dor ficticio. Para el sistema cartesiano habría que figurarse este observador situado en el origen y las tres coordenadas de un punto cualquiera como resultados de mediciones que el observador tiene que efectuar para fijar la posición de este punto respecto a la suya. Pero de esta manera podemos representar únicamente puntos o conjuntos de puntos en un momento dado. Si se necesita representar un movimiento podemos hacerlo únicamente fijándonos en el total del camino recorrido. Hay que suponer que el móvil deje una huella que el observador pueda abarcar en un solo instante. Todo lo que representamos por el sistema cartesiano se supone medido o percibido en un solo instante. El observador ficticio hace sus observaciones, todas a la vez, y después puede morir porque no se le precisa más. Si queremos tomar en cuenta que todo observador necesita tiempo para sus observaciones, entonces será necesario hacer corresponder a cada uno de los puntos representados una magnitud que indique el momento en que este punto fué observado. De este modo representamos no sólo las impresiones visuales, sino también los diferentes estados del conocimiento del observador. Conocimiento tomado en el sentido de lo que hace aparecer la representación de una línea como conjunto de representaciones de puntos vistos en distintos momentos por la misma persona. Esta manera de introducir el tiempo tiene una doble importancia filosófica. En primer lugar, tenemos un medio de fijarnos en el desarrollo de los acontecimientos. Si el sistema cartesiano permite representar conjuntos por sí, es decir, la causa por sí y el efecto por sí, el sistema de Minkowski permite representar o analizar matemáticamente toda la serie continua que lleva desde la causa al efecto, es decir, la causalidad. En este sentido se podría quizá decir que este sistema es un cinematógrafo abstracto. En segundo lugar, tenemos una representación completa de lo más esencial en nuestro modo de percibir. Pero ¿cómo es posible que el tiempo, una cosa tan distinta de todo lo que se puede percibir directamente, se pueda representar de igual manera que una longitud o una altura? ¿No demuestra la introdución del factor ci con que hay que multiplicar los valores de t que se trata de algo imaginario de un valor puramente formal? Sin embargo, parece que hay relaciones más profundas que unen esta cuarta coordenada con las otras tres.
Varios filósofos, de entre los cuales recuerdo a Schopenhauer, señalan el parentesco que existe entre los números y el tiempo. Cada número por sí es un ente sin dimensión, pero la serie de los números naturales se puede representar por una línea (recta), es decir que forman
