Esta teoría trasciende al dominio geométrico, sirviendo para caracterizar individualmente las figuras, sus sistemas y las transformaciones de unos y otros, confirmando, con suma eficacia, esa compenetración del número y de la extensión que fija el doble aspecto de la Matemática, correspondiente á nuestra doble naturaleza.
d) La teoría de los grupos continuos es la exposición más amplia de transformaciones matemáticas, algorítmicas ó geométricas.
Las transformaciones lineales son tan solo una especie del conjunto de transformaciones tales, como las transformaciones puntuales, ó correspondencia entre un punto y otro punto, las transformaciones prolongadas, que consideran el elemento lineal, las transformaciones de contacto, que llevan á considerar las multiplicidades de elementos; las cuales se transforman mutuamente por dichas últimas transformaciones.
La consideración de n parámetros da una gran variabilidad á las funciones y á las figuras, que establecen el sumo de relaciones algorítmico-geométricas.
Pero otra importancia capital hay que admitir en esta superior rama de la Matemática: el tránsito á las cantidades finitas, por medio de los elementos infinitesimales, ó sea, la integración de las ecuaciones diferenciales, que resulta de la teoría de los grupos.
El problema de la integración de una ecuación de primer orden se reduce á obtener cierta transformación de contacto. Y además Lie hace ver, cómo las transformaciones infinitesimales influyen en el problema de la integración.
En esta teoría puede considerarse incluida la teoría de los co exos de Clebsch, sistemas, en los cuales, existen relacionados los puntos con las rectas de una figura, por la que se llega á las curvas integrales. Lo que constituye el método de integración geométrica de Clebsch.
Compenetración de los conceptos. En cuanto á la forma, tenemos las leyes de inclusión (que engendra los silogismos, lógicos ó matemáticos) que subordina los conceptos entre sí, por series de subsunciones; y produce la red ideal, que constituye la Ciencia.
La ley de sustitución, que en su acepción más abstracta conduce á la teoría combinatoria y á la de los grupos de sustituciones.
