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libro 1.º—capítulo i.—§ 3.º

infinitamente pequeños, cuya existencia, considera Poncelet como puramente hipotética. Cuando se aproximan continuamente dos puntos, hasta llegar á confundirse, para que conserve su distancia una existencia, por lo menos ideal, se dice que se hallan á una distancia menor que toda distancia dada y la recta que los contiene es un elemento infinitamente pequeño; y si dichos puntos después de haberse aproximado indefinidamente han perdido simultáneamente su existencia geométrica, para conservarles, siquiera una existencia ideal, se dirá que se han hecho simultáneamente imaginarios.

Poncelet, en sus Applications d'Analyse et de Géométrie, aplica las anteriores consideraciones á su teoría de las cónicas suplementarias, como lo hizo en su Traité des propriétés projectives des figures.

Independientemente del sistema de Comte, y solo en cuanto á la Geometría se refiere, y en conformidad con el mismo, aparecieron las Geometría de Lobatschewsky y de Bolyai, que parten de la consideración objetiva del espacio, y aun Gauss participaba de esta opinión, en una carta escrita á Bessel en la que decía: «Debemos asentir á que si el número es producto de nuestro espíritu, el espacio es real, fuera de nosotros, y no podemos darle las leyes a priori»; y en otra carta dirigida á Olbers (1817), dice: «Puede ser que en la vida futura comprendamos lo que nos es imposible el comprender hoy, la naturaleza del espacio. Hasta entonces, debemos comparar la Geometría á la Mecánica y no á la Aritmética»[1].

La evolución iniciada en la Geometría por Lobatschewsky y Bolyai es favorable al sistema de Comte y entra en el orden de ideas al mismo, pues implica la idea de un espacio objetivo con cualidades propias, independientes de nosotros, entre las que la más importante es la curvatura. Ya Gauss, en su tratado de la curvatura de las superficies había establecido la noción de coeficiente de curvatura. En la Geometría de Lobatschewsky resulta la superficie límite ú horisfera, de la rotación de una curva-límite, alrededor de sus ejes, lo que conduce á una trigonometría análoga á la trigonometría esférica de la Geometría ordinaria, originándose el con-

  1. A. Vassilief, Les idées d'August Comte sur la philosophie des Math. (Enseig. math.)