Los Elementos/Libro V

Libro V

Teoría de las proporciones abstractas

Consta de 18 definiciones y 25 proposiciones.
Este volumen contiene una exposición magistral de la teoría de la proporción aplicable a magnitudes conmensurables e inconmensurables. Se resolvió así el problema planteado por el descubrimiento pitagórico de los números irracionales.

Definiciones

Definición 1. Una magnitud es parte de una magnitud, la menor de la mayor, cuando mide a la mayor.

Definición 2. Y la mayor es múltiplo de la menor cuando es medida por la menor.

Definición 3. Una razón es determinada relación respecto a su tamaño entre dos magnitudes homogéneas.

Definición 4. Se dice que las magnitudes guardan razón entre sí cuando, al multiplicarse, puedan exceder la una a la otra.

Definición 5. Se dice que una primera magnitud guarda la misma razón con una segunda magnitud, que una tercera magnitud con una cuarta magnitud, cuando cualquier equimúltiplo de la primera y la tercera exceden a la par, sean iguales a la par o sean inferiores a la par, que cualquier equimúltiplo de la segunda y la cuarta, respectivamente y cogidos en el orden correspondiente.

Definición 6. Se llaman proporcionales las magnitudes que guardan la misma razón.

Definición 7. Entre los equimúltiplos, cuando el múltiplo de la primera excede al múltiplo de la segunda pero el múltiplo de la tercera no excede al múltiplo de la cuarta, entonces se dice que la primera guarda con la segunda una razón mayor que la tercera con la cuarta.

Definición 8. Una proporción entre tres términos es la menor posible.

Definición 9. Cuando tres magnitudes son proporcionales, se dice que la primera guarda con la tercera una razón duplicada de la que guarda con la segunda.

Definición 10. Cuando cuatro magnitudes son proporcionales, se dice que la primera guarda con la cuarta una razón triplicada de la que guarda con la segunda, y así siempre, sucesivamente, sea cual sea la proporción.

Definición 11. Se llaman magnitudes correspondientes las antecedentes en relación con las antecedentes y las consecuentes con las consecuentes.

Definición 12. Una razón por alternancia consiste en tomar el antecedente en relación con el antecedente y el consecuente en relación con el consecuente.

Definición 13. Una razón por inversión consiste en tomar el consecuente como antecedente en relación con el antecedente como consecuente.

Definición 14. La composición de una razón consiste en tomar el antecedente junto con el consecuente como una sola magnitud en relación con el propio consecuente.

Definición 15. La separación de una razón consiste en tomar el exceso por el que el antecedente excede al consecuente en relación con el propio consecuente.

Definición 16. La conversión de una razón consiste en tomar el antecedente en relación con el exceso por el que el antecedente excede al consecuente.

Definición 17. Una razón por igualdad se da cuando, habiendo diferentes magnitudes y otras iguales a las primeras en número que, tomadas de dos a dos, guardan la misma razón, sucede que como la primera es a la última -entre las primeras magnitudes-, así pues -entre las segundas magnitudes- la primera as a la última; o dicho de otra forma, consiste en tomar los extremos sin considerar los medios.

Definición 18. Una proporción perturbada se da cuando habiendo tres magnitudes y otras iguales a ellas en número, sucede que como que el antecedente es al consecuente -entre las primeras magnitudes-, así pues -entre las segundas magnitudes- el antecedente es al consecuente, y como el consecuente es a otra magnitud -entre las primeras magnitudes- ,así pues -entre las segundas magnitudes- alguna otra magnitud es al antecedente.

Proposiciones

Proposición 1. Si hay un número cualquiera de magnitudes respectivamente equimúltiplos de cualesquiera otras iguales en número, cuantas veces una sea múltiplo de otra, tantas veces lo serán todas de todas.

Proposición 2. Si una primera magnitud es el mismo múltiplo de una segunda que una tercera lo es de una cuarta, y una quinta es también el mismo múltiplo de la segunda que una sexta de la cuarta, la suma de la primera y la quinta será el mismo múltiplo de la segunda que la suma de la tercera y la sexta de la cuarta.

Proposición 3. Si una primera magnitud es el mismo múltiplo de una segunda que una tercera lo es de una cuarta, y se toman equimúltiplos de la primera y la tercera, también por igualdad cada una de las dos magnitudes tomadas serán equimúltiplos, respectivamente, una de la segunda y la otra de la cuarta.

Proposición 4. Si una primera magnitud guarda la misma razón con una segunda que una tercera con una cuarta, cualquier equimúltiplo de la primera y la tercera guardaran la misma razón con cualquier equimúltiplo de la segunda y la cuarta respectivamente, tomados en el orden correspondiente.

Proposición 5. Si una magnitud es el mismo múltiplo de otra, que una magnitud restada a la primera lo es de otra restada a la segunda; la magnitud que queda de la primera será también el mismo múltiplo de la magnitud que queda de la segunda que la magnitud entera de la magnitud entera.

Proposición 6. Si dos magnitudes son equimúltiplos de dos magnitudes y ciertas magnitudes restadas de ellas son equimúltiplos de estas dos segundas, las que queden también son o bien iguales a las mismas o bien equimúltiplos de ellas.

Proposición 7. Las magnitudes iguales guardan la misma razón con una misma magnitud y la misma magnitud guarda la misma razón con las magnitudes iguales.

Proposición 8. De magnitudes desiguales, la mayor guarda con una misma magnitud una razón mayor que la menor, y la misma magnitud guarda con la menor una razón mayor que con la mayor.

Proposición 9. Las magnitudes que guardan con una misma magnitud la misma razón son iguales entre sí; y aquellas con las cuales una misma magnitud guarda la misma razón, son iguales.

Proposición 10. De las magnitudes que guardan razón con una misma magnitud, la que guarda una razón mayor, es mayor. Y aquella con la que la misma magnitud guarda una razón mayor, es menor.

Proposición 11. Las razones que son iguales a una misma razón son iguales también entre si.

Proposición 12. Si un número cualquiera de magnitudes fueran proporcionales, como sea una de las antecedentes a una de las consecuentes, así lo serán todas las antecedentes a las consecuentes.

Proposición 13. Si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta, y la tercera guarda con la cuarta una razón mayor que una quinta con una sexta, la primera guardará también con la segunda una razón mayor que la quinta con la sexta.

Proposición 14. Si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta y la primera es mayor que la tercera, la segunda será también mayor que la cuarta, y si es igual, será igual, y si es menor, será menor.

Proposición 15. Las partes guardan la misma razón entre sí que sus múltiplos, tomados en el orden correspondiente.

Proposición 16. Si cuatro magnitudes son proporcionales, también por alternancia serán proporcionales.

Proposición 17. Si unes magnitudes son proporcionales por composición, también serán proporcionales por separación.

Proposición 18. Si unes magnitudes son proporcionales por separación, también serán proporcionales por composición.

Proposición 19. Si tal y como un todo es a otro todo, así es una parte restada de uno a una parte restada de otro, la parte que queda será también a la parte que queda tal y como el todo es al todo.

Proposición 20. Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, y si, por igualdad, la primera es mayor que la tercera, también la cuarta será mayor que la sexta; y si es igual, igual, y si es menor, menor.

Proposición 21. Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón y la su proporción es perturbada, y si, por igualdad, la primera es mayor que la tercera, también la cuarta será mayor que la sexta; y si es igual, igual; y si es menor, menor.

Proposición 22. Si hay un número cualquiera de magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guarden la misma razón, por igualdad guardarán también la misma razón.

Proposición 23. Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, y su proporción es perturbada, por igualdad guardarán también la misma razón.

Proposición 24. Si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta, y una quinta guarda con la segunda la misma razón que la sexta con la cuarta, la primera y la quinta, tomadas juntamente, guardarán también la misma razón con la segunda que la tercera y la sexta con la cuarta.

Proposición 25. Si cuatro magnitudes son proporcionales, la mayor y la menor juntas son mayores que las dos que quedan.