Los Elementos/Libro I

Libro I

Los fundamentos de la Geometría. Teoría de los triángulos, paralelas y el área

Consta de 23 definiciones, 5 postulados, 5 nociones comunes y 48 proposiciones.
Las 48 proposiciones se pueden dividir en tres bloques. Las primeras 26 tratan de las propiedades de los triángulos. De la 27 a la 32 establecen la teoría de las paralelas y demuestran que la suma de los ángulos de un triángulo suman lo mismo que dos ángulos rectos. De la 33 a la 48 tratan de los paralelogramos, triángulos, cuadrados, del Teorema de Pitágoras y su inverso.

Definiciones

1. Un punto es lo que no tiene partes.
2. Una línea es longitud sin anchura.
3. Los extremos de una línea son puntos.
4. Una (línea) recta es una línea que es uniforme sobre sus puntos.
5. Una superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura.
6. Los extremos de una superficie son líneas.
7. Un plano es la que es uniforme sobre sus líneas.
8. Un ángulo plano es la inclinación de las líneas, cuando dos líneas en un plano se tocan y no se colocan una encima de la otra.
9. Un ángulo rectilíneo es aquel contenido entre líneas rectas.
10. Cuando una línea recta se levanta sobre otra formando ángulos adyacentes iguales, cada uno de ellos se denomina ángulo recto y la primera línea se dice perpendicular sobre la que se levanta.
11. Un ángulo obtuso es un ángulo mayor a uno recto.
12. Un ángulo agudo es un ángulo menor a uno recto.
13. Un borde es lo que es el extremo de algo.
14. Una figura es lo que está contenido por algún o algunos bordes.
15. El círculo es una figura plana contenida por una sola línea (llamada circunferencia) tal que todas las líneas que radian hacia la circunferencia desde un punto dentro de la figura son iguales entre sí.
16. Tal punto es llamado centro del círculo.
17. Un diámetro del círculo es una recta trazada por el centro delimita por la circunferencia del círculo en ambas direcciones. Tal recta corta al círculo por la mitad.
18. Un semicírculo es la figura contenida por el diámetro y la circunferencia que corta. Y el centro del semicírculo es el mismo punto que el centro del círculo.
19. Una figura rectilínea es una figura contenida por líneas rectas. De ellas, un trilátero es una figura contenida por tres líneas rectas, un cuadrilátero es una figura contenida por cuatro líneas rectas y un multilátero es una determinada por más de cuatro.
20. De las figuras triláteras, la que tiene tres lados iguales es un triángulo equilátero, la que tiene sólo dos es un triángulo isósceles y la que tiene tres lados desiguales es un triángulo escaleno.
21. Además, de las figuras triláteras: un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto, un triángulo obtusángulo es el que tiene un ángulo obtuso y un triángulo acutángulo es el que tiene tres ángulos agudos.
22. De las figuras cuadriláteras: un cuadrado es la que tiene ángulos rectos y es equilátera, un rectángulo es la que tiene ángulos rectos pero no es equilátera, un rombo es la que es equilátera pero no tiene ángulos rectos y un romboide es la que tiene lados opuestos y ángulos opuestos iguales pero ni es equilátera ni tiene ángulos rectos. Las demás figuras cuadriláteras se denominan trapecios.
23. Líneas paralelas son líneas rectas que, estando en el mismo plano, se extienden infinitamente en ambos sentidos sin encontrarse una a la otra.

Postulados

1. Se puede trazar una línea recta entre cualesquiera dos puntos.
2. Una línea recta finita se puede extender continuamente.
3. Se puede dibujar un círculo con cualquier centro y radio dados.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. Si una línea recta corta a otras dos líneas rectas formando ángulos internos de un mismo lado cuya suma sea menor a dos ángulos rectos, entonces si se prolongan hasta el infinito, las dos líneas rectas se cortarán en el lado de la línea recta original en el que la suma de los ángulos internos es menor a dos ángulos rectos y no se cortarán en el otro lado.

Nociones comunes

1. Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
2. Si a dos cosas iguales se añaden a cosas iguales, los totales serán iguales.
3. Si se restan cosas iguales a cosas iguales, los restos serán iguales.
4. Las cosas que coinciden entre sí son iguales.
5. El todo es mayor que su parte.

Proposiciones

1. Construir un triángulo equilátero sobre un segmento dado.
2. Dibujar en un punto dado una recta igual a una recta dada.
3. Restar del mayor de dos segmentos dados un segmento igual al menor.
4. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y tienen los ángulos comprendidos iguales, también tendrán las bases iguales, y los triángulos serán iguales, y los ángulos restantes serán iguales, concretamente los opuestos a los lados iguales.
5. En triángulos isósceles los ángulos en la base son iguales y, si los lados iguales se alargan, los ángulos situados bajo la base serán iguales entre sí.
6. Si en un triángulo dos ángulos son iguales, entonces los lados opuestos a los ángulos iguales también son iguales uno al otro.
7. No se podrán levantar sobre la misma recta otras dos rectas iguales respectivamente a dos rectas, de modo que se encuentren en dos puntos distintos por el mismo lado y con los mismos extremos que las rectas dadas.
8. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y también tienen la base igual, también tendrán iguales los ángulos comprendidos por los segmentos iguales.
9. Dividir en dos partes iguales un ángulo rectilíneo dado.
10. Dividir en dos partes iguales un segmento dado.
11. Trazar una recta perpendicular a un segmento dado desde un punto del mismo segmento.
12. Trazar una recta perpendicular a una recta por un punto exterior a ella.
13. Si una recta levantada sobre otra recta forma ángulos, o bien formará dos ángulos rectos o bien dos ángulos iguales a dos ángulos rectos.
14. Si dos rectas forman con una recta cualquiera y en un punto de ella ángulos adyacentes iguales a dos rectos y no están en el mismo lado de ella, ambas rectas estarán en línea recta.
15. Dos segmentos que se cortan el uno al otro producen ángulos opuestos iguales.
    • Corolario. Si dos segmentos se cortan el uno al otro, producen en la intersección ángulos que suman cuatro ángulos rectos.
16. En cualquier triángulo, si se alarga uno de los lados, el ángulo exterior es mayor o igual que el ángulo interior y los ángulos opuestos.
17. En cualquier triángulo, la suma de cualquiera de los dos ángulos es menor que dos ángulos rectos.
18. En cualquier triángulo, el ángulo más grande es el opuesto al lado mayor.
19. En cualquier triángulo, el lado más grande es el opuesto al ángulo mayor.
20. En cualquier triángulo la suma de cualquiera de los dos lados es mayor que el tercero.
21. Si de los extremos de uno de los lados de un triángulo se construyen dos segmentos que se encuentren dentro del triángulo, entonces la suma de los lados construidos es menor que la suma de los otros dos lados del triángulo, pero los segmentos construidos comprenden un ángulo mayor que el comprendido por los dos lados.
22. Construir un triángulo con tres rectas que son iguales a tres rectas dadas. Pero es necesario que dos de las rectas tomadas juntas de cualquier manera sean mayores que la restante.
23. Construir sobre un segmento dado y en un punto sobre él, un ángulo rectilíneo igual a un ángulo rectilíneo dado.
24. Si dos triángulos tienen iguales dos lados, pero el ángulo comprendido en uno de ellos es mayor que el del otro, la base también será mayor.
25. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, pero la base es mayor en uno que en otro, entonces el ángulo comprendido es también mayor en un que en el otro.
26. Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivos iguales, y uno de los lados, el que une los dos ángulos iguales o el opuesto a uno de los ángulos iguales, entonces los lados que quedan son iguales y el ángulo restante es igual.
27. Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace los ángulos alternos iguales entre sí, las dos rectas serán paralelas entre sí.
28. Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace el ángulo externo igual al interno y opuesto del mismo lado, o los dos internos del mismo lado iguales a dos ángulos rectos, las rectas serán paralelas entre sí.
29. Una recta que corta a otras dos rectas paralelas hace que los ángulos alternos iguales, los ángulos externos iguales a los interiores y opuestos, y la suma de los ángulos internos por el mismo lado iguales a dos rectos.
30. Las rectas paralelas a una recta dada también son paralelas entre sí.
31. Construcción de una recta paralela a una dada por un punto dado.
32. En cualquier triángulo, si un de los lados se prolonga, el ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores y opuestos, y la suma de los tres ángulos del triángulo es de dos ángulos rectos.
33. Los segmentos que unen los extremos de segmentos iguales y paralelos en la misma dirección son también iguales y paralelos.
34. Los lados y ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales uno al otro y la diagonal divide el área en dos partes iguales.
35. Los paralelogramos que están sobre la misma base y están contenidos entre las mismas paralelas, son iguales.
36. Los paralelogramos que tienen las bases iguales y están contenidoss entre las mismas paralelas, son iguales entre sí.
37. Los triángulos que están sobre bases iguales y contenidos entre las mismas paralelas, son iguales entre sí.
38. Triángulos que están en bases iguales y contenidos entre paralelas, son iguales entre sí.
39. Triángulos iguales que están sobre la misma base i en el mismo lado, están también entre las mismas paralelas.
40. Triángulos iguales que están sobre bases iguales y en el mismo lado, están contenidos también entre las mismas paralelas.
41. Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está contenido entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo.
42. Construir en un ángulo rectilíneo dado un paralelogramo igual a un triángulo dado.
43. En cualquier paralelogramo los complementos de los paralelogramos situados en torno a la diagonal son iguales entre sí.
44. Dado un segmento construir con un ángulo dado un paralelogramo igual a un triángulo dado.
45. Construir un paralelogramo igual a una figura rectilínea dada con un ángulo rectilíneo dado.
46. Construir un cuadrado sobre un segmento dado.
47. En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.
48. Si en un triángulo el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes, el ángulo comprendido por esos dos lados restantes del triángulo es recto.

Proposición 1

Construir un triángulo equilátero sobre una recta dada.

Sea AB la línea recta dada. Se desea construir un triángulo equilátero sobre AB. Con centro en A y radio AB se traza el círculo BCD (postulado 3) y también se traza el círculo ACE con centro B y radio BA. Sean CA y CB las líneas trazadas desde el punto C donde se cortan las circunferencias a los puntos A y B (postulado 1).

Como el punto A es el centro del círculo CDB, AC es igual a AB (definición 15). Como el punto B es el centro del círculo ACE, BC es igual a AB. Pero dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí (noción común 1), por tanto AC es igual a CB. De este modo, las tres líneas rectas AB, BC y CA son iguales entre sí.

Entonces el triángulo ABC es equilátero y se ha construido sobre la recta AB. [QEF]

Proposición 2

Trazar una línea recta igual a otra línea recta dada en un punto dado.

Sea A el punto dado y BC la recta dada y se requiere trazar una línea recta que pase por A y sea igual a BC. Desde el punto A, se construye la línea AB (postulado 1) y sobre él constrúyase el triángulo equilátero DAB (Proposición 1). Extiéndase las líneas DA y DB hasta E y F, respectivamente. (postulado 2)

Con centro en B y distancia BC, constrúyase el círculo CGH donde G es su intersección con la línea recta DF (postulado 3). Con centro en D y radio DG, constrúyase el círculo GKL donde L es su intersección con la línea recta DE. Entonces AL es igual a BC.

Proposición 3

Dadas dos líneas rectas desiguales, cortar de la mayor una línea recta igual a la menor.

Sean dos líneas dadas desiguales AB y C de las cuales sea AB la mayor. Se requiere cortar de la mayor AB una línea recta igual a la menor C.

Trácese desde el punto A una línea AD igual a C (por la segunda proposición) y descríbase el círculo DEF con centro en A y radio AD (por el tercer postulado)

Puesto que el punto A es el centro del círculo DEF, por tanto AE es igual a AD.

Y la línea C es igual a la AD, por tanto las líneas rectas AE y C son iguales a AD, por lo que AE es igual a C.

Dadas pues dos líneas rectas desiguales, AB y C, se ha cortado de la mayor AB la AE igual a la menor C como se requería.

Proposición 4. Teorema primero

Si dos triángulos tienen dos lados iguales a dos lados respectivamente, y tienen los ángulos comprendidos por esos lados iguales, también tendrán las bases iguales, y los triángulos serán iguales, y los ángulos restantes serán iguales, concretamente los opuestos a los lados iguales.

Sean ABC y DEF dos triángulos teniendo los lados AB y AC iguales a los dos lados DE y DF respectivamente, en concreto AB igual a DE y AC igual a DF, y el ángulo BAC igual al ángulo EDF.

Digo que también la base BC es igual a la base EF. Y el triángulo ABC será igual al triángulo DEF, Y los demás ángulos serán iguales a los restantes ángulos respectivos, concretamente aquellos opuestos a los lados iguales, esto es que el ángulo ABC será igual al ángulo DEF y el ángulo ACB igual al ángulo DFE.

Porque sobrepuesto el triángulo ABC sobre el triángulo DEF, y puesto el punto A sobre el punto D y la línea recta AB sobre DE caerá el punto B también sobre el punto E porque la línea AB es igual a la DE, (por la suposición) y poniendo la línea AB sobre la línea DE caerá la línea recta AC sobre la línea DF porque el ángulo BAC es igual al ángulo EDF (por la suposición). Y porque la línea AC es igual a la DF (por la suposición), caerá el pues punto C sobre el punto F.

Y si el punto B cae sobre el punto E y el punto C sobre el punto F, la base BC cae sobre la base EF porque si cayendo B sobre E y C sobre F la base BC no cayese sobre la base EF dos líneas rectas cerrarían superficie, lo cual (por la noción común 10) es imposible. Luego la base BC cae sobre la base EF y son iguales por lo cual todo el triángulo ABC cae sobre todo el triángulo DEF (por la noción común 8) y son iguales, y caerán también los demás ángulos (por la misma) sobre los restantes ángulos y serán iguales, esto es, el ángulo ABC al ángulo DEF y el ángulo DFE al ángulo ACB.

Luego cuando dos triángulos tuvieren dos lados iguales a dos lados el uno y el otro y el ángulo igual al ángulo contenido en iguales líneas rectas, tendrán también las bases iguales las bases entre sí, y los triángulos serán iguales entre sí, y los restantes ángulos serán iguales a los ángulos respectivos, en concreto aquellos opuestos a los lados iguales entre sí, como se convino en demostrar.

Proposición 5. Teorema 2

Los ángulos de los triángulos isosceles que están sobre la base son iguales entre sí. Y extendidas las líneas rectas iguales, serán también iguales entre sí los ángulos que están debajo de la base.

Sea el triángulo isósceles ABC que tenga el lado AB igual al lado AC y extiéndanse derechamente (por el segundo postulado) las líneas BD, CE a las líneas AB, AC.

Digo que el ángulo ABC es igual al ángulo ACB, y el ángulo CBD es igual al ángulo BCE. Tómese en la línea BD un punto cualquiera Z y córtese de la línea AE mayor una igual a la AZ (por la tercera proposición) menor y sea AI y júntense ZC e IB, y porque AZ a la AI y AB a la AC son iguales luego las dos ZA, AC son iguales a las dos AI, AB, la una a la otra y cierran el ángulo contenido debajo de ZAI, luego la base ZC es (por la cuarta proposición) igual a la base IB y el triángulo AZC será igual al triángulo AIB y los demás ángulos serán iguales uno al otro debajo de los que extienden lados iguales, esto es: el ángulo ACZ al ángulo ABI y el ángulo AZC al ángulo AIB y porque toda la AZ es igual a toda la AI de las cuales la línea AB es igual a la línea AC, luego la recta BZ es igual (por la tercera noción común) a la CI que resta. Y está demostrado que ZC es igual a la misma BI. Luego las dos BZ, ZC son iguales a las dos CI, IB, respectivamente y el ángulo BZC es igual al ángulo CIB (por la cuarta proposición) y la BC es base común, luego el triángulo BZC es igual CIB, y los demás ángulos serán iguales a los ángulos respectivos bajo los que se extienden lados iguales (por la misma proposición), luego el ángulo ZBC es igual al ángulo ICB y el ángulo BCZ es igual al ángulo CBI. Pues porque todo el ángulo ABI como está demostrado es igual todo el ángulo ACZ de los cuales CBI es igual al ángulo BCZ, luego el ángulo ABC que resta es igual (por la tercera noción común) al ángulo restante ACB y están sobre la base del triángulo ABC, pero está demostrado que el ángulo ZBC es igual al ángulo ICB y están debajo de la base. Luego de los triángulos los ángulos que están sobre la base son iguales entre sí y extendidas las líneas rectas iguales serán también iguales entre sí los ángulos que están debajo de la base lo cual se había de demostrar.

Proposición 6. Teorema 3

Si los dos ángulos del triángulo fueren iguales entre sí, también los lados que están bajo los ángulos iguales serán iguales entre sí.

Sea el triángulo ABC que tenga el ángulo ABC igual al ángulo ACB. Digo que también el lado AB es igual al lado AC porque si no es igual el lado AB al lado AC uno de ellos será mayor. Sea AB mayor y (por la tercera proposición) córtese del mayor AB una línea igual a la AC y sea esta DB y tírese la línea DC (por el primer postulado). Pues porque el lado DB es igual al lado AC y común la línea BC, luego los dos lados DB, BC son iguales a los dos lados AC, CB, respectivamente y el ángulo DBC al ángulo ACB por la suposición, luego la base DC (por la cuarta proposición) es igual a la base AB y el triángulo DBC será igual, por la misma, al triángulo ACB, es a saber el menor al mayor, lo cual es imposible. Luego el lado AB no es desigual al lado AC. Será pues igual. Luego si los dos ángulos de un triángulo fueren iguales entre sí, también serán iguales entre sí los lados que se extienden debajo de los ángulos iguales, lo que había que demostrar.

Proposición 7. Teorema 4

Sobre una misma recta no se darán dos líneas rectas iguales a otras dos líneas rectas, la una a la otra que concurran en otro punto diverso, teniendo unos mismos términos, con las primeras líneas rectas.

Porque si es posible, dense sobre una misma línea recta AB a las dos líneas rectas AC, CB, otras dos líneas rectas AD, DB iguales la una a la otra que concurran en diversos puntos que sean C, D, hacia unas mismas partes, conviene a saber hacia CD, teniendo unos mismos términos que son AB. De manera que CA sea igual a la DA, teniendo el mismo término de que es A y la CB a la DB teniendo el mismo término que es B. Júntese CD (por el primer postulado).

Pues porque AC es igual a la AD será también igual el ángulo ACD. Es pues el ángulo ADC menor que el ángulo BDC, luego menor es el ángulo ACD que el ángulo BDC. Será pues mucho menor el ángulo BCD que el ángulo BDC, luego mucho es menor el ángulo BCD que el ángulo BDC.

Además de esto, porque BC es igual a la DB, es luego igual también el ángulo BCD al ángulo CDB, y está demostrado que es mucho menor, lo cual es imposible.

Luego sobre una misma recta, a dos mismas líneas rectas no se darán otras dos líneas rectas iguales la una a la otra que concurran en diversos puntos hacia unas mismas partes, teniendo los mismos términos con las primeras líneas rectas. Lo que convino demostrarse.

Proposición 8. Teorema 5

Si dos triángulos tuvieren los dos lados iguales a los dos lados, el uno al otro, y la base también igual a la base, tendrán también el ángulo contenido de iguales líneas rectas igual al ángulo.

Sean dos triángulos ABC, DEZ que tengan los dos lados BC, AC iguales a los lados EZ, DZ el uno al otro, esto es, CB a la ZE y AC a la DZ y tengan la base BA igual a la base ED. Digo que el ángulo BCA es igual que el ángulo EZD, porque puesto el triángulo ABC sobre el triángulo DEZ y puesto el punto B sobre el punto E y la línea recta BA sobre ED cae también el punto C sobre el punto Z, porque BC es igual a la EZ, caen también CA, AB sobre EZ, DZ, porque si la base BA, cae sobre la base ED, pero los lados BC, AC no caen sobre los lados EZ, DZ sino que difieren, como EZ, EC,DZ, DC, darse han sobre una misma recta dos líneas rectas iguales a otras dos líneas rectas una a la otra que concurran en diferentes puntos hacia una misma parte teniendo unos mismos términos. Pero no se dan estas (por la séptima proposición), luego cayendo la base BA sobre la base ED caerán también los lados BC, AC sobre los lados EZ, DZ por lo cual también el ángulo BCA caerá sobre el ángulo EZD y le será igual.

Luego si dos triángulos tuvieren los dos lados iguales a los dos lados el uno al otro y la base también igual a la base, tendrán el ángulo también igual al ángulo contenido de iguales rectas línea, que era lo que se había de demostrar.

Proposición 9. Problema 4

Dividir un ángulo dado rectilíneo en dos partes iguales.

Sea el ángulo rectilíneo BAC, conviene dividirlo en dos partes iguales. Tómese en la línea AB un punto a caso y sea D.

Y de la línea AC (por la tercera proposición) córtese AE igual a la AD, y por el primer postulado tírese la línea DE y hágase (por la primera proposición) un triángulo de iguales lados sobre DE y sea DZE y (por el primer postulado) tírese la AZ.

Digo que el ángulo BAC es cortado por la línea AZ en dos partes iguales.

Porque AD es igual a la AE y común a la AZ, luego las dos DA, AZ son iguales a las dos EA, AZ, la una a la otra, y la base DZ es igual (por la primera proposición) a la base EZ, luego (por la octava) el ángulo DAZ es igual al ángulo ZAE. Está luego cortado en dos partes iguales con la línea AZ el ángulo dado de líneas rectas BAC, lo cual convino allí hacerse.

Proposición 10. Problema 5

Dividir en dos partes una línea recta dada terminada.

Sea dada la línea recta terminada AB. Conviene dividir la línea AB en dos partes iguales, hágase (por la primera proposición) sobre ella un triángulo de iguales lados ABC y (por la novena proposición) córtese en dos partes iguales el ángulo ACB con la línea recta CD.

Digo que la línea recta AB es cortada en dos partes iguales en el punto D, porque (por la primera proposición) AC es igual a CB y la CD es común, luego las dos AC, CD son iguales a las dos BC, CD, la una a la otra y el ángulo ACD es igual al ángulo BCD. Luego (por la cuarta), la base AD es igual a la base DB.

Está pues cortada la línea AB recta terminada en dos iguales partes en el punto D que era lo que se había de hacer.

Proposición 11. Problema 6

Dada una línea recta, sacar desde un punto en ella señalado una recta línea en ángulos rectos.

Sea la línea recta dada AB y el punto señalado en ella sea C conviene desde el mismo punto C de la misma línea recta AB sacar una línea recta en ángulos rectos. Tómese en la misma AB un punto a caso y póngase (por la tercera proposición) la línea CE igual a la DC y sobre DE (por la primera proposición) hágase el triángulo de lados iguales ZDE y tírese la línea ZC.

Digo que la línea recta ZC sale de la línea AB en ángulos rectos desde el punto señalado en ella que es C. Porque DC es igual a la CE y la línea ZC es común, luego las dos DC, CZ son iguales a los ods EC, CZ ls una a la otra y la base DZ (por la primera proposición) es igual a la base EZ, luego el ángulo DCZ es igual (por la octava proposición) al ángulo ECZ y están de una y otra parte. Y cuando estando una línea recta sobre otra línea recta hiciera de una y otra parte ángulos entre sí iguales, cada uno de los ángulos iguales es recto (por la décima definición), luego el ángulo DCZ y el ángulo ZCE son rectos.

Luego sacose la línea recta ZC en ángulos rectos de la línea recta AB y desde el punto C señalado en ella, que convino hacerse.

Proposición 12. Problema 7

Tirar una recta perpendicular sobre una línea recta dada infinita desde un punto que no esté en ella.

Sea una recta infinita, y sea esta AB y el punto dado que no esté en ela sea C.

Conviene sobre la línea recta dada infinita AB, desde el punto C que no está sobre ella tirar una línea recta perpendicular. Tómese en la una parte de la misma línea recta AB un punto a caso y sea E y sobre la C. Y según la distancia CE dese (por el tercer postulado) el círculo EZI y córtese (por la décima proposición) EI en dos partes iguales en el punto T y tírense (por el primer postulado) las líneas rectas CI, CE y CT.

Digo que la línea recta CT está tirada perpendicular sobre la línea recta dada infinita AB desde el punto dado C que no está en ella.

Porque IT es igual a la TE y la TC es común, luego las dos IT, CT son iguales a las dos TE, CT, la una a la otra, y la base CI a la base CE es igual (por la definición quince) luego el ángulo CTI es igual (por la octava proposición) al ángulo CTE y están de una y otra parte. Y cuando estando una línea recta sobre otra línea recta hiciere de una y otra parte ángulos entre sí iguales, cada uno de los ángulos iguales es recto (por la décima definición) y la línea recta que está encima se llama perpendicular.

Luego sobre la línea recta dada infinita AB desde el punto C dado, que no está en ella, está tirada la perpendicular CT que convino hacerse.

Proposición 13. Teorema 6

Que estando una línea recta sobre otra línea recta hiciere ángulos, o hará dos rectos o iguales a dos rectos.

Sea una línea recta AB que estando sobre la línea recta CD, hace los ángulos CBA y ABD,

Digo que los ángulos CBA, ABD, o son dos rectos o iguales a dos rectos.

Si el ángulo CBA es igual al ángulo ABD serán ya dos rectos. Pero si no, sáquese (por la proposición 11) desde el punto B dado en la línea CD, la línea BE en ángulos rectos. Por tanto, los ángulos CBE, EBD (por la definición 10) serán rectos.

Puesto que el ángulo CBE es igual a la suma de los ángulos CBA, ABE, añádase a cada término el ángulo DBE y por tanto la suma de los ángulos CBE y EBD es igual a la suma de los tres ángulos que son CBA, ABE, EBD.

Además de esto, porque el ángulo DBA es igual a la suma de los dos ángulos DBE y EBA añádase a cada término el ángulo ABC y por tanto la suma de los ángulos DBA, ABC es iguale a la suma de los tres ángulos DBE, EBA, ABC. Y está demostrado que los ángulos CBE, EBD son iguales a los mismos tres, y las cosas que a una misma cosa son iguales (por la noción común 1) son entre sí iguales: luego la suma de los ángulos CBE y EBD es igual a la suma de los ángulos DBA y ABC y la suma de los ángulos DBE y CBE son dos rectos, luego también la suma de los ángulos DBA y ABC son iguales a dos rectos.

Luego cuando estando una línea recta sobre otra línea recta hiciere ángulos, o hará dos rectos o iguales a dos rectos, lo cual quería demostrarse.

Proposición 14. Teorema 7

Si de alguna línea recta y de un punto suyo tiradas dos líneas rectas hacia diversas partes de una y otra parte hicieren ángulos iguales a dos rectos, ellas entre sí serán en derecho de línea recta.

De alguna línea recta AB y de un punto en ella B las dos líneas rectas BC, BD no tiradas hacia una misma parte hagan de una y otra parte los ángulos ABC, ABD iguales a dos rectos. Digo que la línea recta BD está en derecho de la línea CB porque si a la línea BD no le está en derecho la línea BC estele a la DB la línea BE puesta en derecho. Pues por que la línea AB cayó sobre la línea recta DBE luego los ángulos ABD, ABE son iguales a dos rectos (por la proposición 13) por los ángulos ABC, ABD y son iguales a dos rectos, luego las ángulos DBA,ABE son iguales a los ángulos CBA, ABD y quitado el ángulo común ABD luego el ángulo que resta ABE es igual al ángulo que resta ABC, el menor al mayor, lo cual es imposible. Luego la línea BE no está en derecho a la línea BD. También de la misma manera demostraremos que ni otra línea fuera de la línea BC, luego a la línea DB estale en derecho la línea BC luego si de alguna línea recta y de un punto suyo, tiradas dos rectas hacia diversas partes hicieren ángulos de una y otra parte iguales a dos rectos, ellas entre sí estarán en derecho de línea recta, que convino demostrarse.

Proposición 15. Teorema 8

Si dos líneas rectas se cortaran entre sí, harán los ángulos contrarios iguales entre sí.

Córtense entre sí las dos líneas rectas AB, CD en el punto E. Digo que el ángulo AEC es igual al ángulo DEB porque cayendo la línea recta AE sobre la línea recta CD hace los ángulos CEA, AED, luego los ángulos CEA, AED son iguales a dos rectos (por la proposición 13). Item, porque la línea recta DE cae sobre la línea recta AB haciendo los ángulos AED, DEB, luego los ángulos AED,DEB son iguales a dos rectos (por la misma proposición 13) y está demostrado que los ángulos CEA,AED son iguales a dos rectos, luego los ángulos CEA,AED son iguales a los ángulos AED,DEB. Quitado pues el común AED, el ángulo CEA que resta es igual al ángulo que resta DEB. De la misma forma se demostrará que los ángulos CEB,DEA son iguales. Luego si dos líneas rectas se cortaren entre sí, harán los ángulos contrarios iguales, que convino demostrarse.

Proposición 16. Teorema 9

Extendido un lado de cualquier triángulo, el ángulo exterior es mayor que cualquiera de los ángulos interiores opuestos.

Sea el triángulo ABC y extiéndase un lado suyo y sea BC hasta en D. Digo que el ángulo exterior ACD es mayor que cualquier interior que esté puesto en la parte contraria, esto es, que el ángulo CBA o BAC. Córtese la línea AC en dos partes iguales (por la proposición 10) en el punto E y extendida la línea BE (por el segundo postulado) tírese hasta el punto Z y (por la segunda proposición) que la línea EZ sea igual a la BE, y tírese ZC (por el primer postulado) y extiéndase (por el segundo postulado) la línea AC hasta I. Pues porque AE es igual a la EC y la BE a la EZ, luego las dos AE,EB son iguales a las dos CE,EZ, respectivamente, y el ángulo AEB (por la decimoquinta proposición) al ángulo ZEC, por ser opuestos. Luego la base AB es igual a la base ZC y el triángulo ABE igual al triángulo ZEC y los demás ángulos son iguales respectivamente a aquellos bajo los cuales se extienden lados iguales (por la cuarta proposición), luego el ángulo BAE es igual al ángulo ECZ, pero el ángulo ECD es mayor que el ángulo ECZ. Luego mayor es el ángulo ACD que el ángulo BAI. De la misma forma, si se corta en dos partes iguales la línea BC se demostrará que el ángulo BCI conviene a saber que el ángulo ACD es mayor que el ángulo ABD. Luego extendido un lado de cualquier triángulo, es mayor el ángulo exterior que cualquiera de los interiores opuestos, que es lo que había que demostrar.

Proposición 17. Teorema 10

En todo triángulo, la suma de dos ángulos cualesquiera es menor que dos rectos.

Sea el triángulo ABC. Digo que la suma de dos ángulos del mismo triángulo ABC tomados de cualquier manera, es menor que dos rectos. Porque, extiéndase (por el segundo postulado) el lado BC hasta D. Y porque en el triángulo ABC (por la precedente) el ángulo exterior, que es ACD, es mayor que el ángulo interior ABC añádase a ambos el ángulo ACB.

Es pues la suma de los ángulos ACD y ACB mayor que la de los ángulos ABC y ACB.

Y (por la proposición 13) la suma de los ángulos ACD y ACB es igual a dos rectos. Luego la suma de los ángulos ABC y ACB es menor que dos rectos. De la misma forma mostraremos también que la suma de los ángulos BAC,ACB es menor que dos rectos, y también la de los ángulos CAB,ABC.

Luego tomados de cualquier suerte dos ángulos de cualquier triángulo suman menos que dos rectos. Lo cual convino demostrarse.

Proposición 18. Teorema 11

El mayor lado de todo triángulo se extiende debajo del mayor ángulo.

Sea el triángulo ABC que tenga el lado AC mayor que el lado AB. Digo que también el ángulo ABC es mayor que el ángulo BCA.

Puesto que AC es mayor que AB hágase la línea AD igual a la AB (por la tercera proposición) y (por el primer postulado) trácese la línea BD.

Y puesto que en el triángulo BCD el ángulo exterior ADB (por la proposición 16) es mayor que el ángulo opuesto e interior DCB y (por la proposición 5) el ángulo ADB es igual al ángulo ABD porque el lado AB es igual al AD luego el ángulo ABD es mayor que el ángulo ACB, luego mucho mayor es el ángulo ABC que el ángulo ACB, luego el mayor lado de todo triángulo se extiende debajo del mayor ángulo, lo que convino demostrarse.

Proposición 19. Teorema 12

En todo triángulo, debajo del mayor ángulo se extiende el mayor lado.

Sea el triángulo ABC que tenga el ángulo ABC mayor que el ángulo BCA. Digo que el lado AC es mayor que el lado AB.

Porque, si no lo es, o será el lado AC igual al lado AB o menor que él. Igual no es el lado AC al lado AB puesto que entonces (por la proposición 5) el ángulo ABC sería igual al ángulo BCA. No es igual, luego el lado AC de ninguna manera es igual al lado AB.

Tampoco el lado AC es menor que el lado AB porque el ángulo ABC sería menor que el ángulo ACB (por la proposición anterior), pero no lo es, luego el lado AC de ninguna manera es menor que el lado AB.

Luego mayor es el lado AC que el lado AB, luego debajo del mayor ángulo de todo triángulo se extiende el mayor lado, lo cual convino demostrarse.

Proposición 20. Teorema 13

En todo triángulo la suma de cualesquiera dos lados es mayor que el lado restante.

Sea el triángulo ABC. Digo que los lados del mismo triángulo ABC son mayores que el que resta de cualquier manera que se tomen, a saber: BA más AC mayores que BC, BC más AB mayores que AC y BC más CA que AB. Extiéndase (por el segundo postulado) BA hasta el punto D obtenido haciendo AD igual a AC y trácese luego DC.

Puesto que DA es igual a AC el ángulo ADC es igual al ángulo ACD (por la proposición 5) y el ángulo BCD es mayor que el ángulo ACD, luego el ángulo BCD es mayor que el ángulo ADC y por tener el triángulo DCB el ángulo BCD mayor que el ángulo ADC y bajo el ángulo mayor se extiende el lado mayor (por la proposición 18), resulta que DB es mayor que BC. Y como DB es igual a la suma de AC y AB es mayor la suma de AC y AB que el mismo BC.

De la misma forma demostraremos que también la suma de los lados AB y BC es mayor que CA y también la suma de BC y CA es mayor que AB. Luego la suma de cualesquiera dos lados de un triángulo es mayor que el lado restante, lo cual convino demostrarse.

Proposición 21. Teorema 14

Si de los extremos de un lado de un triángulo se trazan dos líneas rectas que se corten dentro de él, la suma de las rectas resultantes será menor que la suma de los dos lados restantes del triángulo y el ángulo contenido por esas líneas será mayor que el contenido por los lados.

Sobre el lado BC del triángulo ABC, desde los extremos de dicha recta BC, trácense dos líneas rectas dentro de él: BD y CD. Digo que BD y CD son menores que los lados BA y AC que restan del triángulo y que el ángulo BDC es mayor que el BAC.

Porque, extiéndase (por el segundo postulado) la línea BD hasta E y porque (por la proposición 20) los dos lados de todo triángulo son más largos que el restante, los dos lados AB y AE del triángulo ABE serán mayores que BE. Y añadiendo a ambos EC resulta que la suma de BA y AC es mayor que la suma de BE y EC.

Y por la misma razón, la suma de los dos lados CE y ED del triángulo CED es mayor que DC. Y añadiendo a ambos BD será mayor la suma de EC y EB que la suma de CD y DB.

Está demostrado que la suma de BA y AC es mayor que la suma de BE y EC. Luego mucho mayor será la suma de BA y AC que la suma de BD y DC.

Además de esto, porque (por la proposición 16) el ángulo exterior de cualquier triángulo es mayor que el opuesto interior, luego el ángulo BDCexterior del triángulo CDE es mayor que el CED. Por lo cual también el ángulo exterior CEB del triángulo ABE es mayor que el ángulo BAC. Pero está demostrado que el ángulo BDC es mayor que el CEB. Luego el ángulo BDC es mucho mayor que el ángulo BAC. Luego si de los extremos de un lado de un triángulo se trazan dos rectas que se cortan dentro de él, dichas rectas serán menores que los lados que restan del triángulo, y contendrán mayor ángulo, lo cual convino demostrarse.

Proposición 22. Problema 8

Hacer un triángulo de tres líneas que sean iguales a tres líneas rectas dadas: pero conviene que las dos líneas sean mayores que la que resta tomadas de cualquier manera, porque los dos lados de todo triángulo tomados de cualquier manera son mayores que el restante.

Sean tres rectas dadas a, b y c tales que la suma de cualquiera de las dos sea mayor que la restante, a saber: la suma de a y b mayor que c, la suma de a y c mayor que b y la suma de b y c mayor que a.

Conviene hacer un triángulo de tres líneas rectas iguales a les tres dadas.

Desde una recta terminada de la parte D, pero no terminada por la parte T (por la tercera proposición) póngase la línea DZ igual a la a, y la línea ZI igual a la b y la línea TI igual a la c.

Y sobre el centro Z y espacio ZD (por el tercer postulado) descríbase el círculo LKD y también sobre el centro I y el espacio IT (por el mismo postulado) dese el círculo TLK y tírese (por el primer postulado) ZK e IK. Digo que el triángulo KZI se ha hecho de tres líneas rectas iguales a las tres a, b y c. Porque el punto Z es centro del círculo DKL, ZD es igual a la ZK (por la definición 15) y la a es igual a la ZD. Luego también ZK es igual es igual a la a (por la primera noción común). Además, porque el punto I es centro del círculo LKT, IK es igual a IT, y la c es igual a la IT, luego la IK es igual a la c (por la primera noción común) y la ZIes igual a la b (por la suposición), luego las tres líneas rectas IZ, ZK, KI son iguales a las tres a, b, c. Luego de tres líneas rectas que son 'IZ, ZK, KI que son iguales a las tres líneas dadas a, b, c está hecho el triángulo KZI lo cual fue conveniente hacerse.

Proposición 30. Teorema 21

Las líneas rectas que a una misma son paralelas, entre sí son paralelas.

Sean AB y CD paralelas a EZ. Digo que AB es paralela a la CD.

Caiga sobre ellas la línea recta ITK. Y porque la línea recta ITK cae sobre las líneas rectas paralelas AB y EZ luego será igual el ángulo AIT al ángulo ITZ (por la proposición 29).

Igualmente, porque sobre las líneas rectas paralelas EZ y CD cae la línea recta IK es, por la misma, ITZ igual al IKD. Y está declarado que AIT es igual al ángulo ITZ, luego AIK es igual a IKD y son alternos, luego paralela es AB a la CD que es lo que se había de demostrar.