Compendio de matemáticas puras y mistas (Tomo II)/Aplicacion del Álgebra á la Geometría

APLICACION DEL ÁLGEBRA Á LA GEOMETRÍA

1 LA definicion del Álbegra y el conocimiento que hemos dado de ella, manifiestan que su carácter esencial es la generalidad; y el de la Geometría, que presenta á los sentidos los objetos de las idéas en que se ocupa, es la claridad. Así, cuando para generalizar alguna verdad geométrica se hace uso del Álgebra, se dice que se aplica el Álgebra á la Geometría; y cuando para hacer sensible algun resultado algebráico se hace uso de la Geometría, se aplica la Geometría al Álgebra. Por lo cual, bajo el nombre de aplicacion del Álgebra á la Geometría se entiende el uso que se hace de estas dos ciencias, ya sea para resolver alguna cuestion perteneciente á una de ellas, ya para resolver otra cualquiera.

2 La aplicacion del Álgebra á la Geometría tiene dos partes, á saber: manifestar cómo se pueden construir por Geometría los resultados de la Análisis; y cómo se pueden traducir analíticamente las cuestiones de Geometría.

3 Principiarémos por la primera, construyendo las ecuaciones determinadas de primero y segundo grado.

Sea la ecuacion propuesta $x=a+b-c$: construir esta ecuacion, ú otra cualquiera, es hallar una línea que esprese el valor de $x$. Para esto, se tirará una línea indefinida $DC$ (fig. 1); desde uno cualquiera $A$ de sus puntos, se tomará hácia la derecha una parte $AB$ igual con la cantidad $a$; desde $B$ tambien hácia la derecha, se tomará otra parte $BC=b$; y desde $C$ hácia la izquierda se tomará $CE=c$, y será

$AE=AB+BC-CE$;

y sustituyendo sus valores $a$, $b$, $c$, será $AE=a+b+c$; pero antes teníamos $x=a+b-c$, luego $AE=x$; luego se ha encontrado una línea que espresa el valor de $x$.

Es indiferente el tomar estas partes hácia la derecha ó hácia la izquierda del punto que se elige, que se llama punto de orígen; pero lo esencial es, que si las cantidades positivas se toman de izquierda á derecha, las negativas se deben tomar de derecha á izquierda, ó al contrario; y si las primeras se toman de abajo arriba, las segundas se tomarán de arriba abajo.

Esc. Si se tuviese $c=a+b$, el valor de $x$ sería cero, y la construccion se reduciría solo al punto $A$; pero si fuese $c>a+b$, el valor de $x$ sería negativo, y la construccion daría para $x$ la línea $AE'$ negativa, ó $x=a+b-c=AB+BC-CE'=-AE'$.

4 Sea ahora $x={\frac {ab}{c}}$; para construirla, tirarémos (I.324) á arbitrio dos rectas $AV$, $AZ$ (fig. 2) que formen un ángulo cualquiera $VAZ$; en uno de sus lados se tomará una parte $AE=c$; en el mismo lado se tomará otra parte $AC=a$; en el otro lado se tomará una parte $AD=b$; se unirá el estremo $E$ de la primera con estremo $D$ de la tercera por medio de una recta $ED$, y por el estremo $C$ de la segunda se tirará la $CB$ paralela á $DE$, y la parte $AB$ que corte en el otro lado será el valor de $x$.

En efecto, los triángulos $AED$, $ACB$ son semejantes (I.328), y dan $AE:AC::AD:AB={\frac {AC\times AD}{AE}}={\frac {ab}{c}}=x$, que era lo que se pedía.

5 Si la ecuacion por construir fuese $x={\frac {a^{2}}{c}}={\frac {aa}{c}}$, se reduciría la operacion (I. 324 esc.) á encontrar una tercera proporcional á las dos cantidades $c$ y $a$.

6 Sea la ecuacion $x={\frac {ab+db}{c+d}}$, ó $x={\frac {(a+d)b}{c+d}}$, (porque en el numerador es comun la cantidad $b$); luego hallando una cuarta proporcional á $c+d$, $b$ y $a+d$, se tendra lo que se pide.

Si fuese $x={\frac {a^{2}-b^{2}}{c}}$, ó (I. $\S$ 116 esc.) $x={\frac {(a+b)(a-b)}{c}}$, hallando una cuarta proporcional á $c$, $a+b$ y $a-b$, se tendría el valor de $x$.

7 Toda ecuacion en que la incógnita esté representada por un quebrado, se puede construir con el auxilio de las cuartas y terceras proporcionales. Para esto, se descompondrá el numerador y denominador en tantos factores como dimensiones tengan, y se pondrá por factor una letra igual con la unidad tantas veces como se necesite en uno de los términos, para que resulte el número de dimensiones del numerador una unidad mas que el del denominador.

8 Si la ecuacion por construir fuese $x={\frac {abc}{de}}$, la resolveríamos en factores de este modo $x={\frac {ab}{d}}\times {\frac {c}{e}}$; donde se ve, que, hallando primero una cuarta proporcional á las cantidades $d$, $a$, $b$, y llamándola $m$, sería $m={\frac {ab}{d}}$, lo que daría $x={\frac {m\times c}{e}}$; y hallando ahora una cuarta proporcional á $e$, $m$ y $c$, se tendría el valor de $x$.

9 Sea la ecuacion que se quiere construir $x={\frac {b^{4}}{a}}$; como al denominador le faltan dos dimensiones para tener una ménos que el numerador, espresarémos la unidad por una letra cualquiera tal como $c$; y como toda potencia de la unidad es igual con ella misma, mutiplicando el denominador por $c^{2}$, que es lo que se necesita para que en él haya una dimension ménos que en el numerador, se tendrá $x={\frac {b^{4}}{c^{2}\times a}}={\frac {b^{2}}{c}}\times {\frac {b}{c}}\times {\frac {b}{a}}$; y estaría reducido á encontrar primero una tercera proporcional á $c$ y $b$, que llamándola $m$, daría $x=m\times {\frac {b}{c}}\times {\frac {b}{a}}$.

Hallando ahora una cuarta proporcional á $c$, $m$ y $b$, y llamándola $n$, será $x=n\times {\frac {b}{a}}$.

Y hallando por último una cuarta proporcional á $a$, $n$ y $b$, se tendrá una línea que espresará el valor de $x$.

10 Si la ecuacion fuese $x={\frac {a}{b^{2}d^{2}}}$, multiplicaríamos el numerador $a$ por la cuarta potencia de $c=1$, lo que daría $x={\frac {ac^{4}}{b^{2}d^{2}}}={\frac {ac}{b}}\times {\frac {c}{b}}\times {\frac {c}{d}}\times {\frac {c}{d}}$; y se construiría como la espresion anterior.

11 Pasemos á construir los radicales de 2° grado.

Sea $x={\sqrt {ab}}$; tírese una línea indefinida $AB$ (fig. 3); tómese en ella una parte $AC=a$; á continuacion de ella tómese otra $CB=b$; trácese sobre $AB$ como diámetro un semicírculo $ADB$, y en el punto $C$ levántese la perpendicular $DC$; lo que (I. 333) dará $AC:DC::DC:CB$; de donde $DC^{2}=AC\times CB=ab$, y $DC={\sqrt {ab}}=x$, que era lo que se pedía.

12 Si fuese la ecuacion $x={\sqrt {abc}}$, en que debajo del radical hay tres dimensiones, se pondría por denominador á la cantidad que hay debajo del radical una letra $d$ igual con la unidad, y sería $x={\sqrt {\frac {abc}{d}}}={\sqrt {{\frac {ab}{d}}\times c}}$; se hallaría primero una cuarta proporcional á $d$, $a$ y $b$, y llamándola $m$, se tendría $x={\sqrt {mc}}$; que quedaría construida (11) hallando una media proporcional entre $m$ y $c$.

13 Si se tuviese $x={\sqrt {a}}$, se multiplicaría la cantidad que está debajo del radical por la unidad, espresada por la letra $b$, y sería $x={\sqrt {ab}}$, y estaría reducida al caso primero.

14 Cuando la cantidad que está debajo del radical es un polinomio, se puede construir por dos métodos: ó por una media proporcional, ó con el auxilio del triángulo rectángulo.

Así, si se quiere construir $x={\sqrt {a^{2}+2bc-{\frac {mnd}{p}}}}$, se hará $2bc=ak$, ${\frac {mnd}{p}}=ah$; de donde $k={\frac {2bc}{a}}={\frac {2b\times c}{a}}$, que se construirá hallando una cuarta proporcional á $a$, al duplo de la línea $b$, y á $c$; y $h={\frac {mnd}{ap}}={\frac {mn}{a}}\times {\frac {d}{p}}$; que se construirá por lo dicho ántes (8). Sustituyendo en vez de $2bc$ y ${\frac {mnd}{p}}$ sus valores en la propuesta, se convertirá en $x={\sqrt {a^{2}+ak-ah}}={\sqrt {a(a+k-h)}}$, lo que reduce la operacion á hallar una media proporcional entre $a$ y $a+k-h$.

15 Si la ecuacion por construir fuese $x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$, se haría $b^{2}=am$; y sería $x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {a^{2}+am}}={\sqrt {a(a+m)}}$, cuya operacion está reducida al caso de ántes.

Si se quiere construir por el triángulo rectángulo, se formará un ángulo recto $VAZ$ (fig. 4); en uno de los lados $AV$ se tomará una parte $AB=a$, y en el otro $AZ$ otra parte $AC=b$; por los estremos $B$ y $C$ de estas líneas se tirará la $BC$, que será igual con $x$. En efecto, por ser rectángulo el triángulo $ABC$, dará $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=a^{2}+b^{2}$, y $BC={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=x$.

16 Para construir la ecuacion $x={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ en el supuesto de ser $a^{2}>b^{2}$, sobre la línea $AB=a$ (fig. 5) como diámetro, se trazará una semicircunferencia $ACB$; desde uno de sus estremos $B$ se colocará por cuerda la $BC=b$; y tirando desde el otro estremo $A$ al punto $C$ la $CA$, ésta será el valor de $x$; porque el triángulo $ACB$ rectángulo en $C$, da $AC^{2}=AB^{2}-BC^{2}=a^{2}-b^{2}$, de donde $AC={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=x$, que era lo que se pedía.

Esc 1° Se ha construido este radical en el supuesto de ser $a^{2}>b^{2}$, ó $a>b$; porque de otro modo sería imaginario y no se podría construir.

Esc 2° Otra construccion del mismo radical. Fórmese el ángulo recto $VAZ$ (fig. 4); en uno de sus lados $AZ$ tómese una parte $AC=b$; haciendo centro en $C$ y con un radio $CB=a$, determínese el punto $B$ de interseccion con el lado $AV$, y la parte $AB$ será el valor de $x$ que se pide; porque $AB={\sqrt {BC^{2}-AC^{2}}}={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=x$.

17 Si el radical fuese polinomio, como $x={\sqrt {ab+c^{2}+ef-gh}}$, lo primero haríamos $ab=m^{2}$, $ef=n^{2}$, y $gh=p^{2}$, que dan $m={\sqrt {ab}}$, $n={\sqrt {ef}}$, y $p={\sqrt {gh}}$; y el radical se convertirá en $x={\sqrt {m^{2}+c^{2}+n^{2}-p^{2}}}$; ahora, con dos líneas $m$ y $c$ se formará un triángulo rectángulo $BAC$ (fig. 6), y se tendrá $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=m^{2}+c^{2}$; y llamando $q$ á la hipotenusa $BC$, y sustituyendo en el radical $q^{2}$ en vez de su igual $m^{2}+c^{2}$, resultará $x={\sqrt {q^{2}+n^{2}-p^{2}}}$.

Ahora, en el estremo $C$ de esta hipotenusa se levantará la perpendicular $CD=n$, y tirando la $DB$ que llamarémos $r$, será $BD^{2}=r^{2}=BC^{2}+CD^{2}=q^{2}+n^{2}$, y $x={\sqrt {r^{2}-p^{2}}}$.

Ahora, como el cuadrado que sigue es negativo, sobre $BD$ como diámetro se trazará un semícirculo $BFD$; desde $D$ se tomará una cuerda $DF=p$, y uniendo el punto $F$ con el $B$, se tendrá la $BF=x$; porque $BF^{2}=BD^{2}-DF^{2}=BC^{2}+CD^{2}-DF^{2}=AB^{2}+AC^{2}+CD^{2}-DF^{2}=m^{2}+c^{2}+n^{2}-p^{2}$, y $BF={\sqrt {m^{2}+c^{2}+n^{2}-p^{2}}}={\sqrt {ab+c^{2}+ef-gh}}=x$, que era lo que se pedía.

18 Sea ahora la ecuacion de 2° grado $x^{2}+px=q$; resolviéndola (I. 168), será $x=-{\frac {1}{2}}p\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}p^{2}+q}}$, que separando los valores de $x$, da

$\left\{{\begin{array}{c}x=-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}p^{2}+q}}\\x=-{\frac {1}{2}}-{\sqrt {{\frac {1}{4}}p^{2}+q}}\end{array}}\right.$.

Para hallar estos valores de $x$ se construirá primero el radical ${\sqrt {{\frac {1}{4}}p^{2}+q}}$; pero como $q$ no tiene mas de una dimension, se multiplicará por la unidad espresada v.g. por $a$, y el radical se convertirá en ${\sqrt {{\frac {1}{4}}p^{2}+aq}}$; y haciendo $aq=m^{2}$, que da $m={\sqrt {aq}}$, el radical será ${\sqrt {{\frac {1}{4}}p^{2}+m^{2}}}$; por consiguiente formando un triángulo rectángulo $ABC$ (fig. 7) en que uno de los catetos $CA$ sea igual con ${\frac {1}{2}}p$; y el otro $CB=m$, se tendrá $AB={\sqrt {AC^{2}+CB^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}p\right)^{2}+m^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{4}}p^{2}+m^{2}}}$; ahora, tomando desde $B$ hácia la izquierda una parte $BO=CA={\frac {1}{2}}p$, será $AO=AB-BO={\sqrt {{\frac {1}{4}}p^{2}+m^{2}}}-{\frac {1}{2}}p$, que es el primer valor de $x$.

Para construir el segundo, se tomará desde $A$ hácia la izquierda una parte $AM={\frac {1}{2}}p$, y desde $M$ tambien hácia la izquierda otra parte $MN={\sqrt {{\frac {1}{4}}p^{2}+m^{2}}}=AB$; y se tendrá $AN=-AM-MN=-{\frac {1}{2}}-{\sqrt {{\frac {1}{4}}p^{2}+q}}$.

Esc. Si $q$ fuese negativa se construiría el radical por lo dicho (16).

19 Para manifestar el modo de cifrar en ecuaciones las cuestiones de Geometría, resolverémos el siguiente problema.

Dado un triángulo $ABC$ (fig. 8) tirar paralelamente á uno de sus lados, tal como $AC$, una línea $DE$ que sea igual á una recta dada $MN$.

Res. y Dem. Como el triángulo es dado, quiere decir que son conocidos sus lados y todos sus datos; por lo que cual haciendo $AB=c$, $AC=b$, y la recta dada $MN=n$, todo estará en determinar en el lado $AB$ el punto $D$ por donde se ha de tirar la paralela que se pide. Luego tomando por incógnita la parte $AD$, que espresarémos por $x$, será $BD=c-x$, y los triángulos $BAC$, $BDE$, semejantes (I $\S$ 328), darán $AB:AC::BD:DE$, ó $c:b::c-x:n$, que da $cn=bc-bx$, y despejando $x$, se tendrá $x={\frac {bc-nc}{b}}={\frac {c(b-n)}{b}}$; cuyo valor manifiesta que la distancia $AD$ debe ser una cuarta proporcional á $b$, $c$ y $b-n$.

Este valor se podría construir (4) en un paraje cualquiera, y colocándole despues desde $A$ hácia $B$, se tendría determinado el punto $D$ que se busca; pero en esta clase de cuestiones es mas elegante el hacer la construccion en la misma figura que se da. Para esto, de la recta $AC=b$ se quitará una parte $CF=n$, y tirando por $F$ una paralela al lado $BC$, esta determinará en el lado $AB$ el punto pedido, de manera que $AD$ será el valor de $x$.

En efecto, la semejanza de los triángulos $ABC$, $AFD$ (I $\S$ 328) da $AC:AB::AF:AD$, ó $b:c::b-n:x={\frac {c(b-n)}{b}}$.

Si la línea $MN$ fuese mayor que $AC$, no se podría tirar en lo interior del triángulo $ABC$, sinó que sería necesario prolongar los lados $AB$, $BC$, y el problema debería decir por la prolongacion de uno de sus lados, etc., en vez de por uno de sus lados, etc. En este caso el punto que se pide sería el $D'$, el cual estaría por la parte inferior del punto $A$, como lo da á conocer el cálculo y la construccion.

En efecto, si se tiene $M'N'>AC$, resultará $n>b$; entóncesel factor $b-n$, que será negativo, hará que lo sea el valor de $x$, y por consiguiente que se debe tomar (3) desde $A$ hácia abajo; y como, haciendo la construccion en la misma figura, la línea $b-n$ será (3 esc.) la $AF'$ negativa, la recta $F'D'$ tirada por el punto $F'$ paralelamente á $BC$ no podrá encontrar sinó la prolongacion de $BA$ en el punto $D'$.

20 Tambien suceden aquí casos análogos á los que hemos espuesto (I 236); esto es, que muchas veces se enuncia como problema una proposicion que en realidad es teorema.