Importancia de los símbolos en matemática
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El espléndido y muy sugerente artículo de Eugenio Eignano, Las formas superiores del razonamiento (en « Scientia », enero, febrero y marzo de 1915), me induce a tratar una cuestión análoga, es decir la función que tienen los símbolos en la matemática.
Los símbolos más antiguos y hoy más difundidos son las cifras de la aritmética 0, 1, 2, étc., que cerca del 1200 las adquirimos de los árabes, y estos de los antigüos indúes, que las utilizaron alrededor del año 400.
La primer ventaja que se observa en las cifras es lo abreviado; los números escritos en cifras indo-árabes son más abreviados que los mismos números escritos con todas sus letras en nuestro idioma, y también son en general mas abreviados que los mismos números escritos con las cifras romanas I, X, C, M.
Pero un examen ulterior nos hace ver que las cifras no son de puros símbolos taquigráficos, es decir de las abreviaciones del lenguaje común; estas constituyen una nueva clasificación de las ideas. Así si las cifras 1, 2, ... 9 corresponden a las palabras « uno, dos, ... nueve », las palabras « dieci, ciento » no corresponden más a símbolos simples, pero si a los símbolos compuestos con « 10, 100 ». Y el símbolo 0 no tiene algún equivalente en el lenguaje vulgar; nosotros lo leemos con la palabra del árabe cero; los alemanes y los rusos usan la palabra latina nulla. El simbolismo no consiste en la forma de los símbolos; los europeos usan las cifras bajo una forma fijada después de la invención de la imprenta, y muy distinta de la forma de las cifras indo-árabicas; todavía justamente nuestras cifras se dicen cifras arábicas, porque tienen el mismo valor que sus correspondientes cifras arábicas.
La utilización de las cifras no solo sirve para abreviar la escritura, sino que sirve esencialmente para que los cálculos aritméticos sean más fáciles, y por lo tanto son posibles ciertos trabajos, y permite obtener ciertos resultados, que de otra manera practicamente no se podrían obtenter.
Por ejemplo, la medida directa asignó al número π, relación de la circunferencia con el diámetro, el valor 3. La Biblia nos informa que Salomón construye un recipiente de fundición de diez codos de diámetro y de treinta codos de circunferencia. (1° libro de los Reyes, 7, 23); donde π = 3.
Arquímides, 200 años antes de Cristo, con la inscripción y circunscripción de polígonos en circunferencias, o más bien con el cálculo de la serie de raíces cuadradas, sirviéndose de las cifras griegas, tomó a π a menos de 1/500. La sustitución de las cifras griegas por las indúes permiten a Aryabhata, cerca del 300, aproximar el cálculo a 4 decimales, y permite a los matemáticos europeos del 1600 aproximar el cálculo hasta 15 y después 32 cifras, siempre siguiendo el método de Arquímides. El progreso posterior, es decir el cálculo con 100 cifras, hecho en el 1700, y el cálculo moderno del 700, se debió a la introducción de la serie.
Se puede decir lo mismo para los símbolos del álgebra +, -, x, =, >, actualmente de uso universal. Las ecuaciones algebraicas son mucho mas breves que sus expresiones en lenguaje comun; son más simples y más claras, y sobre ellas puede operarse y hacerse cálculos.
Esto se debe a que los símbolos algebraicos son símbolos que representan ideas y no palabras. Por ejemplo, el símbolo + se lee mas; pero este símbolo y esta palabra no tienen el mismo valor.
Decimos por ejemplo « a es mas grande que b », y escribimos en símbolos « a > b », sin que la palabra mas corresponda al signo +; y la frase « suma de a con b » se traduce en símbolos con « a + b », aunque la frase no contenga la palabra mas. El símbolo +, permite representar lo que en el lenguaje ordinario se expresa con « mas, suma », y también « adición, término, polinomio ». Igualmente el signo x representa, sin ser equivalente, la palabra « multiplicación, producto, factor, coeficiente ». Los símbolos algebraicos son mucho menos numerosos que las palabras que se permiten representar.
Actualmente no se puede concebir un álgebra sin símbolos. En realidad, todas las proposiciones de álgebra, que ahora se estudian en la escuela media, se toman de Euclides y de Diofanto, sin símbolos. Allí palabras del lenguaje común han asumido un significado técnico especial, y tienen entonces el valor de símbolos fonéticos. Así la frase euclídea « la razón entre el número a y el número b » equivale exactamente a nuestro símbolo ; la palabra razón, en Euclídes λόγος, no tiene un origen lejano común con la palabra de la lengua vulgar, y con la lógica en que deriva.
La evolución del simbolismo algebraico es la siguiente: primero el lenguaje común; despues en Euclides un lenguaje técnico, en el cual ya se establece una correspondencia unívoca entre las palabras y las ideas; después la abreviación de las palabras del lenguaje técnico, que se inició cerca del 1500, por obra de muchos y bajo formas diversas, hasta un sistema de notaciones, aquellos utilizados por Newton, prevalecen sobre los demás.
La utilización de los símbolos algebraicos permiten a los alumnos de las escuelas medias resolver fácilmente aquellos problemas, que solo podían resolver las grandes mentes de Euclídes y Diofanto, y permiten el planteo de muchas nuevas cuestiones algebraicas.
El simbolismo del Cálculo infinitesimal es una continuación del algebraico. Aquí la historia es más segura. Arquímides midió el área de algunas figuras, recurriendo a una forma de razionamiento denominado « método de agotamiento ». Kepler en 1605, Cavalieri en 1639, Wallis en 1665, étc., dijeron que el área descripta por la ordenada de una curva es la suma de todas las ordenadas. Leibniz abreviò la palabra suma con la inicial S, que Bernoulli llamó integral, y que ahora tiene la forma de una S alargada.
Expresando el área incógnita mediante la suma de las infinitas ordenadas, suma que no está definida, parece expresar la oscuridad por más oscuridad. Pero en realidad esta suma o integral tiene la propiedad fundamental de la suma común, la que facilita mucho los cálculos. Las ordenadas, cuya suma es el área, son los indivisibles de Cavalieri, los infinitesimales de Leibniz. La mayor parte de los geómetras de aquellos tiempos refutaron los nuevos métodos; dijeron que con esos no se llegarían a resultados conocidos, y era cierto hasta cierto punto; dijeron que los resultados obtenidos bien que se podían llegar con los antiguos métodos, y lo probaron rehaciendo las demostraciones con el lenguaje de arquímedes, el que siempre es posible. Después se estancaron, y el mundo adoptó el nuevo simbolismo, que es mucho más cómodo.
La Geometría se prestó menos al simbolismo. La Geometría analítica se vé algebraica en las cuestiones geométricas. Es unmétodo de estudio, potente en algunas investigaciones, pero indirecto y a menudo inferior a la geometría elemental. Muchos buscaron un cálculo que operase directamente sobre los entes geométricos. Hérigone en 1664, Carnot en 1801, y muchos otros, construyeron símbolos para decir « recta, plano, paralela, perpendicolar, triángulo, cuadrado, étc. » Y algunos de ellos se utilizan en tratados modernos de geometría elemental. Pero estos son símbolos estenográficos representando palabras, y que no se prestaron a cálculo alguno.
La moderna teoría de los vectores permiten tratar las cuestiones geométricas con un cálculo directo similar al cálculo algebraico. La idea de vector se encuentra en germinación, en Euclídes; más clara en algunos autores cerca de 1800, y en nuesto Bellavitis en 1832, éste le llamó segmentos, porque el segmento de la geometría elemental es un ente similar al vector. Pero el uso con el nuevo significado de una palabra que ya posee una otra, es causa de confusión, tanto más grave cuanto más los dos entes son similares. Hamilton en 1845 llamó vector a este nuevo ente; y en dos volúmenes explicó el cálculo en forma muy simple, y lo aplicó a las cuestiones de geometría elemental, analítica, proyectiva, infinitesimal, a la mecánica, a la astronomía, a la física matemática, dando una nueva forma más simple a resultados conocidos, y buscándo nuevos. Pero los estudios de Hamilton no pasaron sobre el continente, hasta que Maxwell, también inglés, adoptó este método en las exposiciones de sus teorías acerca de la electricidad y el magnetismo.
Actualmente los vectores se conocen, al menos de nombre, por todos los matemáticos, y son utilizados por muchos, sin ser previamente incluidos en programas oficiales. Y sucedió que varios autores se permitieron modificar las notaciones, de introducir nuevos símbolos no necesarios, de dar el nombre de vector a otros entes similares pero no idénticos, reproduciendo la ambigüedad que Hamilton había eliminado. No hablo de aquellos que atribuyeron a los vectores de las propiedad contradictoria, que hacen imposible cada cálculo. Se originó una confusión tal que el ilustre matemático Laisant planteó recientemente en el periódico « L'Enseignement mathématique » de Ginebra, la pregunta ¿Qué es un vector?
Esta madeja fue deshecha por los prof. Burali-Forti y Marcolongo, en algunos artículos publicados en los « Rendiconti » de Palermo. Resultó que las notaciones no se podían tomar con arbitrio, pero deben cumpli con leyes definidas. Estos profesores, junto a los prof. Roggio, Bottasso y otros, han comenzado la publicación de una serie de volúmenes, donde se tratan las principales aplicaciones de los vectores. Así que los mejores libros sobre esta teoría, que una vez se imprimieron en Inglaterra, ahora se publican en Italia.
¿Qué es un vector? El vector no es un segmento al cual se le agrega una propiedad. El vector no se puede definir con la geometría elemental, es decir, no se puede escribir una igualdad cuyo primer miembro es la palabra vector, y el segundo miembro es un grupo de palabras de la geometría elemental. El vector resulta de un segmento, o mejor de un par de puntos, haciendo abstracción de algunas propriedades. Se puede definir la igualdad de los vectores.
Siendo A, B, C, D los puntos, la escritura A — B = C — D significa qie los segmentos A B y C D son de igual longitud, son paralelos, y dirigidos en el mismo sentido; es decir que A B D C son vértices consecutivos de un paralelogramo; o en otras palabras, que el punto medio de A D coincide con el punto medio de B C; o también en otras formas. El vector A — B es el conjunto de las propiedades comunes a todos los vectores C — D iguales a A — B. En consecuencia se hablará de la suma de dos vectores; pero no se hablará del origen de un vector de la recta que lo contiene, de vectores adyacentes, étc., porque sustituyendo a un vector por uno igual, el origen puede cambiar.
La teoría de los vectores no presupone ninguna cognición de geometría analítica, y menos de geometría elemental. El prof. Andreoni la usa en la escuela industrial de Reggio Calabria, para explicar la geometría; y se podría explicar muy bien en una escuela media.
El simbolismo de la lógica matemática, o cálculo lógico, o álgebra de la lógica, fue el último en comparecer; pero ya en su actual desarrollo se demuestra en nada inferior a los precedentes de la aritmética, del álgebra, de la geometría.
En cualquier libro de matemática hay términos, o símbolos, que representan ideas de álgebra o de geometría. Los términos restantes, unos millares, representan ideas de lógica. La lógica matemática clasifica las ideas de lógica que se presentan en los libros de matemática, las representa con símbolos, estudia las propiedades, o reglas del cálculo lógico. Así que todo el libro resulta expresado en símbolos, de matemática y de lógica[1]
La primer ventaja que se ve en los símbolos de lógica, es la abreviación que estos producen. Así mi Formulario contiene tratados completos de aritmética, de álgebra, de geometría, de cálculo infinitesimal, definiciones, teoremas y demostraciones, todo en un pequeño volumen, muy inferior a volúmenes que contienen las mismas cosas, pero expresadas en lenguaje común.
Después se ve que, mientras las palabras del lenguaje común, que expresan relaciones lógicas, son un millar, los símbolos de lógica matemática, que expresan las mismas ideas, son una decena, tantas como las cifras arábicas. Y esto en la práctica, porque el prof. Padoa, en el libro citado, ha reducido el número de símbolos teóricamente necesarios a solo 3. Así resulta que los símbolos ideográficos son mucho menos numerosos que las palabras que permiten expresar; qunque no hay una correspondencia unívoca entre símbolos y palabras; estos símbolos no son abreviaciones de palabras, pero representan las ideas.
Pero la utilidad principal de los símbolos de lógica es que estos facilitan el razonamiento.
Todos aquellos que usaron el simbolismo lógico dieron fe de su utilidad.
Mario Pieri, fallecido en la flor de su actividad en la ciencia en 1913, adoptó los símbolos de lógica en una serie de Memorias, relativas a los principios de la Geometría proyectiva, y publicadas desde 1895 en adelante. De mayor importancia es su trabajo: De la geometría elemental como sistema hipotético deductivo. Las primeras definiciones que se encuentran en los tratados comunes de geometría, las definiciones de punto, de línea, de recta, de superficie, étc., no satisfacen una lógica. Decir que « la línea es una longitud sin ancho » es expresar la idea desconocida de línea por dos ideas más desconocidas de longitud y ancho. Pieri llegó a analizar y clasificar las ideas de geometría, y todas las define en función de dos ideas primitivas: punto y distancia de dos puntos.[2]
La obra más grande toda escrita en símbolos ideográficos, es: A. N. Whitehead and B. Russell, Principia Mathematica.[3] los autores, en el prefacio, explican la utilidad, más bien la necesidad, del simbolismo. Ellos dicen de haber estado obligados de utilizar los símbolos, a preferencia de las palabras, porque las ideas utilizadas en su libro son más abstractas que aquellas consideradas en el lenguaje común; y por lo tanto no serían palabras que tengan el valor exacto de los símbolos. Así las ideas abstractas y simples consideradas en sus trabajos carecen de expresiones en el lenguaje común, que representen más facilmente las ideas complejas. Por lo tanto el simbolismo es más claro; permite construir una serie de razonamientos cuando la imaginación resulta enteramente inútil para sostener por si misma sin la ayuda del simbolismo. Ecc. Esta obra trata los principios del análisis y de la geometría, la teoría de la cercanía de los puntos, de los infinitos, infinitésimos y límites, y todas las cuestiones más difíciles y controvertidas de la matemática.[4]
La lógica matemática, útil en los razonamientos matemáticos (y en este solo sentido yo le hago uso), interesa también a la filosofía. Louis Couturat, fallecido por desgracia al inicio de la guerra de 1914, escribió importantes y numerosos artículos en la « Revne de métaphysique et de morale » y en opúsculos y libros separados.
Se reconoció que varias formas de silogismo considerados en lógica escolástica carecen de una condición. Que las reglas para las definiciones dadas en los tratados de lógica escolástica, no se aplican a las definiciones matemáticas; y que viceversa estas satisfacen a otras reglas que no se encuentran en los tratados comunes de lógica. Lo mismo sucede para las reglas de las demostraciones matemáticas, las cuales no se pueden reducir al silogismo de la lógica clásica, pero más bien sumen otras formas, completamente clasificadas.
Por lo tanto se necesita distinguir entre obras y obras de « lógica matemática ». Si justas son las críticas de Eugenio Bignano contra aquellas que consideran la lógica matemática como una ciencia, cuyos trabajos, es muy cierto, son a menudo poco rentables; una vez más no lo serían en dirección de aquellas, las cuales fueron citadas por mi, que consideran la lógica matemática como un instrumento útil para resolver cuestiones matemáticas resistentes a los métodos comunes. Del resto es cuanto reconoce Bignano mismo donde afirma el descubrimiento completamente alcanzado y la utilidad de nuestro Formulario. Que con un similar instrumento simbólico nuevo se han obtenido resultados nuevos, resulta de la declaración de acuerdo a los autores que le han hecho uso. Y que estos resultados nuevos son importantes, resulta del hecho que los trabajos hechos con el simbolismo lógico fueron leidos, citados de numerosos autores, y sirven como base a nuevas investigaciones.
Turín, Universidad.
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Los autores que usan los símbolos de lógica, suelen explicarlos en la primera página de sus trabajos. La «Revista de matemática», editado por mí, tomo 7, página 3-5, contiene el elenco de 67 trabajos relativos a la lógica matemática desde 1889 hasta 1900; y el Formulario matemático, publicado por mí edición 5ª, pág. xiv-xv, contiene el elenco de 62 trabajos desde 1900 hasta 1908. Otros aparecieron después. Entre estos amerita una mención especial el Algebra der Logik de Richard Schröder, que contiene una riquísima bibliografía, especialmente de trabajos muy antiguos.
El lector que desea tener mayor conocimiento sobre este tema, puede consultar: C. Burali-Forti, Logica matematica, Milán, Manuali Hoepli, 1894, y el libro más reciente, y al corriente delos nuevos risultados: A. Padoa, La logique déductive dans sa dernière phase de développement, Extrait de «Revue de métaphysique et de morale», París, 1912. - ↑
Los resultados a los cuales llega Pieri constituyen una época en el estudio de los principios de la Geometría. B. Russell, de la Universidad de Cambridge, en su libro The principles of Mathematica, 1903, dice del trabajo de Pieri « This is thè best work on thè present subject ». Y todos quienes que siguieron tratando los principios de la Geometría, se sirvieron ampliamente del trabajo de Pieri, y dieron juicios equivalentes a los reportados por Russell. Cito a Bocher, en el «Bulletin of the American mathematical Society», 1904, pág. 115, Wilson, en el mismo periódico, 1904, pág. 74; Huntington, en las «Transactions» de la misma sociedad, en una serie de Memorias de 1902 en adelante, Veblen en el mismo periódico, 1904. Étc., étc.
Pieri en otros trabajos, expone también los resultados que vinieron, sin hacer uso de símbolos. Pero siempre quiere afirmar que ellos los obtiene sirviéndose de los símbolos de la lógica matemática. Se ve por ejemplo su comunicación al Congreso internacional de filosofía, París, 1900 con el título La Géométrie comme système purement logique, especialmente la pág. 381.
Y, encargado del discurso inaugura del año 1906-07 en la R. Universidad de Catania, Pieri elige como tema Una mirada hacia la nueva dirección lógico-matematica de la ciencia deductiva. El discurso fue impreso en el «Anuario» de esta Universidad, y es una buena exposición de este gran movimiento científico, hecho en un modo accesible al público no matemático, que en el mismo escrito puede hacerse rapidamente una idea clara de la cuestión.
En este período de tiempo una serie de ilustres matemáticos italianos trabajó en la misma dirección. Así fue que en 1900, L. Couturat, mientras declara que «l’école italienne avait atteint des résultats merveilleux de rigueur et de subtilité», era todavía incierto «si l’on devait les attribuer à l’utilitè du symbolisme logique on à la pénétration des savants qui le manient»; pero en 1905 afirma sin vacilar, «que c’est l’instrument indispensable pour rejoindre la pureté logique des concepts, et la rigueur déductive des raisonnements». - ↑ Cambridge, University Press, Vol. l.°, 1910, pág. 606; Vol. 2.°, 1912, página 772; Vol. 3.°. 1913. pág. 491.
- ↑ Entre los autores de otras obras importantes de la lógica matemática nos limitamos a recordar los siguientes:
El prof. Huntington de la Universidad de Cambridge en América, quien, en la serie de escritos publicados en las «Transactions of the American Math. Society», a partir de 1902, analizó las ideas de magnitud, de número real, de los grupos de sustitución, étc., usando en parte el simbolismo lógico, y declara servirse de los trabajos del prof. Burali-Forti, Padoa, Couturat, Amodeo. El prof. Moore de la Universidad de Chicago, quien ha aplicado el simbolismo de la lógica matemática a estudiar el nuevo problema de las ecuaciones integro-diferenciales, en una comunicación del 4° congreso matemático internacional de Roma en 1908, y después en el libro Introduction to a Form of general Analysis, 1910. El mismo método fué aplicado de la Doctora Maria Gramegna, víctima del terremoto de Avezzano en enero de este año, en el escrito Serie de ecuaciones diferenciales lineales, publicado en «Actas de la R. Acad. de las Ciencias de Turín», 13 de marzo de 1910.
Mencionaré tambien los trabajos del prof. Cipolla de la Universidad de Catania, relativos a la congruencia, publicados en la «Revista de Matemática». Y el libro tanto apreciado: G. Pagliero, Aplicaciones de cálculo infinitesimal, Turín, Paravia, 1907, todos escritos en símbolos. Y en el campo didáctico, varios tratados de Aritmética y de Álgebra, del prof. Catania, en Catania, donde no se hace uso de símbolos, pero se aplican los resultados de la lógica matemática, y así resulta una exposición clara, simple y rigurosa; cuyas cualidades están generalmente juntas. Es gracias a los colaboradores prof. Castellano, Vacca, Vailati y otros, que el Formulario matematico viene al estado actual.