Los Elementos/Libro X

Libro X

Clasificación de los inconmensurables

Consta de 16 definiciones y 115 proposiciones.
Este volumen contiene y trata los números irracionales, es decir, de los segmentos que son inconmensurables respecto al segmento rectilíneo dado. Considerado el Libro X como un volumen complejo tanto por problemas de traducción como de interpretación. Consta de 16 definiciones repartidas en 3 grupos y 115 proposiciones. Se cree que gran parte de este volumen corresponde al trabajo de Theaetetus y que Euclides completó, ordenó y acabó.

Definiciones I

Definición 1. Se llaman magnitudes conmensurables aquellas que se miden con la misma medida, y inconmensurables aquellas de las que no es posible hallar una medida común.

Definición 2. Las líneas rectas son conmensurables en cuadrado cuando sus cuadrados se miden con la misma área, e inconmensurables cuando no es posible que sus cuadrados tengan un área como medida común.

Definición 3. Dadas estas premisas, se demuestra que hay un número infinito de rectas respectivamente conmensurables y inconmensurables, unas sólo en longitud y otras también en cuadrado con una recta determinada. Se llama entonces racionalmente expresable la recta determinada; y las conmensurables con ella, bien en longitud y en cuadrado, bien sólo en cuadrado, racionalmente expresables y las inconmensurables con ella se llaman no racionalmente expresables.

Definición 4. Y el cuadrado de la recta determinada se llama racionalmente expresable, y los cuadrados conmensurables con éste racionalmente expresables; pero los inconmensurables con él se llaman no racionalmente expresables; y las rectas que los producen se llaman no racionalmente expresables, a saber, si fueran cuadrados, los propios lados y si fueran otras figuras rectilíneas, aquellas rectas que construyan cuadrados iguales a ellos.

Proposiciones I

Proposición 1. Dadas dos magnitudes desiguales, si se quita de la mayor una magnitud mayor que la de su mitad y, de la que queda, una magnitud mayor que su mitad y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor dada.

Proposición 2. Si al restar continua y sucesivamente la menor de la mayor de dos magnitudes desiguales, la que queda nunca mide a la anterior, las magnitudes serán inconmensurables.

Proposición 3. Dadas dos magnitudes conmensurables, hallar su medida común máxima.

Proposición 4. Dadas tres magnitudes conmensurables, hallar su medida común máxima.

Proposición 5. Las magnitudes conmensurables guardan entre sí la misma razón que un número guarda con un número.

Proposición 6. Si dos magnitudes guardan entre sí la razón que un número guarda con un número, las magnitudes serán conmensurables.

Proposición 7. Las magnitudes inconmensurables no guardan entre sí la razón que un número guarda con un número.

Proposición 8. Si dos magnitudes no guardan entre sí la razón que un número guarda con un número, las magnitudes serán inconmensurables.

Proposición 9. Los cuadrados de rectas conmensurables en longitud guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; y los cuadrados que guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado tendrán también los lados conmensurables en longitud. Pero los cuadrados de las rectas inconmensurables en longitud no guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, y los cuadrados que no guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado tampoco tendrán los lados conmensurables en longitud.

Proposición 10. Hallar dos rectas conmensurables, una sólo en longitud, la otra también en cuadrado, con una recta determinada.

Proposición 11. Si cuatro magnitudes son proporcionales y la primera es conmensurable con la segunda, también la tercera será conmensurable con la cuarta, y si la primera es inconmensurable con la segunda, la tercera será también inconmensurable con la cuarta.

Proposición 12. Las magnitudes conmensurables con una misma magnitud son también conmensurables entre sí.

Proposición 13. Si hay dos magnitudes conmensurables y una de ellas es incommensurable con una otra magnitud cualquiera, también la que queda será incommensurable con ella.

Proposición 14. Si cuatro rectas son proporcionales, y el cuadrado de la primera es mayor que el de la segunda en el cuadrado de una recta commensurable con la primera, el cuadrado de la tercera será también mayor que el de la cuarta en el cuadrado de una recta commensurable con la tercera. Y si el cuadrado de la primera es mayor que el de la segunda en el cuadrado de una recta incommensurable con la primera, el cuadrado de la tercera será también mayor que el de la cuarta en el cuadrado de una recta incommensurable con la tercera.

Proposición 15. Si se suman dos magnitudes conmensurables, la magnitud total también será commensurable con cadauna de ellas; y si la magnitud total es commensurable con cadauna de ellas, también las magnitudes iniciales serán conmensurables.

Proposición 16. Si se suman dos magnitudes inconmensurables , la magnitud total será incommensurable con cadauna de ellas; y si la magnitud total es incommensurable con una de ellas, las magnitudes iniciales serán también inconmensurables.

Proposición 17. Si hay dos rectas desiguales, y se aplica a la mayor un paralelogramo igual a la cuarta partee del cuadrado de la menor y deficiente en la figura de un cuadrado, y si la divide en partes conmensurables en longitud, el cuadrado de la mayor será mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta commensurable con la mayor. Y si el cuadrado de la mayor es mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta commensurable con la mayor, y se aplica a la mayor un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor y deficiente en la figura de un cuadrado, la divide en partes conmensurables en longitud.

Proposición 18. Si hay dos rectas desiguales, y se aplica a la mayor un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor y deficiente en la figura de un cuadrado, y si la divide en partes inconmensurables, el cuadrado de la mayor será mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta incommensurable con la mayor.Y si el cuadrado de la mayor es mayor que el cuadrado de la menor en el cuadrado de una recta incommensurable con la mayor, y se aplica a la mayor un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor y deficiente en la figura de un cuadrado, la divide en partes inconmensurables.

Proposición 19. El rectángulo contenido por rectas expresables conmensurables en longitud, según alguna de las formas antes descritas, es expresable.

Proposición 20. Si se aplica un área expresable a una recta expresable, produce como anchura una recta expresable y commensurable en longitud con aquella a la que se ha aplicado.

Proposición 21. El rectángulo comprendido por rectas expresables y conmensurables sólo en cuadrado no es racionalmente expresable y el lado del cuadrado igual a él tampoco es racionalmente expresable, se le llama a este último medial.

Proposición 22. El cuadrado de una recta medial, si se aplica a una recta expresable, produce una anchura expresable y incommensurable en longitud con aquella a la que se aplica.

Proposición 23. La recta commensurable con una recta medial es medial.

Proposición 24. El rectángulo contenido por rectas mediales conmensurables en longitud según alguna de las formas descritas, és medial.

Proposición 25. El rectángulo comprendido por rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado o bien es expresable o bien es medial.

Proposición 26. Un área medial no excede a otra medial en un área expresable.

Proposición 27. Hallar rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo expresable.

Proposición 28. Hallar rectas mediales proporcionales sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo medial.

Proposición 29. Hallar dos rectas expresables conmensurables sólo en cuadrado, de manera que el cuadrado de la mayor sea mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta commensurable en longitud con la mayor.

Proposición 30. Hallar dos rectas expresables conmensurables sólo en cuadrado, de manera que el cuadrado de la mayor sea mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta incommensurable en longitud con la mayor.

Proposición 31. Hallar dos rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo expresable, de manera que el cuadrado de la mayor sea mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta commensurable en longitud con la mayor.

Proposición 32. Hallarr dos rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo medial, de manera que el cuadrado de la mayor sea mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta commensurable con la mayor.

Proposición 33. Hallar dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados expresable, pero que el rectángulo comprendido por ellas sea medial.

Proposición 34. Hallar dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados medial, pero que el rectángulo comprendido por ellas sea expresable.

Proposición 35. Hallar dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados medial, y que el rectángulo comprendido por ellas sea medial y además incommensurable con la suma de sus cuadrados.

Proposición 36. Si se suman dos rectas expresables conmensurables sólo en cuadrado, la recta entera no es expresable; se la llama binomial.

Proposición 37. Si se suman dos rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo expresable, la recta entera no es expresable; se la llama primera bimedial.

Proposición 38. Si se suman dos rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo medial, la recta entera no es expresable; se la llama segunda bimedial.

Proposición 39. Si se suman dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados expresable y el rectángulo comprendido por ellas medial, la recta entera no es expresable; se la llama mayor.

Proposición 40. Si se suman dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados medial y el rectángulo comprendido por ellas expresable, la recta entera no es expresable; se la llama lado del cuadrado equivalente a un área expresable más un área medial.

Proposición 41. Si se suman dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados medial y el rectángulo comprendido por ellas también medial y incommensurable ademá con la suma de sus cuadrados, entonces la recta entera no es expresable; se la llama lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales.

Proposición 42. La recta binomial se divide en sus términos por un sólo punto.

Proposición 43. La recta primera bimedial se divide por un sólo punto.

Proposición 44. La recta segunda bimedial se divide por un sólo punto.

Proposición 45. La recta mayor se divide por uno y el mismo punto

Proposición 46. El lado del cuadrado equivalent a un área expresable más un área medial se divide sólo por un punto.

Proposición 47. El lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales se divide por un sólo punto.

Definiciones II

Definición 1. Dada una recta expresable y otra de binomial dividida en sus términos, de manera que el cuadrado del término mayor sea mayor que el cuadrado del término menor en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con el mayor; si el término mayor es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la recta entera se llama primera binomial.

Definición 2. Y si el término menor es conmensurable en longitud con la recta expresable, la recta entera se llama segunda binomial.

Definición 3. Pero si ninguno de los términos es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la recta entera se llama tercera binomial.

Definición 4. Si el cuadrado del término mayor es a su vez, mayor que el del menor en el cuadrado de una recta inconmensurable en longitud con el mayor, entonces, si el término mayor es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la recta entera se llama cuarta binomial.

Definición 5. Pero si lo es el menor, quinta binomial.

Definición 6. Y si ninguno de los dos, sexta binomial.

Proposiciones II

Proposición 48. Hallar una recta primera binomial.

Proposición 49. Hallar una recta segunda binomial.

Proposición 50. Hallar una recta tercera binomial.

Proposición 51. Hallar una recta cuarta binomial.

Proposición 52. Hallar una recta quinta binomial.

Proposición 53. Hallar una recta sexta binomial.

Proposición 54. Si un área está comprendida por una recta expresable y una primera binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no expresable llamada binomial.

Proposición 55. Si un área está comprendida por una recta expresable y una segunda binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no expresable llamada primera binomial.

Proposición 56. Si un área está comprendida por una recta expresable y una tercera binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no expresable llamada segunda binomial.

Proposición 57. Si un área está comprendida por una recta expresable y una cuarta binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no expresable llamada mayor.

Proposición 58. Si un área está comprendida por una recta expresable y una quinta binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no expresable llamada lado del cuadrado equivalente a un área expresable más un área medial.

Proposición 59. Si un área está comprendida por una recta expresable y una sexta binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no expresable llamada lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales.

Proposición 60. El cuadrado de una binomial aplicado a una recta expresable produce como anchura una primera binomial.

Proposición 61. El cuadrado de una recta primera binomial, aplicado a una recta expresable produce como anchura una segunda binomial.

Proposición 62. El cuadrado de una recta segunda binomial, aplicado a una recta expresable produce como anchura una tercera binomial.

Proposición 63. El cuadrado de una recta mayor, aplicado a una recta expresable produce como anchura una cuarta binomial.

Proposición 64. El cuadrado del lado de un área expresable más una medial aplicado a una recta expresable produce como anchura una quinta binomial.

Proposición 65. El cuadrado del lado de la suma de dos áreas mediales aplicado a una recta expresable produce como anchura una sexta binomial.

Proposición 66. Una recta conmensurable en longitud con una binomial es también binomial y del mismo orden.

Proposición 67. La recta conmensurable en longitud con una bimedial es también bimedial y del mismo orden.

Proposición 68. Una recta conmensurable con una recta mayor es también mayor.

Proposición 69. Una recta conmensurable con el lado del cuadrado equivalente a un área expresable más una medial es ella misma también el lado del cuadrado equivalente a un área expresable más una medial.

Proposición 70. Una recta conmensurable con el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales es también ella misma el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales.

Proposición 71. Si se suman un área expresable y una medial resultan cuatro tipos de rectas no expresables: o una binomial o una primera bimedial o una mayor o el lado del cuadrado equivalente a un área medial más una expresable.

Proposición 72. Si se suman dos áreas mediales inconmensurables entre sí resultan los dos restantes tipos de rectas no expresables que quedan: o la segunda bimedial o el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales.

Proposición 73. Si se quita de una recta expresable otra recta expresable que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera, la recta que queda no es expresable; se llama apótoma.

Proposición 74. Si de una recta medial se quita otra recta medial que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera y que comprenda junto con la recta entera un rectángulo expresable, la recta que queda no es expresable; se llama primera apótoma de una medial.

Proposición 75. Si de una recta medial se quita otra recta medial que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera y que comprenda junto con la recta entera un rectángulo medial, la recta que queda no es expresable; se llama segunda apótoma de una medial.

Proposición 76. Si de una recta se quita otra recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y haga con la recta entera la suma de sus cuadrados expresable y el rectángulo comprendido por ellas medial, la recta que queda no es expresable; se llama menor.

Proposición 77. Si de una recta se quita otra recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y que haga con la recta entera, la suma de sus cuadrados medial, pero el doble del rectángulo comprendido por ellas expresable, la recta que queda no es expresable; se llama la que hace con un área expresable un área entera medial.

Proposición 78. Si de una recta se quita otra recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y que haga junto con la recta entera la suma de sus cuadrados medial, y el doble del rectángulo comprendido por ellas medial, y además sus cuadrados inconmensurables con el doble del rectángulo comprendido por ellas, entonces la recta que queda no es expresable; se llama la que hace con un área medial un área entera medial.

Proposición 79. A una apótoma únicamente se le adjunta una recta expresable que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera.

Proposición 80. A una primera apótoma de una medial únicamente se le adjunta una recta medial que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera y que comprenda junto con la recta entera un rectángulo expresable.

Proposición 81. A una segunda apótoma de una medial únicamente se le adjunta una recta medial que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera y que comprenda junto con la recta entera un rectángulo medial.

Proposición 82. A una recta menor únicamente se le adjunta una recta que sea inconmensurable sólo en cuadrado con la recta entera y que haga junto con la recta entera la suma de sus cuadrados expresable y el doble del rectángulo comprendido por ellas medial.

Proposición 83. A una recta que hace con un área expresable un área entera medial únicamente se le adjunta una recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y que haga con la recta entera, la suma de sus cuadrados medial y el doble del rectángulo comprendido por ellas expresable.

Proposición 84. A la recta que hace amb una àrea medial una àrea entera medial únicamente se le adjunta una recta que sea incommensurable en cuadrado con la recta entera y que haga con la recta entera, la suma de sus cuadrados medial y el doble del rectángulo comprendido por ellas també medial i a més a més incommensurable amb la suma de sus cuadrados .

Definiciones III

Definición 1. Dada una recta expresable y apótoma, si el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la recta adjunta en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con la recta entera, y la recta entera es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la recta apótoma se llama primera apótoma.

Definición 2. Y si la recta adjunta es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, y el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la adjunta en el cuadrado de una recta conmensurable con ella, la recta se llama segunda apótoma.

Definición 3. Y si ninguna de las dos es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, y el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la adjunta en el cuadrado de una recta conmensurable con ella, la recta apótoma se llama tercera apótoma.

Definición 4. Si, a su vez, el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la adjunta en el cuadrado de una recta inconmensurable con la recta entera, entonces, si la recta entera es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la apótoma se llama cuarta apótoma.

Definición 5. Pero si la adjunta es conmensurable, se llama quinta apótoma.

Definición 6. Y si ninguna de las dos es conmensurable, se llama sexta apótoma.

Proposiciones III

Proposición 85. Hallar la primera apótoma.

Proposición 86. Hallar la segunda apótoma.

Proposición 87. Hallar la tercera apótoma.

Proposición 88. Hallar la cuarta apótoma.

Proposición 89. Hallar la quinta apótoma.

Proposición 90. Hallar la sexta apótoma.

Proposición 91. Si un área está comprendida por una recta expresable y una primera apótoma, el lado del cuadrado equivalente al área es una recta apótoma.

Proposición 92. Si un área está comprendida por una recta expresable y una segunda apótoma, el lado del cuadrado equivalente al área es una primera apótoma de una medial.

Proposición 93. Si un área está comprendida por una recta expresable y una tercera apótoma, el lado del cuadrado equivalente al área es una segunda apótoma de una medial.

Proposición 94. Si un área está comprendida por una recta expresable y una cuarta apótoma, el lado del cuadrado equivalente al área es una recta menor.

Proposición 95. Si un área está comprendida por una recta expresable y una quinta apótoma, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta que hace con un área expresable un área entera medial.

Proposición 96. Si un área está comprendida por una recta expresable y una sexta apótoma, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta que hace con un área medial un área entera medial.

Proposición 97. El cuadrado de una apótoma aplicado a una recta expresable produce como anchura una primera apótoma.

Proposición 98. El cuadrado de una primera apótoma de una medial, aplicado a una recta expresable produce como anchura una segunda apótoma.

Proposición 99. El cuadrado de una segunda apótoma de una medial aplicado a una recta expresable produce como anchura una tercera apótoma.

Proposición 100. El cuadrado de una recta menor aplicado a una recta expresable produce como anchura una cuarta apótoma.

Proposición 101. El cuadrado de la recta que hace con un área expresable un área entera medial aplicado a una recta expresable produce como anchura una quinta apótoma.

Proposición 102. El cuadrado de la recta que hace con una área medial un área entera medial aplicado a una recta expresable produce como anchura una sexta apótoma.

Proposición 103. Una recta conmensurable en longitud con una apótoma es apótoma y del mismo orden.

Proposición 104. Una recta conmensurable con una apótoma de una medial es apótoma de una medial y del mismo orden.

Proposición 105. Una recta conmensurable con una recta menor es menor.

Proposición 106. Una recta conmensurable con la recta que hace con un área expresable un área entera medial es también una recta que hace con un área expresable un área entera medial.

Proposición 107. Una recta conmensurable con la que hace con un área medial un área entera medial es también ella misma una recta que hace con un área medial un área entera medial.

Proposición 108. Si de un área expresable se quita un área medial, el lado del cuadrado equivalente al área restante es una de estas dos rectas no expresables: o bien una apótoma o bien una menor.

Proposición 109. Si se quita de un área medial un área expresable, resultan otras dos rectas no expresables: o bien la primera apótoma de una medial, o bien la que hace con un área expresable un área entera medial.

Proposición 110. Si se quita de un área medial otra área medial inconmensurable con el área entera, resultan las dos rectas no expresables restantes: o bien la segunda apótoma de una medial o bien la que hace con un área medial un área entera medial.

Proposición 111. La apótoma no es la misma que la binomial.

Proposición 112. El cuadrado de una recta expresable, aplicado a una binomial produce como anchura una apótoma cuyos términos son conmensurables con los términos de la binomial y además guardan la misma razón y la apótoma resultante es del mismo orden que la binomial.

Proposición 113. El cuadrado de una recta expresable, aplicado a una apótoma, produce como anchura una recta binomial cuyos términos son conmensurables con los términos de la apótoma y guardan la misma razón, y además la binomial resultante es del mismo orden que la apótoma.

Proposición 114. Si un área está comprendida por una apótoma y una binomial cuyos términos son conmensurables con los términos de la apótoma y guardan la misma razón, el lado del cuadrado equivalente al área es expresable.

Proposición 115. A partir de una recta medial se produce un número infinito de rectas no expresables y ninguna de ellas es la misma que ninguna de sus predecesoras.