
        • 4.0312 La posibilidad de las proposiciones está basada en el principio de que los objetos tienen a los signos como sus representantes. Mi idea fundamental es que las 'constantes lógicas' no son representantes; que no puede haber representantes de la lógica de los hechos.
      • 4.032 Es sólo en la medida en que una proposición está articulada de acuerdo con la lógica en que es una imagen de una situación. (Incluso la proposición 'Ambulo' es compuesta: puesto que su raíz, con una terminación diferente, arroja [yields] [???] un sentido diferente, y así lo hace su terminación con una raíz diferente.)
    • 4.04 En una proposición debe haber exactamente tantas partes distinguibles como en la situación que representa. Las dos deben poseer la misma multiplicidad (en el sentido matemático) lógica. (Compárese a la Mecánica de modelos dinámicos de Hertz.)
      • 4.041 Esta multiplicidad matemática, por supuesto, no puede ser ella misma sujeto de representación. Uno no puede distanciarse de ella durante la representación.
        • 4.0411 Si, por ejemplo, quisiéramos expresar lo que ahora escribimos como '(x).fx' poniendo un afijo [???] delante de 'fx' - por ejemplo escribiendo 'Gen.fx' - no sería adecuado: no deberíamos saber lo que está siendo generalizado. Si quisiéramos señalizarlo con un afijo 'g' - por ejemplo escribiendo 'f(xg)' - esto tampoco sería adecuado: no deberíamos saber el alcance [scope] [???] del signo de generalidad. Si intentáramos hacerlo introduciendo una marca dentro de los lugares de argumento - por ejemplo escribiendo '(G,G).F(G,G)' - no sería adecuado: no deberíamos ser capaces de establecer la identidad de las variables. Y así. Todos estos modos de significación son inadecuados porque les falta la necesaria multiplicidad matemática.
        • 4.0412 Por la misma razón la llamada de los idealistas a los 'espectáculos espaciales' es inadecuada para explicar la observación de relaciones espaciales, porque no puede explicar la multiplicidad de esas relaciones.
    • 4.05 La realidad es comparada con las proposiciones.
    • 4.06 Una proposición puede ser verdadera o falsa sólo en virtud de ser una imagen de la realidad.
      • 4.061 No debe ser pasado por alto que una proposición tiene un sentido que es independiente de los hechos: de otra manera uno podría fácilmente suponer que verdadero y falso son relaciones de igualdad entre los signos y aquello que significan. En ese caso uno podría decir, por ejemplo, que 'p' significaba de un modo verdadero lo que 'Pp' significaba en un modo falso, etc.
      • 4.062 ¿No podemos acaso hacer que se nos entienda con proposiciones falsas igual que lo hemos hecho hasta ahora con verdaderas? -- Siempre y cuando se sepa que se pretende que sean falsas. -- ¡No! Puesto que una proposición es verdadera si la usamos para decir que las cosas se encuentran de una cierta manera, y lo están; y si por 'p' queremos decir Pp y las cosas se encuentran como queremos decir que se encuentran, entonces, construida de la nueva manera, 'p' es verdadera y no falsa.
        • 4.0621 Pero es importante que los signos 'p' y 'Pp' puedan decir la misma cosa. Puesto que muestra que nada en realidad corresponde al signo 'P'. La aparición de la negación en una proposición no es suficiente para caracterizar su sentido (PPp = p). Las proposiciones 'p' y 'Pp' tienen sentido opuesto, pero a ellas les corresponde una y la misma realidad.
      • 4.063 Una analogía para ilustrar el concepto de verdad: imagine una mancha negra sobre un papel blanco: puede describir la forma de la mancha diciendo, para cada punto del papel, si es blanco o negro. Al hecho de que un punto sea negro le corresponde un hecho positivo, y al hecho de que un punto sea blanco (no negro), un hecho negativo. Si yo elijo un punto sobre la hoja (un valor de verdad según Frege), entonces esto se corresponde con la suposición que es presentada a juicio, etc, etc. Pero para ser capaz de decir que un punto es blanco o negro, debo antes saber cuándo a un punto se le llama negro, y cuándo blanco: para ser capaz de decir: '"p" es verdadero (o falso)', debo haber determinado en qué circunstancias llamo a 'p' verdadero, y haciendo esto determino el sentido de la proposición. Ahora bien, el punto donde el símil se rompe es éste: podemos indicar un punto en el papel incluso sin saber lo que son blanco o negro, pero si una proposición no tiene sentido, nada se corresponde a ella, puesto que no designa ninguna cosa (un valor de verdad) que pudiera tener propiedades que pudieran ser llamadas 'verdaderas' o 'falsas'. El verbo de una proposición no es 'verdadero' o 'falso' como pensó Frege: más bien, aquello que 'es cierto' debe contener ya el verbo.
      • 4.064 Cada proposición debe ya contener un sentido: no puede recibir un sentido mediante la afirmación. Efectivamente, su sentido es precisamente lo que es afirmado. Y lo mismo se aplica a la negación, etc.
        • 4.0641 Se podría decir que la negación debe estar relacionada con la posición lógica determinada por la proposición negada. La proposición negadora determina una posición lógica diferente de la de la proposición negada. La proposición negadora determina una posición lógica con ayuda de la posición lógica de la proposición negada. Puesto que la describe como situada en el exterior de la posición lógica de ésta última. La proposición negada puede ser negada de nuevo, y esto en sí mismo muestra que lo que es negado ya es una proposición, y no algo que es meramente preliminar a una proposición.
  • 4.1 Las proposiciones representan la existencia e inexistencia de estados de los asuntos.
    • 4.11 La totalidad de las proposiciones verdaderas es la totalidad de las ciencias naturales [N.T.: en el sentido de ciencias empíricas] (o el corpus entero de las ciencias naturales).
      • 4.111 La filosofía no es una de las ciencias naturales. (La palabra 'filosofía' debe significar algo cuyo lugar se encuentra por encima o por debajo de las ciencias naturales, no a su lado.)
      • 4.112 La filosofía apunta a la clarificación lógica de los pensamientos. La filosofía no es un cuerpo doctrinario sino una actividad. Una obra filosófica consiste esencialmente en elucidaciones. La filosofía no resulta en 'proposiciones filosóficas', sino más bien en la clarificación de proposiciones. Sin la filosofía los pensamientos son, como si dijéramos, nebulosos e indistintos: su tarea es hacerlos claros y darles límites claros.
        • 4.1121 La psicología no se encuentra más íntimamente relacionada con la filosofía que cualquier otra ciencia natural. La teoría del conocimiento es la filosofía de la psicología. ¿No se corresponde mi estudio de los lenguajes de signos con el estudio de los procesos de los pensamientos, que los filósofos solían considerar tan esencial a la filosofía de la lógica? Sólo que en la mayoría de los casos se encontraron enmarañados en investigaciones psicológicas accesorias, y con mi método también hay un riesgo análogo.
        • 4.1122 La teoría de Darwin no tiene más relación con la filosofía que cualquier otra hipótesis dentro de las ciencias naturales.
      • 4.113 La filosofía pone límites a la muy discutida esfera de las ciencias naturales.
      • 4.114 Debe poner límites a lo que puede ser pensado; y, al hacerlo, a lo que no puede ser pensado. Debe poner límites a lo que no puede ser pensado mediante el proceso de pensar desde dentro hacia afuera lo que puede ser pensado.
      • 4.115 Denotará lo que no puede ser dicho, presentando claramente lo que sí puede ser dicho.
      • 4.116 Todo lo que puede ser pensado en absoluto puede ser pensado claramente. Todo lo que puede ser expresado con palabras puede ser expresado claramente.
    • 4.12 Las proposiciones pueden representar el total de la realidad, pero no pueden representar lo que deben tener en común con la realidad para ser capaces de representarla - la forma lógica. Para ser capaces de representar la forma lógica, deberíamos ser capaces de colocarnos a nosotros mismos mediante proposiciones fuera de la lógica, es decir, fuera del mundo.
      • 4.121 Las proposiciones no pueden representar la forma lógica: se ve reflejada en ellas. Aquello que encuentra su reflexión en el lenguaje, el lenguaje no puede representarlo. Aquello que se expresa a sí mismo en el lenguaje, no podemos expresarlo por medio del lenguaje. Las proposiciones muestran la forma lógica de la realidad. La ponen de manifiesto.
        • 4.1211 Así una proposición 'fa' muestra que el objeto a aparece en su significado, dos proposiciones 'fa' y 'ga' muestran que el mismo objeto se menciona en ambas. Si dos proposiciones se contradicen una a la otra, entonces su estructura lo muestra; lo mismo es cierto si una de las dos se sigue de la otra. Y así.
        • 4.1212 Lo que puede ser mostrado, no puede ser dicho.
        • 4.1213 Ahora también entendemos nuestra intuición de que una vez tengamos un lenguaje de signos en el que todo sea correcto, tendremos un punto de vista lógicamente correcto.
      • 4.122 En cierto sentido podemos hablar de las propiedades formales de objetos y estados de los asuntos, o, en el caso de hechos, sobre propiedades estructurales: y en el mismo sentido sobre relaciones formales y relaciones estructurales. (En lugar de 'propiedad estructural' también utilizo 'propiedad interna'; en lugar de 'relación estructural', 'relación interna'. Introduzco estas expresiones para indicar la fuente de la confusión entre relaciones internas y las relaciones propiamente dichas (las relaciones externas), que está muy extendida entre los filósofos.) Es imposible, sin embargo, afirmar por medio de proposiciones que se dan tales propiedades internas y relaciones: más bien, esto se hace manifiesto en las proposiciones que representan a los estados de las asuntos relevantes, y se ocupan de los objetos relevantes.
        • 4.1221 Una propiedad interna de un hecho puede ser también llamada un rasgo de ese hecho. (En el sentido en el que también hablamos de los rasgos de un rostro.)
      • 4.123 Una propiedad es interna si es impensable que su objeto pudiera no poseerla. (Esta tonalidad de azul y esta otra se encuentran, eo ipso, en la relación interna de más clara a más oscura. Es impensable que estos dos objetos no se encontraran en esta relación.) (Aquí el uso cambiante de la palabra 'objeto' se corresponde al uso cambiante de las palabras 'propiedad' y 'relación'.)
      • 4.124 La existencia de una propiedad interna de una situación posible no se expresa por medio de una proposición: más bien se expresa en la proposición que representa la situación, por medio de una propiedad interna de esa proposición. Sería igual de absurdo afirmar que una proposición tiene una propiedad formal como negarlo.
        • 4.1241 Es imposible distinguir formas unas de otras diciendo que una tiene esta propiedad y la otra aquella otra propiedad: pues esto presupone que tiene sentido adscribir una cualquiera de las propiedades a una cualquiera de las formas.
      • 4.125 La existencia de una relación interna entre situaciones posibles se expresa en el lenguaje por medio de una relación interna entre las proposiciones que las representan.
        • 4.1251 Aquí tenemos la respuesta a la controvertida cuestión de 'si todas las relaciones son internas o externas'.
        • 4.1252 Llamo a una serie que está ordenada por una relación interna una serie de formas. El orden de la serie de números no está gobernada por una relación externa sino por una relación interna. Lo mismo es cierto de la serie de proposiciones 'aRb', '(d:c) : aRx.xRb', '(d x,y) : aRx.xRy.yRb', y subsiguientes. (Si b se encuentra en una de estas relaciones con a, llamo a b un sucesor de a.)
      • 4.126 Podemos ahora hablar de conceptos formales, en el mismo sentido en el que hablamos de propiedades formales. (Introduzco esta expresión para mostrar la fuente de la confusión entre conceptos formales y conceptos propiamente dichos, que impregna el total de la lógica tradicional.) Cuando algo cae bajo un concepto formal como uno de sus objetos, esto no puede ser expresado por medio de una proposición. Sino que se muestra en el mismo signo que representa a este objeto. (Un nombre muestra que denota un objeto, un signo para un número que denota un número, etc.) Los conceptos formales no pueden, de hecho, ser representados por medio de una función, como pueden serlo los conceptos propiamente dichos. Pues sus características, las propiedades formales, no se expresan mediante funciones. La expresión de una propiedad formal es un rasgo de ciertos símbolos. Así, el signo para las características de un concepto formal es un rasgo distintivo de todos los símbolos cuyos significados caigan bajo el concepto. Así, la expresión de un concepto formal es una variable proposicional en la que sólo este rasgo distintivo permanece constante.
      • 4.127 La variable proposicional denota el concepto formal, y sus valores denotan los objetos que caen bajo el concepto.
        • 4.1271 Toda variable es el signo de un concepto formal. Pues toda variable representa una forma constante que todos sus valores poseen, y esto puede ser considerado como una propiedad formal de esos valores.
        • 4.1272 Así pues, el nombre variable 'x' es el signo correcto para el concepto aparente 'objeto'. Allí donde la palabra 'objeto' ('cosa', etc.) es correctamente usada, es expresada en notación conceptual como un nombre variable. Por ejemplo, en la proposición 'Hay dos objetos que...' mediante '(dx,y)'. Allí donde se usa de modo diferente, es decir como una palabra de concepto correcta, el resultado son apariencias absurdas de proposiciones. Así, no se puede decir, por ejemplo, 'Hay objetos', como se podría decir 'Hay libros'. Y es igualmente imposible decir 'Hay 100 objetos' o 'Hay Asub0 objetos'. Y es absurdo hablar del número total de objetos. Lo mismo se aplica a las palabras 'complejo', 'hecho', 'función', 'número', etc. Todas significan conceptos formales, y son representadas en notación formal por variables, no por funciones ni clases (como Frege y Russel creían). '1 es un número', 'Sólo hay un cero' y todas las similares son absurdas. (Es igual de absurdo decir 'Sólo hay un 1' como sería decir '2+2 a las 3 de la tarde es igual a 4'.)
          • 4.12721 Un concepto formal está dado con cualquier objeto que caiga bajo él. No es posible, por tanto, introducir objetos pertenecientes a un concepto formal y [???] el propio concepto formal como conceptos básicos. Así, es imposible, por ejemplo, introducir como conceptos básicos tanto el concepto de función como funciones especiales (como hace Russell); o el concepto de número y números particulares.
        • 4.1273 Si queremos expresar en notación conceptual la proposición general 'b es sucesor de a', necesitamos para ello una expresión para el término general de la serie de la forma: 'aRb', '(d:c):aRx.xRb', '(d x,y):aRx.xRy.yRb', ... Para expresar el término general de una serie de formas, debemos usar una variable, porque el concepto 'término de una serie de formas' es un concepto formal. (Esto es lo que pasaron por alto Frege y Russell: consecuentemente la manera en que quieren expresar proposiciones generales como la anterior es incorrecta; contiene un círculo vicioso.) Podemos determinar el término general de una serie de formas dando su primer término y la forma general de la operación que produce el próximo término a partir de la proposición que lo precede en la serie.
        • 4.1274 Preguntar si un concepto formal existe es absurdo. Puesto que ninguna proposición puede responder a esa pregunta. (Así, por ejemplo, la pregunta '¿Existen proposiciones sujeto-predicado no analizables?' no puede ser preguntada.)
      • 4.128 Las formas lógicas no son numerables. Por consiguiente no hay número preeminentes en lógica, y por consiguiente no hay posibilidad de un monismo, dualismo, etc. filosófico.
  • 4.2 El sentido de una proposición es su acuerdo o desacuerdo con las posibilidades de existencia e inexistencia de estados de los asuntos.
    • 4.21 El tipo más simple de proposición, una proposición elemental, afirma la existencia de estados de los asuntos.
      • 4.211 Es un signo de que una proposición es elemental que no pueda haber ninguna proposición elemental contradiciéndola.
    • 4.22 Una proposición elemental consta de nombres. Es un nexo, una concatenación de nombres.
      • 4.221 Es obvio que el análisis de proposiciones debe llevarnos a proposiciones elementales que consten de nombre en combinación inmediata. Esto suscita la cuestión de cómo se produce esta combinación para dar lugar a proposiciones.
        • 4.2211 Incluso si el mundo es infinitamente complejo, de manera que cualquier hecho consiste una infinitud de estados de los asuntos y cada estado de los hechos consiste de una infinitud de objetos, todavía tendría que haber estados de los asuntos y objetos.
    • 4.23 Es sólo dentro del nexo de una proposición elemental que un nombre aparece en una proposición.
    • 4.24 Los nombres son símbolos simples: los indico mediante letras únicas ('x', 'y', 'z'). Escribo las proposiciones elementales como funciones de los nombres, de manera que tienen la forma 'fx', 'O(x,y)', etc. O las indico mediante las letras 'p', 'q', 'r'.
      • 4.241 Cuando uso dos signos con un significado que es uno y el mismo, expreso esto poniendo el signo '=' entre ellos. Así 'a = b' significa que el signo 'b' puede ser substituido por el signo 'a'. (Si uso una ecuación para introducir un signo nuevo, 'b', determinando que servirá más adelante para substituir a un signo ya conocido, entonces, como Russell, escribo la ecuación -definición- en la forma 'a=b Def.' Una definición es una regla que se ocupa de signos.)
      • 4.242 Las expresiones de la forma 'a = b' son, por tanto, meros auxilios de la representación. No afirman nada acerca del significado de los signos 'a' y 'b'.
      • 4.243 ¿Podemos entender dos nombres sin saber si significan la misma cosa o dos cosas diferentes? - ¿Podemos entender una proposición en la que dos nombres aparezcan sin saber si su significado es el mismo o diferente? Supongamos que conozco el significado de una palabra inglesa y de una palabra alemana que significan lo mismo: entonces es imposible para mí no ser consciente de que en efecto significan lo mismo; debo ser capaz de traducir una en la otra. Las expresiones como 'a = a', y las derivadas de ellas, no son ni proposiciones elementales ni hay ninguna otra manera en la que tengan sentido. (Esto se hará evidente más adelante.)
    • 4.25 Si una proposición elemental es verdadera, el estado de los asuntos existe: si una proposición elemental es falsa, el estado de los asuntos no existe.
    • 4.26 Si todas las proposiciones elementales verdaderas están dadas, el resultado es una descripción completa del mundo. El mundo está completamente dando todas las proposiciones elementales, y añadiendo cuáles de ellas son verdaderas y cuáles falsas. Para n estados de los asuntos, hay posibilidades de existencia y de inexistencia. De estos estados de los asuntos cualquier combinación puede existir y el resto no existir.
    • 4.28 A estas combinaciones corresponde un mismo número de posibilidades de verdad -y falsedad- de n proposiciones elementales.
  • 4.3 Las posibilidades de verdad de proposiciones elementales significan posibilidades de existencia e inexistencia de estados de los asuntos.
    • 4.31 Podemos representar posibilidades de verdad mediante esquemas del tipo siguiente: ('V' significa verdadero, 'F' significa falso; las filas de 'V's y 'F's bajo la fila de proposiciones elementales simbolizan sus posibilidades de verdad de una manera fácilmente comprensible)

p

V

F

• • 4.4 Una proposición es una expresión de acuerdo y desacuerdo con las posibilidades de verdad de proposiciones elementales.
    • 4.41 Las posibilidades de verdad de proposiciones elementales son las condiciones de verdad y falsedad de proposiciones.
      • 4.4.11 Inmediatamente le parece a uno probable que la introducción de proposiciones elementales proporcione la base para entender todas las demás clases de proposiciones. En efecto, la comprensión de proposiciones generales depende palpablemente de la comprensión de proposiciones elementales.
    • 4.42 Para n proposiciones elementales hay [expresión matemática] [???] L maneras en que una proposición puede acordar o no acordar con sus posibilidades de verdad.
    • 4.43 Podemos expresar el acuerdo con las posibilidades de verdad poniendo en correlación la marca 'V' (verdadero) con ellas en el esquema. La ausencia de esta marca implica el desacuerdo.
      • 4.431 La expresión de acuerdo y desacuerdo con las posibilidades de verdad de proposiciones elementales expresa las condiciones de verdad de una proposición. Una proposición es la expresión de sus condiciones de verdad. (Así pues Frege estaba bastante en lo cierto al usarlas como un punto de partida cuando explicó los signos de su notación conceptual. Pero la explicación del concepto de verdad que da Frege está equivocado: si 'lo cierto' y 'lo falso' fueran realmente objetos, y fueran los argumentos en Pp, etc., entonces el método de Frege para determinar el sentido de 'Pp' la dejaría totalmente indeterminada.)
    • 4.44 El signo que resulta de poner en correlación la marca 'V' con posibilidades de verdad es un signo proposicional.
      • 4.441 Está claro que un complejo de los signos 'F' y 'V' no tiene a ningún objeto (o complejo de objetos) que se corresponda con él, al igual que no hay ninguno que se corresponda con las líneas horizontales o verticales, o con los paréntesis. -- No hay 'objetos lógicos'. Por supuesto, lo mismo se aplica a todos los signos que expresan lo que los esquemas de 'V's y 'F's expresan.
      • 4.442 Por ejemplo, el siguiente es un signo proposicional:

	p	q
	V	V	V
>>	F	V	V	<<
	V	F
	F	F	V

(La "línea de juicio" "|-" de Frege no tiene mucho sentido, hablando lógicamente: en las obras de Frege (y de Russell) simplemente indica que estos autores consideran las proposiciones marcadas con este signo como verdaderas. Así pues, "|-" no tiene más de parte constituyente de una proposición de lo que tiene, por ejemplo, el número de la proposición. Es bastante imposible para una proposición afirmar que ella misma es cierta.) Si el orden de las posibilidades de verdad en un esquema está fijado de una vez por todas mediante una regla combinatoria, entonces la última columna por sí misma será una expresión de las condiciones de verdad. Si entonces escribimos esta columna como una fila, el signo proposicional se convertirá en '(VV - V)(p, q)' ó, más explícitamente, '(VVFV)(p, q)' (El número de plazas en el paréntesis izquierdo viene determinado por el número de objetos en el paréntesis derecho.)

• • • 4.45 Para n proposiciones elementales, existen Lsubn [???] grupos posibles de condiciones de verdad. Los grupos de condiciones de verdad que pueden obtenerse de las posibilidades de verdad de un número dado de proposiciones elementales puede ser ordenado en una serie.
    • 4.46 Entre los posibles grupos de condiciones de verdad hay dos casos extremos. En uno de estos casos, la proposición es verdadera para todas las posibilidades de verdad de las proposiciones elementales. Decimos que las condiciones de verdad son tautológicas. En el segundo caso la proposición es falsa para todas las posibilidades de verdad: las condiciones de verdad son contradictorias. En el primer caso llamamos a la proposición una tautología; en el segundo, una contradicción.
      • 4.461 Las proposiciones muestran lo que dicen; las tautologías y las contradicciones muestran que no dicen nada. Una tautología no tiene condiciones de verdad, puesto que incondicionalmente verdadera; y una contradicción no es cierta bajo ninguna condición. Las tautologías y contradicciones no poseen sentido. (Como un punto del que parten dos flechas en direcciones opuestas una a la otra.) (Por ejemplo, no sé nada acerca del tiempo cuando sé que está lloviendo o no lloviendo.)
        • 4.4611 Las tautologías y las contradicciones no son, sin embargo, absurdas. Son parte del simbolismo, al igual que '0' es parte del simbolismo de la aritmética.
      • 4.462 Las tautologías y las contradicciones no son imágenes de la realidad. No representan ninguna situación posible. Puesto que las primeras admiten todas las situaciones posibles, y las segundas ninguna. En un tautología, las condiciones de acuerdo con el mundo - las relaciones representacionales - se cancelan unas a otras, de manera que no está en ninguna relación representacional con la realidad.
      • 4.463 Las condiciones de verdad de una proposición determinan el rango que ésta deja abierto a los hechos. (Una proposición, una imagen o un modelo es, en el sentido negativo, como un cuerpo sólido que restringe la libertad de movimiento de otros, y en el sentido positivo, como un espacio limitado por una substancia sólida en el cual hay espacio para un sólido.) Una tautología deja abierto para la realidad el total - el total infinito - del espacio lógico; una contradicción llena el total del espacio lógico no dejando ningún punto de él para la realidad. Así pues ninguna de las dos pues determinar la realidad de ningún modo.
      • 4.464 La verdad de una tautología es segura, la de una proposición es posible, y la de una contradicción es imposible. (Segura, posible, imposible: aquí tenemos la primera indicación de la escala que necesitamos en la teoría de la probabilidad.)
      • 4.465 El producto lógico de una tautología y de una proposición dice lo mismo que la proposición. Este producto, por tanto, es idéntico a la proposición. Puesto que es imposible alterar lo que esencial a un símbolo sin alterar su sentido.
      • 4.466 Lo que corresponde a una determinada combinación lógica de signos es una determinada combinación lógica de sus significados. Es sólo a los signos no combinados a los que absolutamente cualquier combinación se corresponde. En otras palabras, las proposiciones que son verdaderas para cada situación no pueden ser combinaciones de signos en absoluto, puesto que, si lo fueran, sólo determinadas combinaciones de objetos se corresponderían con ellas. (Y lo que no es una combinación lógica no tiene una combinación de objetos que se corresponda con ello.) La tautología y la contradicción son los casos límite -de hecho, la desintegración- de la combinación de signos.
        • 4.4661 Lo cierto es que los signos de todas formas se combinan en las tautologías y las contradicciones -es decir, se encuentran en ciertas relaciones unos con otros, pero estas relaciones no tienen significado, no son esenciales para el símbolo.
  • 4.5 Ahora parece posible dar la forma proposicional más general: es decir, dar una descripción de las proposiciones de cualquier lenguaje de signos, sea el que sea, de tal manera que cualquier sentido posible pueda ser expresado por un símbolo que satisfaga la descripción, y cualquier signo que satisfaga la descripción pueda expresar un sentido, suponiendo que los significados de los nombres han sido escogidos adecuadamente. Está claro que sólo lo que es esencial a la forma proposicional más general puede ser incluido en su descripción - puesto que de otra manera no sería la forma más general. La existencia de una forma proposicional general está probada por el hecho de que no puede haber una proposición cuya forma no hubiera podido ser prevista (es decir, construida). La forma general de una proposición es: (algo) se encuentra así y así.
    • 4.51 Supongamos que se me proporcionan todas las proposiciones elementales; entonces, puedo simplemente preguntarme qué proposiciones puede construir a partir de ellas. Y entonces tengo todas las proposiciones, y esto fija sus límites.
    • 4.52 Las proposiciones comprenden todo lo que se sigue de la totalidad de las proposiciones elementales (y, por supuesto, del hecho de que sean la totalidad de todas ellas.) (Por tanto, en cierto sentido, se podría decir que todas las proposiciones son generalizaciones de las proposiciones elementales.)
    • 4.53 La forma proposicional general es una variable.

5

• 5 Una proposición es una función de verdad de proposiciones elementales. (Una proposición elemental es una función de verdad de sí misma.)
  • • 5.01 Las proposiciones elementales son los argumentos de verdad de las proposiciones.
    • 5.02 Los argumentos de las funciones son habitualmente confundidos con los afijos [???] de los nombres. Puesto que ambos, afijos y nombres, permiten reconocer el significado de los signos que los contienen. Por ejemplo, cuando Russell escribe '+c', la 'c' es un afijo que indica que el signo en su totalidad es el signo de adición para los números cardinales. Pero el uso de este signo es el resultado de una convención arbitraria y sería bastante posible escoger un signo simple en lugar de '+c'; en 'Pp', no obstante, 'p' no es un afijo sino un argumento: el sentido de 'Pp' no puede ser entendido a menos que el sentido de 'p' haya sido entendido anteriormente. (En el nombre Julio César 'Julio' es un afijo. Un afijo es siempre parte de una descripción del objeto a cuyo nombre lo añadimos: por ejemplo el César de la familia romana Julia.) Si no estoy equivocado, la teoría de Frege sobre el sentido de las proposiciones y las funciones está basada en la confusión entre argumento y afijo. Frege consideraba las proposiciones de la lógica como nombres, y sus argumentos como los afijos de esos nombres.
  • 5.1 Las funciones de verdad pueden ser ordenadas en series. Esto es el fundamento de la teoría de la probabilidad.
    • • 5.101 Las funciones de verdad de un número dado de proposiciones elementales pueden ser siempre inscritas en un esquema de la siguiente forma:

(VVVV)(p,q)	Tautología	(Si p entonces p, y si q entonces q) (p z p . q z q)
(FVVV)(p, q)	en palabras:	No ambas p y q (P ( p . q ) )
(VFVV)(p, q)	en palabras:	Si q entonces p (q z p)
(VVFV)(p, q)	en palabras:	Si p entonces q (p z q)
(VVVF)(p, q)	en palabras:	p ó q (p C q)
(FFVV)(p, q)	en palabras:	No q (Pq)
(FVFV)(p, q)	en palabras:	No p (Pp)
(FVVF)(p, q)	en palabras:	p ó q, pero no ambas (p.Pq : C : q.Pp)
(VFFV)(p, q)	en palabras:	Si p entonces q, y si q entonces p (p + q)
(VFVF)(p, q)	en palabras:	p
(VVFF)(p, q)	en palabras:	q
(FFFV)(p, q)	en palabras:	Ni p ni q (Pp.Pq ó p | q )
(FFVF)(p, q)	en palabras:	p y no q (p.Pq)
(FVFF)(p, q)	en palabras:	q y no p (q.Pp)
(VFFF)(p, q)	en palabras:	q y p (q.p)
(FFFF)(p, q)	Contradicción	(p y no p, q y no q) (p.Pp.q.Pq)

Daré el nombre de razones de verdad de una proposición a aquellas posibilidades de verdad de sus argumentos de verdad que la convierten en cierta.

• • • 5.11 Si todas las razones de verdad que son comunes a un número de proposiciones son al mismo tiempo razones de verdad de una cierta proposición, entonces decimos que la verdad de esa proposición se sigue de la verdad de las otras.
    • 5.12 En particular, la verdad de una proposición 'p' se sigue de la verdad de otra proposición 'q' si todas las razones de verdad de la última son razones de verdad de la primera.
      • 5.121 Las razones de verdad de la una están contenidas en las de la otra: p se sigue de q.
      • 5.122 Si p se sigue de q, el sentido de 'p' está contenido en el sentido de 'q'.
      • 5.123 Si un dios crea un mundo en el que ciertas proposiciones son ciertas, entonces por ese mismo acto también crea un mundo en que todas las proposiciones que se siguen de las primeras. Y similarmente, no podría crear un mundo en el que la proposición 'p' fuera cierta sin crear todos sus objetos.
      • 5.124 Una proposición afirma cualquier proposición que se siga de ella.
        • 5.1241 'p.q' es una de las proposiciones que afirman 'p' y al mismo tiempo una de las proposiciones que afirman 'q'. Dos proposiciones se encuentran en oposición la una con la otra si no hay proposición con sentido que afirme ambas. Cada proposición que contradiga a otra, la niega.
    • 5.13 Podemos ver que la verdad de una proposición se sigue de la verdad de otras en la estructura de la proposición.
      • 5.131 Si la verdad de una proposición se sigue de la verdad de otras, esto encuentra expresión en las relaciones en las que las formas de las proposiciones se encuentran unas respecto de las otras; y de hecho no necesitamos crear estas relaciones entre ellas, combinándolas en una sola proposición, sino que estas relaciones son internas y su existencia es una consecuencia inmediata de la existencia de las proposiciones.
        • 5.1311 Cuando inferimos q de p C q y Pp, la relación entre las formas proposicionales 'p C q' y 'Pp' está oculta, en este caso, por nuestra forma de denotar. Pero si en lugar de 'p C q' escribiéramos, por ejemplo, 'p|q . | . p|q', y en lugar de 'Pp', 'p|p' (p|q = ni p ni q), entonces la conexión interna se hace obvia. (La posibilidad de inferencia a partir de (x).fx hasta fa muestra que la totalidad se encuentra también en el símbolo (x).fx.)
      • 5.132 Si p se sigue de q, puedo hacer una inferencia de q a p, deducir q de p. La naturaleza de la inferencia sólo puede ser obtenida de ambas proposiciones. Ellas mismas son la única justificación posible de su inferencia. Las 'leyes de la inferencia', que se supone justifican las inferencias, como en las obras de Frege y Russell, no tienen sentido y serían superfluas.
      • 5.133 Todas las deducciones son hechas a priori.
      • 5.134 Una proposición elemental no puede ser deducida de otra.
      • 5.135 No hay manera posible de hacer una inferencia de la existencia de una situación a la existencia de otra enteramente diferente.
      • 5.136 No hay nexo causal que justifique tal inferencia.
        • 5.1361 No podemos inferir los eventos del futuro a partir de aquellos del presente. La creencia en ese nexo causal es la superstición.
        • 5.1362 La libertad de albedrío consiste en la imposibilidad de conocer acciones futuras. Podríamos conocerlas sólo si la causalidad fuera una necesidad interna, como la de la inferencia lógica. - La conexión entre conocimiento y lo que es conocido es la de la necesidad lógica. ('A sabe que p es el caso' no tiene sentido si p es una tautología.)
        • 5.1363 Si la verdad de una proposición no se sigue del hecho de que nos parezca evidente, entonces esta evidencia no justifica de ninguna manera nuestra creencia en su verdad.
    • 5.14 Si una proposición se sigue de otra, la última dice más que la primera, y la primera menos que la última.
      • 5.141 Si p se sigue de q y q de p, entonces las dos proposiciones son una y la misma.
      • 5.142 Una tautología se sigue de todas las proposiciones: no dice nada.
      • 5.143 La contradicción es ese factor común de las proposiciones que ninguna proposición tiene en común con otra. La tautología es el factor común de todas las proposiciones que no tienen nada en común unas con otras. La contradicción, podría decirse, se desvanece fuera de todas las proposiciones: la tautología se desvanece dentro de ellas. La contradicción es el límite externo de las proposiciones: la tautología es el punto insubstancial en su centro.
    • 5.15 Si Vr es el número de razones de verdad de una proposición 'r', y si Vrs es el número de razones de verdad de una proposición 's' que son a la vez razones de verdad de 'r', llamamos a la proporción Vrs / Vr el grado de probabilidad que la proposición 'r' le da a la proposición 's'.
      • 5.151 En un esquema como en el anterior en 5.101, sea Vr el número de 'V's en la proposición r y sea Vrs el número de 'V's en la proposición s que se encuentran en columnas en las que la proposición r tiene 'V's. Entonces la proposición r da a la proposición s la probabilidad Vrs / Vr.
        • 5.1511 No existe un objeto que sea propio a las proposiciones de probabilidad.
      • 5.152 Cuando las proposiciones no tienen argumentos de verdad en común unas con otras, las llamamos independientes unas de otras. Dos proposiciones elementales se dan una a la otra la probabilidad 1/2. Si p se sigue de q, entonces la proposición 'q' da a la proposición 'p' la probabilidad 1. La certeza de la inferencia lógica es el caso límite de la probabilidad. (Aplicación a la tautología y a la contradicción.)
      • 5.153 En sí misma, una proposición no es probable ni improbable. O bien un hecho ocurre o no ocurre: no hay camino intermedio.
      • 5.154 Supongamos que una urna contiene bolas blancas y negras en igual número (y ninguna de otra clase). Saco una bola detrás de otra, poniéndolas de nuevo en la urna. Mediante este experimento puedo establecer que el número de bolas negras sacadas y el número de bolas blancas sacadas se aproximan uno al otro a medida que la saca continúa. Esto por tanto no es un hecho matemático. Si ahora digo: 'La probabilidad de que saque una bola blanca es igual a la probabilidad de que saque una bola negra', esto significa que todas las circunstancias de las que tengo conocimiento (incluyendo las leyes naturales asumidas como hipótesis) no dan mayor probabilidad a la ocurrencia de un hecho que a la del otro. Es decir, dan a ambas la probabilidad 1/2 como puede ser fácilmente obtenido de las definiciones anteriores. Lo que confirmo mediante el experimento es que la aparición de los dos hechos es independiente de las circunstancias de las que no tengo un conocimiento más detallado.
      • 5.155 La unidad mínima para una proposición de probabilidad es ésta: Las circunstancias - de las que no tengo mayor conocimiento - dan tal y tal grado de probabilidad a la aparición de un determinado hecho.
      • 5.156 Es de esta manera en que la probabilidad es una generalización. Implica una descripción general de una forma proposicional. Usamos la probabilidad sólo en falta de la certeza - si nuestro conocimiento de un hecho no es del todo completo, pero sabemos algo acerca de su forma. (Una proposición podría bien ser una imagen incompleta de cierta situación, pero es siempre una imagen completa de algo.) Una proposición de probabilidad es una suerte de extracto de otras proposiciones.
  • 5.2 Las estructuras de las proposiciones se encuentran en relaciones internas unas con otras.
    • 5.21 Para dar prominencia a estas relaciones internas podemos adoptar el siguiente modo de expresión: podemos representar una proposición como el resultado de una operación que la produce a partir de otras proposiciones (que son las bases de las operación).
    • 5.22 Una operación es la expresión de una relación entre las estructuras de su resultado y de sus bases.
    • 5.23 La operación es lo que debe ser hecho a una de las proposiciones para hacer la otra a partir de ella.
      • 5.231 Y esto, por supuesto, dependerá de sus propiedades formales, en la similitud interna de sus formas.
      • 5.232 La relación interna por la que una serie es ordenada es equivalente a la operación que produce un término a partir de otro.
      • 5.233 Las operaciones no pueden aparecer antes del punto en el que una proposición es generada a partir de otra de un modo con sentido lógico; es decir, a partir del punto en el que empieza la construcción lógica de proposiciones.
      • 5.234 Las funciones de verdad de las proposiciones elementales son resultados de operaciones con proposiciones elementales como bases. (A estas operaciones las llamo operaciones de verdad.)
        • 5.2341 El sentido de una función de verdad de p es una función del sentido de p. La negación, la adición lógica, la multiplicación lógica, etc, etc, son operaciones. (La negación invierte el sentido de una proposición.)
    • 5.24 Una operación se manifiesta en una variable; muestra cómo podemos ir de una forma de proposición a otra. Da expresión a la diferencia entre expresiones. (Y lo que las bases de una operación y su resultado tienen en común es sólo las bases mismas.)
      • 5.241 Una operación no es la marca característica de una forma, sino sólo de una diferencia entre formas.
      • 5.242 La operación que produce 'q' a partir de 'p' también produce 'r' de 'q', y así sucesivamente. Sólo hay una manera de expresar esto: 'p', 'q', 'r', etc, deben ser variables que dan expresión de modo general a ciertas relaciones formales.
    • 5.25 La aparición de una operación no caracteriza el sentido de una proposición. En efecto, ninguna afirmación se hace mediante la operación, sino sólo mediante su resultado, y éste depende de las bases de la operación. (Operaciones y funciones no deben ser confundidas entre sí.)
      • 5.251 Una función no puede ser su propio argumento, mientras que una operación puede tomar sus propios resultados como base.
      • 5.252 Es sólo de este modo en que el paso de un término de una serie de formas a otro es posible (de un tipo a otro en las jerarquías de Russell y Whitehead). (Russell y Whitehead no admitieron la posibilidad de tales pasos, pero hicieron uso de ellos repetidas veces.)
        • 5.2521 Si una operación se aplica repetidamente sobre sus propios resultados, hablo de aplicaciones sucesivas de ésta. ('O'O'O'a' es el resultado de tres aplicaciones sucesivas de la operación 'O'E' sobre 'a'.) De un modo similar, hablo de aplicaciones sucesivas de más de una operación sobre un número de proposiciones.
        • 5.2522 De acuerdo con esto, uso el signo '[a, x, O'x]' para el término general de la serie de formas a, O'a, O'O'a, ... . Esta expresión entre paréntesis es una variable: el primer término de la expresión entre paréntesis es el principio de la serie de formas, el segundo es la forma de un término x seleccionado arbitrariamente de la serie, y el tercero es la forma del término que sigue inmediatamente a x en la serie.
        • 5.2523 El concepto de aplicaciones sucesivas de una operación es equivalente al concepto 'y así sucesivamente'.
      • 5.253 Una operación puede contrarrestar el efecto de otra. Las operaciones pueden cancelarse unas a otras.
      • 5.254 Una operación puede desvanecerse (por ejemplo en 'PPp' : PPp = p ).
  • 5.3 Todas las proposiciones son el resultado de operaciones de verdad sobre proposiciones elementales. Una operación de verdad es la manera en que una función de verdad es producida a partir de proposiciones elementales. Es parte de la esencia de las operaciones de verdad que, al igual que las proposiciones elementales producen una función de verdad de ellas mismas, así también de la misma manera las funciones de verdad produzcan una función de verdad más. Cuando una operación de verdad es aplicada a las funciones de verdad de proposiciones elementales, siempre genera otra función de verdad de proposiciones elementales, otra proposición. Cuando una operación de verdad es aplicada a los resultados de operaciones de verdad sobre proposiciones elementales, siempre hay una operación única sobre proposiciones elementales que tiene el mismo resultado. Cada proposición es el resultado de operaciones de verdad sobre proposiciones elementales.
    • 5.31 El esquema en 4.31 tienen sentido incluso cuando 'p', 'q', 'r', etc. no son proposiciones elementales. Y es fácil ver que el signo proposicional en 4.442 expresa una única función de verdad a partir de proposiciones elementales incluso cuando 'p' y 'q' son funciones de verdad de proposiciones elementales.
    • 5.32 Todas las funciones de verdad son resultado de sucesivas aplicaciones sobre proposiciones elementales de un número finito de operaciones de verdad.
  • 5.4 En este punto se hace manifiesto que no hay 'objetos lógicos' o 'constantes lógicas' (en el sentido de Frege y Russell).
    • 5.41 La razón es que los resultados de las operaciones de verdad sobre funciones de verdad son siempre idénticos siempre que sean una y la misma función de verdad de proposiciones elementales.
    • 5.42 Es evidente que C, z, etc. no son relaciones en el sentido en que izquierda y derecha, etc. son relaciones. La interdefinibilidad de Frege y los 'signos primitivos' de la lógica de Russell es suficiente para mostrar que no son signos primitivos, e incluso menos signos para relaciones. Y es obvio que la 'z' definida por medio de 'P' y 'C' es idéntica a la que figura con 'P' en la definición de 'C'; y que la segunda 'C' es idéntica con la primera; y así sucesivamente.
    • 5.43 Incluso a primera vista parece difícilmente creíble que de un hecho p puedan seguirse infinitos otros, concretamente PPp, PPPPp, etc. Y no es menos notable que el infinito número de las proposiciones de la lógica (matemática) se sigan de media docena de 'proposiciones primitivas'. Pero efectivamente todas las proposiciones de la lógica dicen lo mismo. Básicamente, nada.
    • 5.44 Las funciones de verdad no son funciones materiales. Por ejemplo, una afirmación puede ser producida por una dobla negación: en este caso, ¿se sigue que en cierto modo la negación está contenida dentro de la afirmación? ¿'PPp' niega Pp, o afirma p - o ambas ? La proposición 'PPp' no trata de la negación como si la negación fuese un objeto; no obstante la posibilidad de la negación se encuentra ya prejuzgada dentro de la afirmación. Y si hubiera un objeto llamado 'Pp', se seguiría que 'PPp' diría algo distinto de lo que decía 'p', simplemente porque una proposición trataría de P y la otra no.
      • 5.441 Esta desaparición de las aparentes constantes lógicas también ocurre en el caso de 'P(dx)'.Pfx', que dice lo mismo que '(x).fx', y en el caso de '(dx).fx.x = a', que dice lo mismo que 'fa'.
      • 5.442 Si nos es dada una proposición, entonces con ellas se nos da también los resultados de todas las operaciones de verdad que la tienen como su base.
    • 5.45 Si existen los signos lógicos primitivos, entonces cualquier lógica que fracase en mostrar cómo se encuentran situados unos respecto de otros y en justificar su existencia debe ser incorrecta. La construcción de la lógica a partir de sus signos primitivos debe ser aclarada.
      • 5.451 Si la lógica tiene ideas primitivas, deben ser independientes unas de las otras. Si una idea primitiva ha sido introducida, debe haber sido introducida en todas las combinaciones en las que pueda aparecer. No puede por tanto ser introducida primero para una combinación y luego para otra. Por ejemplo, una vez que la negación ha sido introducida, debemos entender tanto en proposiciones de la forma 'Pp' como en proposiciones como 'P( p C q )', '(dx).Pfx', etc. No debemos introducirla primero para una clase de casos y después para la otra, puesto que quedaría dudoso si su significado sería el mismo en ambos casos, y no se habría dado ninguna razón para combinar los signos de la misma manera en ambos casos. (Brevemente, las observaciones de Frege sobre introducir signos por medio de definiciones (en las Leyes Fundamentales de la Aritmética) también se aplican, mutatis mutandis, a la introducción de signos primitivos.)
      • 5.452 La introducción de cualquier nuevo artificio auxiliar en el simbolismo de la lógica es necesariamente un acto cargado de consecuencias. En la lógica, un nuevo artificio no debe ser introducido entre paréntesis o en una nota a pie de página por así decir con un aire de inocencia. (Así, en los "Principia Mathematica" de Russell y Whitehead aparecen definiciones y proposiciones primitivas expresadas en palabras. ¿Por qué esta súbita aparición de las palabras? Requeriría una justificación, pero no se da ninguna ni se podría dar, puesto que el procedimiento es de hecho ilícito.) Pero si la introducción de un nuevo artificio se ha demostrado necesaria en un cierto punto, debemos preguntarnos, "¿En qué puntos es ahora inevitable el empleo de ese nuevo artificio?" y su lugar en la lógica debe quedar aclarado.
      • 5.453 Todos los números en la lógica se encuentran en necesidad de justificación. O más bien, debe constatarse que no hay números en la lógica. No hay números preeminentes.
      • 5.454 En la lógica no hay una conjunción de diferentes elementos, ninguna clasificación en órdenes de importancia. En la lógica no puede haber ninguna distinción entre lo general y lo específico.
        • 5.4541 Las soluciones a los problemas de lógica deben ser simples, puesto que definen el estándar de simplicidad. Los seres humanos han tenido siempre el presentimiento de que debe existir un ámbito de preguntas cuyas respuestas se encuentran unidas -a priori- simétricamente entre sí y componiendo una estructura cerrada y regular. Un ámbito sujeto a la ley: Simplex sigillum veri ["La simplicidad es el sello de la verdad"]
    • 5.46 Si hubiéramos introducido los signos lógicos correctamente, se habría introducido también con ese mismo acto el sentido de todas sus combinaciones; es decir, no sólo 'p C q' sino 'P( p C q)' también, etc, etc. Se habría introducido también con ello el efecto de todas las posibles combinaciones de paréntesis. Y por tanto se habría aclarado que los auténticos signos primitivos generales no son 'p C q', '(dx).fx', etc sino la forma más general de sus combinaciones.
      • 5.461 Aunque pueda parecer poco importante, es de hecho significativo que las pseudo-relaciones de la lógica, tales como C y z, necesiten paréntesis - a diferencia de las relaciones reales. En efecto, el uso de paréntesis con estos signos aparentemente primitivos es en sí mismo una indicación de que no son signos primitivos. Y, por descontado, nadie creerá que los paréntesis tienen un significado independiente.
        • 5.4611 Los signos para las operaciones lógicas son signos de puntuación.
    • 5.47 Está claro que todo lo que se pueda decir por adelantado sobre la forma de todas las proposiciones, debe dejarse decir de una sola vez. Una proposición elemental contiene en realidad a todas las operaciones lógica dentro de sí misma. Puesto que 'fa' dice lo mismo que '(dx).fx.x = a' . Dondequiera que haya una composición de diferentes elementos, allí están presentas argumento y función, y donde éstos se encuentras, allí están ya todas las constantes lógicas. Se podría decir que la única constante lógica es aquélla que todas las proposiciones, por su propia naturaleza, tendrían en común las unas con las otras. Pero ésta es la forma proposicional general.
      • 5.471 La forma proposicional general es la esencia de una proposición.
        • 5.4711 Dar la esencia de una proposición significa dar la esencia de toda descripción, y por tanto la esencia del mundo.
      • 5.472 La descripción de la forma proposicional más general es la descripción del único e irrepetible signo primitivo en lógica.
      • 5.473 La lógica debe cuidar de sí misma. Si un signo es posible, entonces es capaz de denotar. Cualquier cosa que sea posible en lógica es también admisible. (La razón por la que 'Sócrates es idéntico' no significa nada es que no hay una propiedad llamada 'idéntico'. La proposición es absurda porque hemos fallado al hacer una determinación arbitraria, y no porque el símbolo en sí mismo sea ilegítimo.) En cierto sentido, no podemos cometer errores en lógica.
        • 5.4731 La iluminación de la comprensión, de la que Russell hablaba tanto, sólo puede ser dispensable en la lógica porque el lenguaje por sí mismo evita cualquier fallo. - El que la lógica sea a priori se basa en que no se puede pensar ilógicamente.
        • 5.4732 No podemos darle a un signo un sentido falso.
          • 5.74321 La máxima de Occam no es, por supuesto, ni una regla arbitraria ni una que esté justificada por su éxito en la práctica: afirma que las unidades innecesarias en un lenguaje de signos no significan nada. Los signos que sirven a un propósito son lógicamente equivalentes, y los signos que no sirven a ninguno no tienen significado lógico.
        • 5.4733 Frege dice que cualquier proposición construida legítimamente debe tener sentido. Y yo digo que cualquier proposición posible está legítimamente construida, y, si no tiene sentido, sólo puede ser porque nosotros hemos fallado en darle sentido a alguno de sus constituyentes. (Incluso si pensamos que lo hemos hecho.) Por tanto la razón de que 'Sócrates es idéntico' no diga nada es que no hemos dado ninguna significación adjetiva a la palabra 'idéntico'. Puesto que cuando aparece como un signo de la identidad, simboliza de un modo totalmente diferente - la relación de significado es una distinta - así pues los símbolos son enteramente diferentes en los dos casos: los dos símbolos tienen sólo el signo en común, y esto es un accidente.
      • 5.474 El número de operaciones fundamentales que son necesarias depende solamente de nuestra notación.
      • 5.475 Todo lo que se requiere es que construyamos un sistema de signos con número particular de dimensiones - con una multiplicidad matemática particular.
      • 5.476 Está claro que esto no es una cuestión de un número de ideas primitivas que deban ser determinadas, sino de la enunciación de una regla.
  • 5.5 Cualquier función de verdad es el resultado de sucesivas aplicaciones sobre proposiciones elementales de la operación '(-----V)(ξ,....)'. Esta operación niega todas las proposiciones en el paréntesis derecho, y la llamo la negación de esas proposiciones.
    • • 5.501 Cuando una expresión entre paréntesis tiene proposiciones como sus términos - y el orden de los términos dentro de los paréntesis es indiferente - lo indico mediante un signo de la forma '()'. 'ξ' es una variable, cuyos valores son términos de la expresión entre paréntesis; y una barra encima de la variable denota que es la representante de todos sus valores entre paréntesis. (Si ξ tiene por ejemplo los tres valores P, Q, R, (ξ con barra)=(P,Q,R).) Los valores de la variables viene estipulados. La estipulación es una descripción de las proposiciones que tienen a la variable como su representante. Cómo se produce la descripción de los términos de la expresión entre paréntesis no es esencial. Podemos distinguir entre tres clases de descripción:

1. Enumeración directa, en cuyo caso podemos simplemente substituir la variable por las constantes que son sus valores;
2. dando una función fx cuyos valores para todos los valores de x sean las proposiciones a describir;
3. dando una ley formal que gobierne la construcción de las proposiciones, en cuyo caso la expresión entre paréntesis tiene como miembros todos los términos de una serie de formas.

• • • • 5.502 Así que en lugar de '(-----V)(ξ,....)', escribo 'N(ξ con barra)'. 'N(ξ con barra)' es la negación de todos los valores de la variable proposicional ξ.
      • 5.503 Es obvio que podemos fácilmente expresar cómo se construyen proposiciones mediante esta operación, y cómo no se construyen mediante ella; de manera que debe ser posible encontrar una expresión exacta para esto.
    • 5.51 Si ξ tiene un solo valor, entonces N(ξ con barra) = Pp (no p); si tiene dos valores, entonces N(ξ con barra) = Pp . Pq (ni p ni q).
      • 5.511 ¿Cómo puede la lógica - la lógica que lo abarca todo, que refleja el mundo - necesitar tales remiendos especiales y manipulaciones? Sólo en la medida en que todos éstos se anudan para dar una red infinitamente fina, el gran espejo que refleja.
      • 5.512 'Pp' es verdadera si 'p' es falsa. Por tanto, en la proposición verdadera 'Pp' , 'p' es una proposición falsa. ¿Cómo puede entonces la operación 'P' hacerla corresponder con la realidad? Lo que niega en 'Pp' no es 'P', sino aquello que es común a todos los signos de esta notación que niegan p. Es decir la regla general mediante la cual se construyen 'Pp', 'PPPp', 'Pp C Pp', 'Pp.Pp', etc, etc. (ad inf.) Y este factor común refleja la negación.
      • 5.513 Podríamos decir que lo que es común a todos los símbolos que afirman tanto p como q es la proposición 'p.q'; y lo que es común a todos los símbolos que afirman o p o q es la proposición 'p C q'. Y similarmente podemos decir que dos proposiciones están opuestas una a la otra si no tienen nada en común una con la otra, y que todas proposición tiene sólo una negativa, puesto que existe sólo una proposición que cae completamente fuera de ella. Por tanto en la notación de Russell también se hace manifiesto que 'q:p C Pp' dice lo mismo que 'q', que 'p C Pp' no dice nada.
      • 5.514 Una vez que una notación ha sido establecida, habrá en ella una regla que gobierne la construcción de todas las proposiciones que niegan p, una regla que gobierne la construcción de todas las proposiciones que afirman p, y una regla que gobierne la construcción de todas las proposiciones que afirmen p o q; y así sucesivamente. Estas reglas son equivalentes a los símbolos; y en ellas se refleja su sentido.
      • 5.515 Debe quedar patente en nuestro símbolos que aquello está unido por 'C', '.', etc. deben ser proposiciones. Y éste es en efecto el caso, puesto que el símbolo 'p', 'q' en sí mismo presupone 'C', 'P', etc. Si el signo 'p' en 'p C q' no representa a un complejo, entonces no puede tener sentido por sí mismo; entonces, sin embargo, los signos 'p C p', 'p.p', etc., que tienen el mismo sentido que p, no tendrían tampoco sentido. Pero si 'p C p' no tiene sentido, entonces 'p C q' tampoco tiene sentido.
        • 5.5151 ¿Debe el signo de una proposición negativa ser construido con el de una proposición positiva? ¿Por qué debería ser imposible expresar una proposición negativa por medio de un hecho negativo? (Por ejemplo, supongamos que 'a' no se encuentra en determinada relación con 'b'; entonces esto podría ser usado para decir que aRb no es el caso.) Pero en realidad incluso en este caso la proposición negativa está construida por un uso indirecto de la positiva. La proposición positiva necesariamente presupone la existencia de la proposición negativa y viceversa.
    • 5.52 Si ξ tiene como valores todos los valores de una función fx para todos los valores de x, entonces N(ξ con barra) = P(dx).fx.
      • 5.521 Yo separo el concepto Todos de la función de verdad. Frege y Russell introdujeron la generalidad en asociación con el producto lógico o la suma lógica. Esto hizo difícil entender las proposiciones '(dx).fx' y '(x).fx' en las que ambas ideas se encuentran embebidas.
      • 5.522 Lo que es peculiar al signo de generalidad es, primero, que indica un prototipo lógico, y segundo, que da prominencia a las constantes.
      • 5.523 El signo de generalidad aparece como un argumento.
      • 5.524 Si los objetos están dados, nos vienen dados con ellos todos los objetos. Si las proposiciones elementales están dadas, entonces al mismo tiempo están dadas todas las proposiciones elementales.
      • 5.525 Es incorrecto reproducir en palabras la expresión '(dx).fx', como hace Russell, diciendo 'fx es posible'. La certeza, posibilidad o imposibilidad de una situación no se expresa mediante una proposición, sino por ser la proposición una tautología, una proposición con sentido o una contradicción. El precedente al que querríamos apelar siempre debe residir en el símbolo mismo.
      • 5.526 Podemos describir el mundo completamente por medio de proposiciones enteramente generalizadas, es decir, sin primero correlacionar ningún nombre con un objeto particular. Para entonces llegar a la forma de expresión habitual, debe decirse, después de la expresión 'Hay un x y sólo un x, que...', simplemente 'y este x es a'.
        • 5.5261 Una proposición enteramente generalizada, como cualquier otra proposición, es compuesta. (Esto se demuestra por el hecho de que en '(dx, O).Ox' debemos mencionar 'O' y 'x' por separado. Ambos, independientemente, se encuentran en relaciones significativas con el mundo, igual que es el caso en proposiciones no generalizadas.) Es una característica de un símbolo compuesto el que tenga algo en común con otros símbolos.
        • 5.5262 La verdad o falsedad de cualquier proposición cambia en verdad algo en la constitución del mundo. Y el rango de posibilidades que se deja a su constitución por parte de la totalidad de proposiciones elementales es precisamente aquel que delimitan las proposiciones enteramente generalizadas. (Cuando una proposición elemental es verdadera, esto significa, en cualquier caso, una proposición elemental verdadera más.)
    • 5.53 Expreso la identidad de los objetos mediante la identidad del signo, y no mediante un signo para la identidad. La diferencia entre sí de los objetos la expreso mediante una diferencia entre sí de los signos.
      • • 5.5301 Es evidente que la identidad no es una relación entre objetos. Esto queda muy claro si uno considera, por ejemplo, la proposición '(x) : fx . z . x = a'. Lo que esta proposición dice es simplemente que sólo a satisface la función f, y no que sólo cosas que tienen una cierta relación con a satisfacen la función. Por supuesto, podría decirse que sólo a tiene esta relación con a; pero para expresar esto necesitaríamos el signo de identidad mismo.
        • 5.5302 La definición de Russell de '=' es inadecuada, porque de acuerdo con ella no podemos decir que dos objetos tienen todas sus propiedades en común. (Incluso si esta proposición nunca es correcta, sigue teniendo sentido.)
        • 5.5303 Sea dicho de pasada: decir que dos cosas que son idénticas es absurdo, y decir de una cosa que idéntica consigo misma es no decir nada en absoluto.
      • 5.531 Por tanto, no escribo 'f(a,b).a = b', sino 'f(a,a)' (ó 'f(b,b)'); y no 'f(a,b).Pa = b', sino 'f(a,b)'.
      • 5.532 Y análogamente no escribo '(dx, y).f(x, y).x = y', sino '(dx).f(x, x)'; y no '(dx, y).f(x, y).Px = y', sino '(dx, y).f(x, y)'.
        • 5.5321 Por tanto, por ejemplo, en lugar de '(x) : fx z fx = a' escribimos '(dx).fx.z : (dx, y).fx.fy'. Y la proposición, 'Sólo una x satisface f( )', se escribirá '(dx).fx : P(dx, y).fx.fy'.
      • 5.533 El signo de identidad, por tanto, no es un constituyente esencial de la notación conceptual.
      • 5.534 Y ahora vemos que en una notación conceptual correcta las pseudo-proposiciones como 'a = a', 'a = b . b = c . z a = c', '(x).x = x', '(dx).x = a', etc., no pueden ser ni siquiera escritas.
      • 5.535 Esto también elimina todos los problemas que estaban conectados con tales pseudo-proposiciones. Todos los problemas que el 'axioma de infinidad' de Russell trae consigo pueden ser resueltos en este punto. Lo que se supone que el axioma de infinidad quiere decir se expresaría en el lenguaje mediante la existencia de una cantidad infinita de nombres con infinitos significados.
        • 5.5351 Hay ciertos casos en los que uno se ve tentado de utilizar expresiones de la forma 'a = a' o 'p z p' y parecidas. De hecho, esto ocurre cuando uno quiere hablar de prototipos, por ejemplo sobre proposición, cosa, etc. Por tanto en los Principios de Matemática de Russell a 'p es una proposición' - lo que es absurdo - se le daba la representación 'p z p' y era colocada como una hipótesis antes de ciertas proposiciones para excluir de sus lugares de argumento todo menos las proposiciones. (Es absurdo colocar la hipótesis 'p z p' antes de una proposición para asegurar que sus argumentos tendrán la forma correcta, aunque sólo sea porque con una no-proposición como argumento la hipótesis se convierte no en falsa sino en absurda, y porque los argumentos de tipo incorrecto harían a la proposición misma falsa, de modo que se preserva a sí misma de argumentos incorrectos igual de bien, o igual de mal, que la hipótesis sin sentido que le fue agregada con ese propósito.)
        • 5.5352 De igual modo se pretendía expresar 'No hay ningún objeto' escribiendo 'P(dx).x = x'. Pero incluso si esto fuera una proposición - no sería acaso también cierta, si de hecho 'hubiera objetos', pero éstos no fueran idénticos a sí mismos?
    • 5.54 En la forma proposicional general las proposiciones aparecen en otras proposiciones sólo como bases de las operaciones de verdad.
      • 5.541 A primera vista parece como si también fuera posible para una proposición aparecer de otra manera. Particularmente con ciertas formas de proposición en psicología, tal como 'A cree que p es el caso' y 'A tiene el pensamiento p', etc. Puesto que si éstas son consideradas superficialmente, parece como si la proposición p estuviera en algún tipo de relación con el objeto A. (Y en la teoría moderna del conocimiento (Russell, Moore, etc.) estas proposiciones han sido de hecho interpretadas de esta manera.)
      • 5.542 Está claro, sin embargo, que 'A cree que p', 'A tiene el pensamiento p', y 'A dice p' son de la forma '"p" dice p': y esto no implica una correlación de un hecho con un objeto, sino más bien la correlación de hechos por medio de la correlación de sus objetos.
        • 5.5421 Esto muestra también que no hay tal cosa como el alma - el sujeto, etc - tal y como es concebida en la psicología superficial de hoy en día. De hecho, un alma compuesta dejaría de ser un alma.
        • 5.5422 La explicación correcta de la forma de la proposición 'A juzga que p' debe mostrar que es imposible que un juicio forme parte del absurdo. (La teoría de Russell no satisface este requisito.)
        • 5.5423 Percibir un complejo significa percibir que sus constituyentes están relacionados unos con otros de tal y tal manera. Esto sin duda también explica por qué hay dos maneras de ver la figura
          
          como un cubo; y todos los fenómenos similares. Puesto que vemos en realidad dos hechos diferentes. (Si miro en primer lugar a las esquinas marcadas con a y sólo por encima a las b's, me parecerá que las a's parecen estar delante y viceversa.)
    • 5.55 Ahora debemos responder a priori a la pregunta sobre todas las posibles formas de las proposiciones elementales. Las proposiciones elementales consisten en nombres. Dado que, sin embargo, somos incapaces de dar el número de nombres con diferentes significados, somos también incapaces de dar la composición de las proposiciones elementales.
      • 5.551 Nuestro principio fundamental es que, si una pregunta puede ser decidida por lógica en absoluto, entonces puede decidirse sin necesidad de nada más. (Y si nos encontramos en una posición en la que necesitamos mirar al mundo para obtener una respuesta a un problema semejante, esto nos muestra que estamos en un camino completamente equivocado.)
      • 5.552 La 'experiencia' que necesitamos para comprender la lógica no es que algo o lo otro sea el estado de las cosas, sino que algo es: esto, sin embargo, no es una experiencia. La lógica es anterior a toda experiencia - que algo sea así. Es anterior a la pregunta '¿Cómo?', no anterior a la pregunta '¿Qué?'.
        • 5.5521 Y si esto no fuera así, ¿cómo podríamos aplicar la lógica? Podríamos ponerlo de la siguiente forma: si habría una lógica incluso si no hubiera ningún mundo, ¿cómo podría haber una lógica porque hay un mundo?
      • 5.553 Russell dijo que hay relaciones simples entre diferentes números de cosas (individuos). Pero ¿entre qué números? ¿Y cómo se supone que se ha de decidir esto - mediante la experiencia? (No hay ningún número preeminente.)
      • 5.554 La especificación de cualquier forma especial sería completamente arbitraria.
        • 5.5541 Se supone que es posible responder a priori la pregunta de si por ejemplo puedo llegar a una posición en la que necesite el signo de una relación de 27 términos para denotar algo.
        • 5.5542 ¿Tenemos derecho en absoluto a preguntarnos algo así? ¿Podemos construir una forma de signos y no saber si alguna cosa pudiera corresponderle? ¿Tiene sentido preguntar qué debe ser, para que algo pueda 'ser dado el caso'?
      • 5.555 Claramente tenemos un concepto de las proposiciones generales, aparte de sus formas lógicas particulares. Pero cuando hay un sistema mediante el cual podemos crear símbolos, el sistema es lo que es importante para la lógica y no los símbolos individuales. Y de todas maneras, ¿es realmente posible que en lógica deba tratar de formas que puedo inventar? De lo que debo tratar es de aquello que me permite inventarlas.
      • 5.556 No puede haber una jerarquía de las formas de las proposiciones elementales. Podemos prever sólo aquello que nosotros mismos construimos.
        • 5.5561 La realidad empírica está limitada por la totalidad de los objetos. El límite también se hace manifiesto en la totalidad de las proposiciones elementales. Las jerarquías son y deben ser independientes de la realidad.
        • 5.5562 Si sabemos por razones puramente lógicas que debe haber proposiciones lógicas, entonces lo debe saber cualquiera que entienda las proposiciones en su forma no analizada.
        • 5.5563 De hecho, todas las proposiciones de nuestro lenguaje coloquial, tal y como son, se encuentran perfectamente ordenadas lógicamente. - Aquel máximo de simplicidad, que debemos formular aquí, no es un parecido a la realidad, sino la realidad misma en su totalidad. (Nuestros problemas no son abstractos, sino quizás los más concretos que hay.)
      • 5.557 La aplicación de la lógica decide qué proposiciones elementales existen. Lo que se encuentra en la aplicación la lógica no lo puede anticipar. Hasta aquí está claro: la lógica no puede colisionar con su propia aplicación. Pero la lógica debe estar en contacto con su aplicación. Por tanto la lógica y su aplicación no deben solaparse.
        • 5.5571 Si no puedo decir a priori qué proposiciones elementales hay, entonces el intento de enumerarlas debe llevar a un evidente absurdo.
  • 5.6 Los límites de mi lenguaje son los límites de mi mundo.
    • 5.61 La lógica impregna el mundo: los límites del mundo son también sus límites. Así pues, no podemos decir en lógica: 'El mundo contiene esto, y esto, pero no eso'. Pues esto parecería presuponer que estuviéramos excluyendo ciertas posibilidades, y esto no puede ser el caso, puesto que requeriría que la lógica fuera más allá de los límites del mundo; que pudiera ver estos límites desde el otro lado también. Aquello que no podemos pensar, es lo que no podemos pensar; así, lo que no podemos pensar, tampoco podemos decirlo.
    • 5.62 Esta observación nos proporciona la clave para resolver el problema de cuánta verdad hay en el solipsismo. Pues lo que el solipsista quiere decir es bastante correcto; sólo que no se puede decir, sólo puede mostrarse. El mundo es mi mundo: esto se manifiesta en el hecho de que los límites de mi lenguaje (de ese lenguaje que sólo yo entiendo) significan los límites de mi mundo.
      • 5.621 El mundo y la vida son uno.
    • 5.63 Yo soy mi mundo. (El microcosmos.)
      • 5.631 El sujeto pensante, el sujeto que se figura las cosas, no existe. Si escribiera un libro llamado "El mundo tal y como lo encontré", habría que informar en él de mi cuerpo, cuáles miembros obedecen a mi voluntad y cuáles no, etc., siendo éste un método para aislar al sujeto, o más bien para mostrar que en un sentido importante no hay sujeto: solamente de él no podría hablarse en este libro. -
      • 5.632 El sujeto no pertenece al mundo, sino que es un límite del mundo.
      • 5.633 ¿Dónde en el mundo se puede hallar un sujeto metafísico? Dices que se trata igual que del ojo y el campo de visión. Pero no ves realmente el ojo. Y nada en el campo de visión permite concluir que sea visto por un ojo.
        • 5.6331 El campo de visión no tiene de hecho la forma siguiente:
          
      • 5.634 Esto tiene que ver con el hecho de que ninguna parte de nuestra experiencia sea también a priori. Todo lo que vemos podría ser también distinto. Todo lo que podemos describir en absoluto podría ser de otra manera a como es. No hay un orden a priori de las cosas.
    • 5.64 Aquí podemos ver que el solipsismo, cuando todas sus implicaciones son seguidas estrictamente, coincide con el realismo puro. El yo del solipsismo se encoge hasta un punto sin extensión, y queda la realidad coordenada con él.
      • 5.641 Por tanto realmente hay un sentido en el que la filosofía puede hablar del yo de un modo no psicológico. Lo que trae al yo a la filosofía es el hecho de que 'el mundo es mi mundo'. El yo filosófico no es el ser humano, ni el cuerpo humano, o el alma humana, de la que trata la psicología, sino más bien el sujeto metafísico, el límite del mundo - no una parte de él.

6

• 6 La forma general de una función de verdad es [p con barra, ξ con barra, N(ξ con barra)]. Ésta es la forma general de una proposición.
  • • • 6.001 Esto no dice otra cosa sino que cualquier proposición es el resultado de aplicaciones sucesivas sobre proposiciones elementales de la operación N(ξ con barra).
      • 6.002 Si está dada la forma general en que está construida una proposición, entonces con ella viene dada la forma general en que una proposición puede ser generada a partir de otra mediante una operación.
    • 6.01 Por tanto la forma general de una operación Ω'(η) es: [ξ con barra,N(ξ con barra)]'(η)(=[η,ξ con barra,N(ξ con barra)]. Esta es la forma más general de transición de una proposición a otra.
    • 6.02 Y así llegamos a los números. Yo defino: "x = Ω0x Def." y "Ω'Ων'x=Ων+1'x Def." . Mediante estas reglas numéricas escribimos por tanto la serie: "x, Ω'x, Ω'Ω'x, Ω'Ω'Ω'x,...," así: "Ω0'x, Ω0+1'x, Ω0+1+1'x, Ω0+1+1+1'x, ....." Por tanto escribo - en lugar de "[x, ξ, Ω'ξ]" - "O[Ω0'x, Ων'x, Ων+1'x]".Y defino: "0+1=1 Def." , "0+1+1=2 Def.", "0+1+1+1=3 Def.", y así sucesivamente.
      • 6.021 El número es el exponente de una operación.
      • 6.022 El concepto de número es simplemente lo que es común a todos los números, la forma general de un número. El concepto de número es el número variable. Y el concepto de igualdad numérica es la forma general de todos los casos particulares de igualdad numérica.
    • 6.03 La forma general de un entero es [0, ξ, ξ+1].
      • 6.031 La teoría de las clases es completamente superflua en matemáticas. Esto tiene que ver con que la totalidad que necesitamos en matemáticas no es la accidental.
  • 6.1 Las proposiciones de la lógica son tautologías.
    • 6.11 Por tanto las proposiciones de la lógica no dicen nada. (Son las proposiciones analíticas.)
      • 6.111 Todas las teorías que hacen que una proposición de la lógica parezca tener contenido son falsas. Uno podría pensar, por ejemplo, que las palabras 'verdadero' y 'falso' denotan dos propiedades entre otras propiedades, y entonces parecería un hecho notable que toda proposición poseyera una de estas dos propiedades. Esto parece entonces ser nada menos que obvio, [aunque parece] al menos tan poco obvio como la proposición 'Todas las rosas son o rojas o amarillas', aunque fuera cierta. En efecto, aquella proposición [lógica] obtiene por completo el carácter de una proposición científica, y éste es el signo inequívoco de que debe haber sido erróneamente construida.
      • 6.112 La explicación correcta de las proposiciones de la lógica debe asignarles un status único entre todas las proposiciones.
      • 6.113 La marca peculiar de las proposiciones lógicas es que se pueden reconocer como ciertas por el símbolo solo, y este hecho en sí mismo contiene toda la filosofía de la lógica. Y así también es un hecho muy importante que la verdad o falsedad las proposiciones no lógicas no pueda ser reconocida a partir de las proposiciones solas.
    • 6.12 El hecho de que las proposiciones de la lógica sean tautologías muestra las propiedades formales -lógicas- del lenguaje y del mundo. El hecho de que una tautología sea producida mediante esta manera particular de conectar sus constituyentes caracteriza la lógica de sus constituyentes. Si las proposiciones producen una tautología cuando son conectadas de cierta manera, deben tener ciertas propiedades estructurales. Así, que su resultado sea una tautología cuando están conectadas así, muestra por tanto, que poseen estas propiedades de la estructura.
      • • 6.1201 Por ejemplo, el hecho de que las proposiciones 'p' y 'Pp' en la combinación '(p.Pp)' resulten en una tautología muestra que se contradicen una a la otra. El hecho de que las proposiciones 'p z q', 'p' y 'q', combinadas unas con otras en la forma '(p z q). (p) :z: (q)' resulten en una tautología muestra que q se sigue de p y p z q. El hecho de que '(x).fxx :z: fa' sea una tautología muestra que fa se sigue de (x).fx . Etc, etc.
        • 6.1202 Está claro que se podría conseguir el mismo propósito usando contradicciones en lugar de tautologías.
        • 6.1203 Para reconocer una expresión como una tautología, en casos donde no aparezca el signo de generalidad en ella, se puede emplear el siguiente método intuitivo: en lugar de 'p', 'q', 'r', etc. escribo 'VpF', 'VqF', 'VrF', etc. Expreso las combinaciones de verdad por medio de paréntesis, por ejemplo
          
          y uso líneas para expresar la correlación de la verdad o la falsedad de la proposición entera con las combinaciones de verdad de sus argumentos de verdad, de la manera siguiente
          
          Así este signo, por ejemplo, representaría la proposición p z q. Ahora, a modo de ejemplo, voy a examinar la proposición P(p.Pp) (ley de la contradicción) para determinar si es una tautología. En nuestra notación "Pξ" se escribe como
          
          y la forma "ξ.η" como
          
          Por tanto la proposición P(p.Pp) se lee así:
          
          Si substituyéramos aquí 'p' por 'q' y examináramos la conexión de las V y F más externas con las más internas, se concluye que la verdad de la proposición completa está en correlación con todas las combinaciones de verdad de su argumento, y su falsedad con ninguna de sus combinaciones de verdad.
      • 6.121 Las proposiciones de la lógica demuestran las propiedades lógicas de las proposiciones mediante la combinación de las mismas para formar proposiciones que no digan nada. Este método podría también llamarse un método de cero. En una proposición lógica, las proposiciones son puestas en equilibrio unas con otras, y este estado de equilibrio indica entonces cuál debe ser la constitución lógica de estas proposiciones.
      • 6.122 Se sigue de esto que podemos realmente arreglárnoslas sin proposiciones lógicas; pues en una notación adecuada podemos reconocer las propiedades formales de las proposiciones mediante la mera inspección de las proposiciones mismas.
        • 6.1221 Si, por ejemplo, dos proposiciones 'p' y 'q' en la combinación 'p z q' resultan en una tautología, entonces está claro que q se sigue de p. Por ejemplo, vemos de las dos proposiciones mismas que 'q' se sigue de 'p z q . p', pero también es posible mostrar esto de otra manera: las combinamos para formar 'p z q . p :z: q', y entonces mostramos que esto es una tautología.
        • 6.1222 Esto arroja cierta luz sobre la cuestión de por qué las proposiciones lógicas no pueden ser confirmadas por la experiencia, así como tampoco pueden ser refutadas por ella. No sólo debe una proposición de la lógica ser irrefutable por cualquier experiencia posible, sino que también debe ser inconfirmable por cualquier experiencia posible.
        • 6.1223 Ahora queda claro por qué se ha sentido a menudo que había que "exigirnos" las verdades de la lógica: podemos de hecho exigirlas en la medida en la que podemos exigir una notación suficiente.
        • 6.1224 También queda claro ahora por qué la lógica era llamada la teoría de las formas y de la inferencia.
      • 6.123 Claramente las leyes de la lógica no pueden a su vez estar sujetas a leyes de la lógica. (No existe, como pensó Russell, una ley especial de contradicción para cada 'tipo'; una ley es suficiente, puesto que no se aplica sobre sí misma.)
        • 6.1231 La marca característica de una proposición lógica no es la validez general. Ser general no significa nada más que ser accidentalmente válida para todas las cosas. Una proposición no generalizada puede ser tautológica exactamente igual que una generalizada.
        • 6.1232 La validez general de la lógica podría ser llamada esencial, en contraste con la validez general accidental de proposiciones tales como 'Todos los hombres son mortales'. Proposiciones como el 'axioma de reducibilidad [???]' de Russell no son proposiciones lógicas, y esto explica nuestra sensación de que, incluso si fueran ciertas, su verdad sólo podría ser el resultado de un accidente afortunado.
        • 6.1233 Es posible imaginar un mundo en el que el axioma de reducibilidad no fuera válido. Está claro, sin embargo, que la lógica no tiene nada que ver con la cuestión de si nuestro mundo es realmente así o no.
      • 6.124 Las proposiciones de la lógica describen el andamiaje del mundo, o más bien lo representan. No tratan de nada. Presuponen que los nombres tienen un significado y las proposiciones elementales un sentido; y ésta es su conexión con el mundo. Está claro que algo acerca del mundo debe ser indicado por el hecho de que ciertas combinaciones de símbolos - que básicamente tienen un cierto carácter - sean tautologías. En esto consiste lo decisivo. Hemos dicho que ciertas cosas son arbitrarias en los símbolos que utilizamos, y otras cosas no. En la lógica se expresa sólo esto: pero esto significa que en la lógica no expresamos nosotros lo que queremos con ayuda de los símbolos, sino que en la lógica la naturaleza de los símbolos naturalmente necesarios se declara: cuando conocemos la sintaxis lógica de cualquier lenguaje de signos, ya tenemos dadas todas las proposiciones de la lógica.
      • 6.125 Es posible -de hecho posible incluso de acuerdo con la antigua concepción de la lógica- dar por adelantado una descripción de todas las proposiciones lógicas 'verdaderas'.
        • 6.1251 De manera que nunca puede haber sorpresas en lógica.
      • 6.126 Se puede calcular si una proposición pertenece a la lógica, calculando las propiedades lógicas del símbolo. Y esto es lo que hacemos cuando 'probamos' una proposición lógica. Pues, sin preocuparnos sobre el sentido o el significado, construimos la proposición lógica a partir de otras usando sólo reglas que tratan de signos. La prueba de las proposiciones lógicas consiste en el siguiente proceso: las producimos a partir de otras proposiciones lógicas mediante la aplicación sucesiva de ciertas operaciones que siempre generan nuevas tautologías a partir de las iniciales. (Y efectivamente sólo tautologías se pueden seguir de una tautología.) Por supuesto, este modo de mostrar que las proposiciones de la lógica son tautologías no es en absoluto esencial a la lógica, aunque sólo sea porque las proposiciones de las que la prueba parte deben mostrar sin ninguna prueba que son tautologías.
        • 6.1261 En la lógica el proceso y el resultado son equivalentes. (De ahí la falta de sorpresas.)
        • 6.1262 La demostración en lógica es meramente una ayuda mecánica para facilitar el reconocimiento de la tautología allí donde sea compleja.
        • 6.1263 Sería bastante extraño si una proposición que tuviera sentido pudiera ser probada lógicamente a partir de otras, y así también pudiera serlo una proposición lógica. Está claro desde el principio que la prueba lógica de una proposición que tiene sentido y una prueba en lógica deben ser dos cosas por completo diferentes.
        • 6.1264 Una proposición que tiene sentido afirma algo, y su demostración muestra que esto es así. En lógica, cualquier proposición es la forma de un prueba. Cualquier proposición de la lógica es un modus ponens representado en signos. (Y no se puede expresar el modus ponens por medio de una proposición.)
        • 6.1265 La lógica se puede concebir siempre de tal modo que cada proposición sea su propia prueba.
      • 6.127 Todas las proposiciones de la lógica tienen el mismo rango: no se da el caso de que algunas de ellas sean proposiciones derivadas esencialmente. Toda tautología muestra por sí misma que es una tautología.
        • 6.1271 Está claro que el número de las "proposiciones primitivas de la lógica" es arbitrario, puesto que uno podría derivar la lógica de una única proposición primitiva, por ejemplo simplemente construyendo el producto lógico de las proposiciones primitivas de Frege. (Frege diría quizás que entonces dejaríamos de tener una proposición primitiva auto-evidente. Pero es notable que un pensador tan riguroso como Frege apele al criterio de la auto-evidencia como el critero de una proposición lógica.)
    • 6.13 La lógica no es un cuerpo de doctrina, sino una imagen refleja del mundo. La lógica es transcendental.
  • 6.2 La matemática es un método lógico. Las proposiciones de la matemática son ecuaciones, y por tanto pseudo-proposiciones.
    • 6.21 Una proposición de la matemática no expresa un pensamiento.
      • 6.211 De hecho, en la vida real una proposición matemática nunca es lo que queremos. Más bien, nos valemos de las proposiciones matemáticas sólo en inferencias desde proposiciones que no pertenecen a la matemática hasta otras que similarmente no pertenecen a la matemática. (En filosofía la pregunta '¿Para qué utilizamos realmente esta palabra o esta proposición?' repetidamente lleva a valiosas revelaciones.)
    • 6.22 La lógica del mundo, que se muestra en tautologías por las proposiciones de la lógica, se muestra en ecuaciones por la matemática.
    • 6.23 Si dos expresiones son combinadas por medio del signo de igualdad, esto significa que pueden ser substituidas la una por la otra. Pero debe ser manifiesto en las dos expresiones mismas si éste es el caso o no. Cuando dos expresiones pueden ser substituidas una por otra, esto caracteriza su forma lógica.
      • 6.231 Es una propiedad de la afirmación que puede ser reformada como una doble negación. Es una propiedad de '1 + 1 + 1 + 1' que puede ser reformada como '(1 + 1) + (1 + 1)'.
      • 6.232 Frege dice que las dos expresiones tienen el mismo significado pero diferente sentido. Pero el punto esencial sobre una ecuación es que no es necesaria para mostrar que las dos expresiones conectadas por el signo de igualdad tienen el mismo significado, puesto que esto puede verse a partir de las expresiones mismas.
        • 6.2321 Y la posibilidad de demostrar las proposiciones de la matemática significa simplemente que su corrección puede ser percibida sin que sea necesario que lo que expresan deba ser comparado con los hechos para poder determinar su corrección.
        • 6.2322 Es imposible afirmar la identidad del significado de dos expresiones. Puesto que para ser capaz de aseverar nada sobre su significado, debo conocer su significado, y no puede conocer su significado sin saber si lo que significan es lo mismo o es diferente.
        • 6.2323 Una igualdad meramente marca el punto de vista desde el que considero dos expresiones: marca su equivalencia en significado.
      • 6.233 La pregunta de si la intuición es necesaria para la solución de los problemas matemáticos debe recibir la respuesta de que en este caso el lenguaje mismo provee la intuición necesaria.
        • 6.2331 El proceso de calcular sirve para ocasionar esa intuición. El cálculo no es un experimento.
      • 6.234 La matemática es un método de la lógica.
        • 6.2341 Es la característica esencial del método matemático que emplea ecuaciones. Puesto que es a causa de este método que cada proposición de la matemática debe ser evidente por sí misma.
    • 6.24 El método por el cual la matemática llega a sus ecuaciones es el método de la substitución. Ya que las ecuaciones expresan la substituibilidad de dos expresiones y, empezando por un número de ecuaciones, avanzamos hacia nuevas ecuaciones substituyendo diferentes expresiones de acuerdo con las ecuaciones.
      • 6.241 Por tanto la prueba de la proposición '2 X 2 = 4' es como sigue:
        '(Ωνμ'x=Ων×μ'xDef.,
        Ω2×2'x=(Ω2)2'x=(Ω2)1+1'x=Ω2'Ω2'x=Ω1+1'Ω1+1'x=(Ω'Ω)'(Ω'Ω)'x=Ω'Ω'Ω'Ω'x=Ω1+1+1+1'x=Ω4'x.'
  • 6.3 La exploración de la lógica significa la exploración de todo aquello que está sujeto a leyes. Y fuera de la lógica todo es accidental.
    • 6.31 La así llamada Ley de Inducción no puede ser en absoluto una ley de la lógica, puesto que es obviamente una proposición con sentido. - Ni, por tanto, puede ser una ley a priori.
    • 6.32 La Ley de Causalidad no es una ley sino la forma de una ley.
      • 6.321 'Ley de Causalidad' - ése es un nombre general. E igual que en la mecánica, por ejemplo, existen 'principios de mínimos', como el principio de mínima acción, así también en la física hay leyes causales, leyes de forma causal.
        • 6.3211 Se tenía de hecho una intuición de que debía haber un principio de mínima acción antes incluso de que se supiera exactamente cuál era su formulación. (Aquí, como siempre, lo que es a priori certero se demuestra ser algo puramente lógico.)
    • 6.33 No creemos a priori en una ley de conservación, sino más bien sabemos a priori que existe la posibilidad de una forma lógica.
    • 6.34 Toda las proposiciones como el principio de razón suficiente, de la continuidad en la Naturaleza, del mínimo esfuerzo en la Naturaleza, etc., etc. - todas ellas son revelaciones a priori sobre las formas que las proposiciones de la ciencia pueden adoptar.
      • 6.341 La mecánica de Newton, por ejemplo, impone una forma unificada a la descripción del mundo. Imaginemos una superficie blanca con manchas negras irregulares. Entonces decimos que cualquiera que sea el tipo de imagen que estas manchas creen, puedo siempre aproximarme tan cerca como desee a su descripción cubriendo la superficie con una malla rectangular lo suficientemente fina, y diciendo entonces de cada rectángulo si es blanco o negro. De esta manera habré impuesto una forma unificada a la descripción de la imagen. La forma es opcional, puesto que podría haber obtenido el mismo resultado usando una red triangular o hexagonal. Posiblemente el uso de una malla triangular habría hecho la descripción más sencilla: es decir, podría ser que pudiéramos describir la superficie con mayor precisión con una malla triangular gruesa que con una malla rectangular fina (o al revés), etc. Las diferentes redes corresponden a diferentes sistemas para describir el mundo. La mecánica determina una forma de descripción del mundo diciendo que todas las proposiciones usadas en la descripción del mundo deben ser obtenidas de una cierta manera de una cierto conjunto de proposiciones - los axiomas de la mecánica. De esta manera, proporciona los ladrillos para levantar el edificio de la ciencia, y dice 'Cualquier edificio que desees levantar, cualquiera que sea, debe ser construido de alguna forma con estos ladrillos, y solamente con estos.' (Así como con el sistema de números debemos ser capaces de escribir cualquier número que deseemos, con el sistema de la mecánica debemos ser capaces de escribir cualquier proposición de la física que deseemos.)
      • 6.342 Y ahora podemos ver la posición relativa de la lógica y de la mecánica. (La red podría consistir también de más de una forma de malla: por ejemplo podríamos usar tanto triángulos como hexágonos.) La posibilidad de describir una imagen como la mencionada arriba con una red de una forma dada no nos dice nada acerca de la imagen. (Puesto que esto es cierto de todas las imágenes semejantes.) Pero lo que sí caracteriza a la imagen es que puede ser descrita completamente por una red particular con un tamaño de malla particular. Similarmente la posibilidad de describir el mundo mediante la mecánica newtoniana no nos dice nada sobre el mundo: pero lo que nos dice algo sobre él es el modo preciso en que se puede describir mediante ésta. También nos dice algo sobre el mundo el hecho de que se pueda describir de manera más simple mediante un sistema de la mecánica que con otro.
      • 6.343 La mecánica es un intento de construir de acuerdo a un plan único todas las proposiciones verdaderas que necesitamos para la descripción del mundo.
        • 6.3431 Las leyes de la física, con todo su aparato lógica, todavía hablan, aunque sea indirectamente, de los objetos del mundo.
        • 6.3432 No deberíamos olvidar que cualquier descripción del mundo por medio de la mecánica será de un tipo completamente general. Por ejemplo, nunca mencionará masas puntuales particulares: sólo hablará de masas puntuales, cualquiera que éstas sean.
    • 6.35 Aunque los puntos en nuestra imagen sean figuras geométricas, la geometría evidentemente no puede decir nada acerca de su forma y su posición reales. La red, sin embargo, es puramente geométrica; todas sus propiedades pueden ser dadas a priori. Las leyes como el principio de razón suficiente, etc. se refieren a la red y no a lo que la red describe.
    • 6.36 Si hubiera una ley de causalidad, podría formularse de la siguiente manera: Hay leyes de la Naturaleza. Pero por supuesto esto no puede ser dicho: se hace manifiesto.
      • 6.361 Uo podría decir, usando la terminología de Hertz, que sólo las conexiones sujetas a leyes son pensables.
        • 6.3611 No podemos comparar un proceso con 'el recorrido del tiempo' - no existe tal cosa - sino solamente con otro proceso (como el funcionamiento de un cronómetro). Por tanto sólo podemos describir el paso del tiempo fiándonos de otro proceso. Algo exactamente análogo se aplica al espacio: por ejemplo cuando se dice que ninguno de dos eventos (que se excluyen mutuamente) puede darse, porque no hay que cause que se dé el uno más que el otro, en realidad es cuestión de nuestra incapacidad para describir uno de entre dos eventos a menos que se pueda encontrar alguna asimetría. Y si una asimetría semejante se encontrara, podemos verla como la causa de la aparición de uno, y la no-aparición del otro.
          • 6.36111 El problema de Kant acerca de la mano derecha y la mano izquierda, que no pueden hacerse coincidir, existe ya en dos dimensiones. Lo que es más, existe en un espacio unidimensional en el que las dos figuras congruentes a y b no puedan hacerse coincidir a menos que sean movidas fuera de este espacio.
            
            La mano derecha y la mano izquierda son efectivamente completamente congruentes. Es bastante irrelevante que no puedan hacerse coincidir. Un guante de la mano derecha podría ponerse en la mano izquierda, si pudiera hacerse girar en un espacio de cuatro dimensiones.
      • 6.362 Lo que puede ser descrito puede suceder también: y lo que la ley de causalidad pretende excluir no puede ser ni descrito.
      • 6.363 El proceso de inducción consiste en aceptar como cierto la ley más simple que pueda estar en armonía con nuestras experiencias.
        • 6.3631 Este proceso, sin embargo, no tiene justificación lógica sino fisiológica. Está claro que no hay razones para creer ocurrirá precisamente el caso más sencillo.
          • 6.36311 Es una hipótesis que el sol se levantará mañana; y esto significa que no sabemos si se levantará.
    • 6.37 No es una obligación que, si algo ha sucedido, otra cosa deba suceder. Hay sólo una necesidad lógica.
      • 6.371 Toda la concepción moderna del mundo está fundada sobre la ilusión de que las así llamadas leyes de la Naturaleza son la explicación de los fenómenos naturales.
      • 6.372 Así se quedan hoy ante las leyes de la Naturaleza como ante algo intocable, como los antiguos ante Dios y el destino. Y de hecho ambos tienen razón y ambos están equivocados: los antiguos son, hay que decirlo, más claros porque reconocen un límite explícito, mientras que en el nuevo sistema debe parecer como si todo estuviera explicado.
      • 6.373 El mundo es independiente de mi voluntad.
      • 6.374 Aunque ocurriera todo lo que deseáramos, incluso esto sería sólo un favor concedido por el destino, por así decir: puesto que no hay conexión lógica entre la voluntad y el destino que lo garantice, y no podemos desear recursivamente la conexión física supuesta.
      • 6.375 Así como la única necesidad que existe es la necesidad lógica, así también la única imposibilidad que existe es la imposibilidad lógica.
        • 6.3751 Por ejemplo, la presencia simultánea de dos colores en el mismo lugar en el campo visual es imposible, de hecho lógicamente imposible, puesto que es excluida por la estructura lógica del color. Pensemos cómo esta contradicción aparece en la física: más o menos como sigue - una partícula no puede tener dos velocidades a la vez; es decir, no puede estar en dos posiciones al mismo tiempo; es decir, partículas que están en posiciones diferentes al mismo tiempo no pueden ser idénticas. (Está claro que el producto lógico de dos proposiciones elementales no puede ser ni un tautología ni una contradicción. La afirmación de que un punto en el campo visual tiene dos colores al mismo tiempo es una contradicción.)
  • 6.4 Todas las proposiciones tienen el mismo valor.
    • 6.41 El sentido del mundo debe encontrarse fuera del mundo. En el mundo todo es como es, y todo ocurre como ocurre de hecho: en él no existe valor - y si existiera, no tendría valor. Si hay algún valor que tenga valor, debe encontrarse fuera de la esfera de lo que ocurre y es el caso. Puesto que todo lo que ocurre y es el caso es accidental. Lo que lo hace no-accidental no puede encontrarse dentro del mundo, puesto que si así fuera sería ello mismo accidental. Debe encontrarse fuera del mundo.
    • 6.42 Así también es imposible que existan proposiciones de la ética. Nada superior puede expresarse mediante proposiciones.
      • 6.421 Queda por tanto claro que la ética no puede expresarse mediante palabras. La ética es transcendental. (La ética y la estética son una y la misma.)
      • 6.422 Cuando se formula una ley ética de la forma 'Debes...', el primer pensamiento es: ¿y qué pasa si no lo hago? Queda claro, sin embargo, que la ética no tiene nada que ver con el castigo y la recompensa en el sentido usual de estos términos. Así que nuestra pregunta sobre las consecuencias de una acción debe ser tratada como irrelevante. - Al menos estas consecuencias no deberían ser hechos. Puesto que debe haber algo correcto acerca de la pregunta que hemos formulado. Debe haber efectivamente algún tipo de recompensa ética y castigo ético, pero deben residir en la acción misma. (Y queda también claro que la recompensa debe ser algo agradable, y el castigo algo desagradable.)
      • 6.423 No se puede hablar de la voluntad como portadora de la ética (o sujeto de la ética). Y la voluntad como fenómeno interesa sólo a la psicología.
    • 6.43 Si el buen o mal ejercicio de la voluntad altera efectivamente el mundo, sólo puede alterar los límites del mundo, no los hechos - no lo que puede ser expresado por medio del lenguaje. Dicho brevemente, el mundo debe convertirse a través de ello en un mundo por completo diferente. Debe, por así decir, crecer o disminuir como un todo. El mundo del feliz es distinto del del infeliz.
      • 6.431 Así también en la muerte el mundo no cambia, sino que cesa.
        • 6.4311 La muerte no es un hecho de la vida. No experimentamos la muerte. Si entendemos por eternidad no una duración temporal infinita, sino la atemporalidad, entonces vive eternamente aquél que vive en el presente. Nuestra vida no tiene final al igual que nuestro campo visual no tiene límites.
        • 6.4312 No solamente no hay ninguna garantía de la inmortalidad temporal del alma humana, es decir de su supervivencia eterna tras la muerte, sino que, en cualquier caso, esta suposición fracasa completamente en conseguir el propósito para el que siempre estuvo destinada. ¿O es que algún misterio queda resuelto por mi supervivencia para siempre? ¿No es la vida eterna el mismo misterio que nuestra vida presente? La solución del misterio de la vida en el espacio y el tiempo se encuentra fuera del espacio y del tiempo. (También los problemas que no pertenecen a las ciencias naturales deben ser resueltos.)
      • 6.432 Cómo sean las cosas en el mundo es un asunto completamente indiferente para lo superior. Dios no se revela en el mundo.
        • 6.4321 Todos los hechos constituyen parte del problema, no de la solución.
    • 6.44 No cómo sea el mundo es lo místico, sino que sea.
    • 6.45 Ver el mundo sub specie aeterni es verlo como un todo - un todo limitado. Sentir el mundo como un todo limitado es lo místico.
  • 6.5 Cuando la respuesta no puede ser puesta en palabras, tampoco la pregunta puede ser puesta en palabras. El misterio no existe. Si una pregunta puede ser formulada en absoluto, es también posible responderla.
    • 6.51 El escepticismo no es irrefutable, pero obviamente absurdo, cuando trata de despertar dudas allí donde no pueden hacerse preguntas. Puesto que la duda puede existir sólo donde existe una pregunta, una pregunta sólo donde existe una respuesta, y una respuesta allí donde algo puede decirse.
    • 6.52 Sentimos que, aunque todas las posibles preguntas científicas estuvieran resueltas, los problemas de la vida seguirían estando completamente sin tocar. Por supuesto no quedaría ninguna pregunta más, y esto en sí mismo es la respuesta.
      • 6.521 La solución al problema de la vida se ve en la desaparición del problema. (¿No es ésta la razón por la cual aquéllos que, tras un largo período de duda encontraron que el sentido de la vida les parecía claro, no han sido capaces después de decir en qué consistía este sentido?)
      • 6.522 Hay, efectivamente, cosas que no pueden ser puestas en palabras. Se hacen a sí mismas manifiestas, son aquello que es místico.
    • 6.53 El método correcto en la filosofía sería en realidad el siguiente: no decir nada excepto lo que se pueda decir, es decir, proposiciones de la ciencia natural - es decir, algo que no tiene nada que ver con la filosofía - y cuando alguien quiera decir algo metafísico, demostrarle que no ha logrado dar significado a ciertos signos en sus proposiciones. Aunque esto no sería satisfactorio para la otra persona - no tendría la impresión de que le estuviéramos enseñando filosofía - este método sería el único estrictamente correcto.
    • 6.54 Mis proposiciones aclaran en la medida en que aparecen como absurdas a aquél que las ha entendido, cuando ha pasado por ellas, sobre ellas y queda por encima de ellas. (Debe, por así decir, tirar la escala después de ascender por ella.)

7

• 7 Acerca de aquello de lo que no podemos hablar debemos callar.