Ecuaciones de campo de la gravitación

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He mostrado en dos publicaciones recientes^[1], como puede uno llegar a unas ecuaciones de campo de la gravitación que concuerden con los postulados de la relatividad general, i.e. que en su forma general son covariantes con respecto a sustituciones arbitrarias de variables espacio-temporales.

La línea de desarrollo fue la siguiente. Primero encontré ecuaciones que contienen la teoría de Newton como una aproximación y que son covariantes con respecto a sustituciones arbitrarias de determinante 1. Después descubrí que esas ecuaciones en general corresponden a ecuaciones covariantes, si el escalar del tensor de energía de la "materia" desaparece. El sistema de coordenadas tenía que ser elegido de acuerdo con un simple regla, que ${\sqrt {-g}}$ sea 1, de forma que el resto de ecuaciones se simplifiquen considerablemente. En el proceso, sin embargo, uno tenía que introducir la hipótesis de que el escalar del tensor de energía de la materia desapareciese.

Recientemente he encontrado que es posible evitar la hipótesis acerca del tensor de energía de la materia, si uno lo incluye en las ecuaciones de campo de forma algo distinta a como se hizo en mis dos anteriores informes. Las ecuaciones de campo para el vacío, en las cuales basé la explicación del movimiento perihelial del planeta Mercurio, no se ven afectadas por este cambio. Expongo aquí de nuevo el razonamiento completo, para evitar que el lector tenga que remitirse constantemente a los informes previos.

A partir del covariante riemanniano de orden cuatro se deriva el siguiente covariante de orden dos:

$G_{im}=R_{im}+S_{im}$

(1)

$R_{im}=-\sum \limits _{l}{\frac {\partial \left\{{im \atop l}\right\}}{\partial x_{l}}}+\sum \limits _{l\rho }\left\{{il \atop \rho }\right\}\left\{{m\rho \atop l}\right\}$

(1a)

$S_{im}=\sum \limits _{l}{\frac {\partial \left\{{il \atop l}\right\}}{\partial x_{m}}}-\sum \limits _{l\rho }\left\{{im \atop \rho }\right\}\left\{{\rho l \atop l}\right\}$

(1b)

Obtenemos las diez ecuaciones generales espaciales covariantes del campo gravitatorio, sin la intervención de "materia", haciendo

$G_{im}=0$

(2)

Esas ecuaciones pueden deducirse de una forma más sencilla, cuando uno elige el sistema de referencia de forma que ${\sqrt {-g}}$ sea 1. En ese caso, $S_{im}$ desaparece debido a (1b), y se pasa a obtener, en vez de (2),

$R_{im}=\sum \limits _{l}{\frac {\partial \Gamma _{im}^{l}}{\partial x_{l}}}+\sum \limits _{\rho l}\Gamma _{i\rho }^{l}\Gamma _{ml}^{\rho }=0$

(3)

${\sqrt {-g}}=1$

(3a)

Aquí hacemos

$\Gamma _{im}^{l}=-\left\{{im \atop l}\right\}$

(4)

cuyas magnitudes denotaremos como "componentes" del campo gravitatorio.

Si hay "materia" presente en el espacio considerado, entonces el tensor de energía aparece a la derecha de la igualdades (2) o (3). Hacemos

$G_{im}=-\varkappa \left(T_{im}-{\frac {1}{2}}g_{im}T\right)$

(2a)

donde pusimos

$\sum \limits _{\rho \sigma }g^{\rho \sigma }T_{\rho \sigma }=\sum \limits _{\sigma }T_{\sigma }^{\sigma }=T$

(5)

$T$ es el escalar del tensor de energía de la "materia", la parte derecha de la igualdad (2a) es un tensor. Si volvemos a elegir el sistema de coordenadas usual obtenemos, en vez de (2a), las siguientes ecuaciones equivalentes

$R_{im}=\sum \limits _{l}{\frac {\partial \Gamma _{im}^{l}}{\partial x_{l}}}+\sum \limits _{\rho l}\Gamma _{i\rho }^{l}\Gamma _{ml}^{\rho }=-\varkappa \left(T_{im}-{\frac {1}{2}}g_{im}T\right)$

(6)

${\sqrt {-g}}=1$

(3a)

Igual que siempre, asumimos que la divergencia del tensor de energía de la materia desaparece en el sentido del calculo diferencial general (teorema de Energía-Momento). Cuando se deciden las coordenadas de acuerdo con (3a), se sigue que cumplirá las condiciones

$\sum \limits _{\lambda }{\frac {\partial T_{\sigma }^{\lambda }}{\partial x_{\lambda }}}=-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{\mu \nu }{\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}T_{\mu \nu }$

(7)

o

$\sum \limits _{\lambda }{\frac {\partial T_{\sigma }^{\lambda }}{\partial x_{\lambda }}}=-\sum \limits _{\mu \nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }T_{\mu }^{\nu }$

(7a)

Si se multiplica (6) por ${\tfrac {\partial g^{im}}{\partial x_{\sigma }}}$ y hace la suma sobre $i$ y $m$, uno obtiene^[2], respecto a (7) y a la relación derivada de (3a)

${\frac {1}{2}}\sum \limits _{im}g_{im}{\frac {\partial g^{im}}{\partial x_{\sigma }}}=-{\frac {\partial lg{\sqrt {-g}}}{\partial x_{\sigma }}}=0$

(*)

la ley de conservación para la materia y el campo gravitatorio unidos de la forma

$\sum \limits _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial x_{\lambda }}}\left(T_{\sigma }^{\lambda }+t_{\sigma }^{\lambda }\right)=0$

(8)

donde $t_{\sigma }^{\lambda }$ (el "tensor de energía" del campo gravitatorio) esta dado por

$\varkappa t_{\sigma }^{\lambda }={\frac {1}{2}}\delta _{\sigma }^{\lambda }\sum \limits _{\mu \nu \alpha \beta }g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }-\sum g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }$

(8a)

Los motivos que me impulsaron a introducir el segundo miembro en la parte derecha de (2a) y (6) quedan claros a partir de las siguientes consideraciones, completamente análogas a las de la referencia anterior (p. 785).

Si multiplicamos (6) por $g^{im}$ y hacemos la suma sobre los índices $i$ y $m$, obtenemos tras algunos cálculos sencillos

$\sum \limits _{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}-\varkappa (T+t)=0$

(9)

en la parte correspondiente a (5) se simplifica la notación

$\sum \limits _{\rho \sigma }g^{\rho \sigma }t_{\rho \sigma }=\sum \limits _{\sigma }t_{\sigma }^{\sigma }=t$

(8b)

Nótese se sigue del término adicional que en (9), el tensor de energía del campo gravitatorio actúa igualmente con independencia del de materia; este no es el caso de las ecuaciones (21) loc. cit..

Además, en vez de la ecuación (22) loc. cit. uno deriva, ayudado equivalentemente por la ecuación de energía, las relaciones:

${\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}\left[\sum \limits _{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}-\varkappa (T+t)\right]=0$

(10)

De nuestro término extra se sigue que esas ecuaciones no contiene condiciones adicionales con respecto a (9), de forma que en lo que respecta al tensor de energía de la materia, la única presuposición que ha de hacerse es que concuerde con el teorema de momento-energía.

Con esto, la teoría general de la relatividad como estructura lógica queda finalmente completada. El postulado de la relatividad, que en su forma general convierte las coordenadas espacio-temporales en parámetros sin significado físico, lleva necesariamente a una teoría de la gravitación muy específica que explica el movimiento perihelial del planeta Mercurio. Sin embargo, el postulado de la relatividad general no ofrece información nueva sobre otros procesos naturales que no explicara ya la teoría especial de la relatividad. Mi opinión sobre esto, expresada hace poco en este mismo lugar, estaba equivocada. Cualquier teoría física equivalente a la teoría especial de la relatividad puede ser integrada en la teoría general de la relatividad, con la ayuda del cálculo diferencial absoluto, sin que este dé ningún criterio para la admisibilidad de la teoría.

1. Sitzungsber. XLIV, p. 778 y XLVI, p. 799, 1915
2. Sobre la obtención de este resultado, véase Sitzungsber. XLIV, 1915, p. 784/785. Para las siguientes, recomiendo al lector comparar los razonamientos dados con p. 785.