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El principio especial de la relatividad.

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Para el eje η (ξ = 0) es x = -ct y x' = -ct'; si hacemos el correspondiente cálculo de x' + ct' con x, t, nos bastará, en la fórmula anterior, poner -c en lugar de c, y -β en lugar de β (mientras que $\alpha ={\sqrt {1-\beta ^{2}}}$ permanece inalterado), y tendremos:

$x'+ct'={\frac {1-\beta }{\alpha }}(x+ct).$

Pero de estas dos fórmulas se infiere fácilmente una formación invariante; en efecto,

$(1+\beta )(1-\beta )=1-\beta ^{2}=\alpha ^{2},$

de donde, multiplicando las dos ecuaciones una por otra, recibirá el factor el valor 1 y se hallará:

$(x'-ct')(x'+ct')=x^{2}-c^{2}t^{2}$

o sea:

$x'^{2}-c^{2}t'^{2}=x^{2}-c^{2}t^{2};$

por donde tenemos que la expresión

$G=x^{2}-c^{2}t^{2}$[66]

es invariante. A causa de su carácter fundamental, la llamaremos invariante fundamental.

Nos sirve ante todo para determinar la unidad de longitudes y tiempos en cualquier sistema de referencia S.

Para ello debemos inquirir todos los puntos universales para los cuales G tiene el valor +1 ó -1.

Evidentemente es G = 1 para el punto universal x = 1, t = 0; es éste, empero, el punto final de una unidad de medida a partir del punto cero del sistema de referencia S en el momento t = 0. Como vale de igual manera para todos los sistemas de referencia S, reconocemos, pues, que los puntos universales, para los cuales G = 1 definen la unidad de longitud en reposo, para cualquier sistema de referencia, como vamos a explicar en seguida con más detenimiento.