Los Elementos/Libro VII

Libro VII

Fundamentos de la teoría de los números

Consta de 23 definiciones y 39 proposiciones.
Junto a los Libros VIII y IX forman un bloque diferente a la estructura que se da de los volúmenes I-VI y acumula las definiciones en este Libro VII. En total comprenden 102 proposiciones y podemos decir que son investigaciones de carácter teórico con la intención, por ejemplo, de determinar la medida común máxima entre sí de dos números no primos. De hecho este volumen es una reconstrucción del legado aritmético de raíces pitagóricas.

Definiciones

Definición 1. Una unidad es aquello en virtud de la cual cada una de las cosas que hay, se llama una.

Definición 2. Un número es una pluralidad compuesta de unidades.

Definición 3. Un número es parte de un número, el menor del mayor, cuando mide al mayor.

Definición 4. Pero partes cuando no lo mide.

Definición 5. Y el mayor es múltiplo del menor cuando es medido por el menor.

Definición 6. Un número par es el que se divide en dos partes iguales.

Definición 7. Un número impar es el que no se divide en dos partes iguales, o se diferencia de un número par en una unidad.

Definición 8. Un número parmente par es el medido por un número par según un número par.

Definición 9. Y parmente impar es el medido por un número par según un número impar.

Definición 10. Imparmente par es el medido por un número impar según un número par.

Definición 11. Un número imparmente impar es el medido por un número impar según un número impar.

Definición 12. Un número primo es aquél que sólo es medido por la unidad.

Definición 13. Números primos entre sí son los medidos por la sola unidad como medida común.

Definición 14. Número compuesto es el medido por algún número.

Definición 15. Números compuestos entre sí son los medidos por algún número como medida común.

Definición 16. Se dice que un número multiplica a un número cuando el multiplicado se añade a si mismo tantas veces como unidades hay en el otro y resulta un número.

Definición 17. Cuando dos números, al multiplicarse entre sí, hacen algún número, el resultado se llama número plano y sus lados son los números que se han multiplicado entre sí.

Definición 18. Cuando tres números, al multiplicarse entre sí, hacen algún número, el resultado es un número sólido y sus lados son los números que se han multiplicado entre sí.

Definición 19. Un número cuadrado es el multiplicado por si mismo el comprendido por dos números iguales.

Definición 20. Y un número cubo el multiplicado dos veces por sí mismo o el comprendido por tres números iguales.

Definición 21. Unos números son proporcionales cuando el primer es el mismo múltiple o la misma parte o las mismas partes del segundo que el tercero del cuarto.

Definición 22. Números planos y sólidos semejantes son los que tienen los lados proporcionales.

Definición 23. Número perfecto es el que es igual a sus propias partes. Por ejemplo, el número 28 es un número perfecto porque sus partes (los divisores propiamente dicho) 1, 2, 4, 7 y 14 suman 28. Los cuatro números perfectos más pequeños son el 6, 28, 496 y 8128. A la proposición 36 del libro IX, Euclides nos ofrece una construcción de los números perfectos pares. Hoy en día todavía desconocemos si hay algún número perfecto que sea impar.

Proposición

Proposición 1. Dados dos números desiguales y restando sucesivamente el menor del mayor, si el que queda no mide nunca al anterior hasta que quede una unidad, los números iniciales serán primos entre sí.

Proposición 2. Dados dos números no primos entre sí, hallar su medida común máxima.

Proposición 3. Dados tres números no primos entre sí, hallar su medida común máxima.

Proposición 4. Todo número es parte de todo número, el menor del mayor.

Proposición 5. Si un número es parte de un número, y otro es la misma parte de otro, la suma será también la misma parte de la suma que el uno del otro.

Proposición 6. Si un número es partes de un número y otro número es las mismas partes de otro número, la suma será también las mismas partes de la suma que el uno del otro.

Proposición 7. Si un número es la misma parte de un número que un número restado de un número restado, el resto será la misma parte del resto que el total del total.

Proposición 8. Si un número es las mismas partes de un número que un número restado de un número restado, el resto será las mismas partes del resto que el total del total.

Proposición 9. Si un número es parte de un número y otro número es la misma parte de otro, también, por alternancia, la parte o partes que el primero es del tercero, la misma parte o partes será el segundo del cuarto.

Proposición 10. Si un número es partes de un número y otro número es las mismas partes de otro, también, por alternancia, las partes o parte que el primer es del tercero, las mismas partes o la misma parte será el segundo del cuarto.

Proposición 11. Si de la misma forma que un todo es a un todo, también un número restado es a un número restado, también el resto será al resto de la misma forma que el todo es al todo.

Proposición 12. Si unos números, tantos como se quiera, fueran proporcionales, como uno de los antecedentes es a uno de los consecuentes, de la misma forma todos los antecedentes serán a todos los consecuentes.

Proposición 13. Si cuatro números son proporcionales, también por alternancia serán proporcionales.

Proposición 14. Si hay unos números, tantos como se quiera, y otros iguales a ellos en cantidad que, tomados de dos en dos guardan la misma razón, también por igualdad guardarán la misma razón.

Proposición 15. Si una unidad mide a un número cualquiera, y un segundo número mide el mismo número de veces a otro numero cualquiera, por alternancia, la unidad medirá también al tercer número el mismo número de veces que el segundo al cuarto.

Proposición 16. Si dos números, al multiplicarse entre sí, hacen ciertos números, los números resultantes serán iguales entre sí.

Proposición 17. Si un número, al multiplicar a dos números, hace ciertos números, los números resultantes guardarán la misma razón que los multiplicados.

Proposición 18. Si dos números, al multiplicar a un número cualquiera, hacen ciertos números, los resultantes guardarán la misma razón que los multiplicados.

Proposición 19. Si cuatro números son proporcionales, el producto del primero y el cuarto será igual al del segundo y el tercero; y si el producto del primero y el cuarto es igual al producto del segundo y el tercero, los cuatro números serán proporcionales.

Proposición 20. Los números menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos, miden a los que guardan la misma razón el mismo número de veces, el mayor al mayor y el menor al menor.

Proposición 21. Los números primos entre sí son los menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos.

Proposición 22. Los números menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos son números primos entre sí.

Proposición 23. Si dos números son primos entre sí, el número que mide a uno de ellos será número primo respecto del que queda.

Proposición 24. Si dos números son primos respecto a otro número, también el producto será número primo respecto al mismo número.

Proposición 25. Si dos números son números primos entre sí, el producto de uno de ellos multiplicado por sí mismo será número primo respecto del que queda.

Proposición 26. Si dos números son primos respecto a dos números, uno y otro con cada uno de ellos, sus productos también serán números primos entre sí.

Proposición 27. Si dos números son primos entre sí y al multiplicarse cada uno a sí mismo hacen algún otro número, sus productos serán números primos entre sí, y si los números iniciales, al multiplicar a los productos, hacen ciertos números, también ellos serán números primos entre sí. Y siempre sucede esto con los extremos.

Proposición 28. Si dos números son primos entre sí, su suma también será un número primo respecto a cada uno de ellos; y si la suma de ambos es un número primo respecto a uno cualquiera de ellos, también los números iniciales serán números primos entre sí.

Proposición 29. Todo número primo es primo respecto a todo número al que no mide.

Proposición 30. Si dos números, al multiplicarse entre sí, hacen algún número y algún número primo mide a su producto, también medirá a uno de los números iniciales.

Proposición 31. Todo número compuesto es medido por algún número primo.

Proposición 32. Todo número o bien es número primo o es medido por algún número primo.

Proposición 33. Dados tantos números como se quiera, hallar los menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos.

Proposición 34. Dados dos números, hallar el menor número al que miden.

Proposición 35. Si dos números miden a algún número, el número menor medido por ellos también medirá al mismo número.

Proposición 36. Dados tres números, hallar el número menor al que miden.

Proposición 37. Si un número es medido por algún número, el número medido tendrá una parte homónima del número que lo mide.

Proposición 38. Si un número tiene una parte cualquiera, será medido por un número homónimo de la parte.

Proposición 39. Hallar un número que sea el menor que tenga unas partes dadas.