La derivada señala la ley de crecimiento de cada función, al mismo tiempo que por su representación geométrica, da el modo de generación de las curvas que se extiende al de las superficies.
El cálculo integral da la generación de las funciones por medio de sus elementos; es el cálculo que se funda en una unidad variable, la diferencial, y que tiene por base una escala indefinida de cantidades de los diferentes órdenes infinitamente grandes ó pequeñas, las unas respecto de las otras.
El esquema geométrico de la integral es el área que representa la integral definida; pero la integral es independiente de su representación; y la inteligencia mantiene dicha independencia.
Esta generación por suma se completó á principios del siglo xix por otra generación que dió origen al nuevo cálculo y teoría de las Facultades. De manera que las series, los productos infinitos y facultades son los tres instrumentos, medios de expresión á que pueden reducirse todas las cantidades, conocidas hasta el presente.
El vasto campo del cálculo infinitesimal comprende, no solo las funciones arriba enumeradas, sino las funciones gamma ó eulerianas, las de Laplace, de Fourier, de Legendre, de Bessel, de Prym, de Binet, esféricas, cilíndricas, las series de Herschell, de Lagrange, de Laplace, de Burmann, de Wronski, etc.
Estas referencias nos conducen á la evolución matemática, que ha predominado en el siglo xix, á saber, la de las funciones elípticas.
Los matemáticos de los siglos anteriores habían llegado trabajosamente, en el solo dominio de las cantidades reales, hasta las transcendentes más sencillas, tales como el logaritmo y las fuciones circulares y aun á las funciones eulerianas. Posteriormente se conoce la serie hipergeométrica. El dominio de las transcendentes se dilata con las integrales elípticas. Y por el problema de la inversión se llega á las integrales elípticas que, participando de la función logarítmica y de la exponencial, poseen una doble periodicidad.
Innumerables son las memorias publicadas acerca de estos nuevos descubrimientos, que se enlazan desde luego con las representaciones de Cauchy y más tarde con la de Riemann, que se aplican á las nuevas funciones como á las demás. Especialmente las transcendentes abelianas han exigido, para su desarrollo y fácil exposi-
