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G. PEANO

Paralelamente a estas fórmulas están las de Gauss. La análoga a (β) es

(β')	$\left\{{\begin{array}{lcl}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&=&{\frac {b-a}{2}}\left[\left({\frac {a+b}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{2}}\right)\right.\\&&+\left.f\left({\frac {a+b}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{2}}\right)\right]+R\end{array}}\right.$

donde

$R=-{\frac {\left(b-a\right)^{5}}{180.4!}}f^{IV}(u)$ ,

y el resto es nulo para las funciones de grado no superior al tercero.

Comparando las formulas (β) y (β'), que se pueden considerar como igualmente aproximadas, resulta que es más simple, en general, el cálculo de los tres valores $f\left(a\right)$, $f\left({\frac {a+b}{2}}\right)$, $f\left(b\right)$ que exige la fórmula (β), que el cálculo de los dos

$\left({\frac {a+b}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{2}}\right)$, $\left({\frac {a+b}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{2}}\right)$

que exige la fórmula (β'). Esto explica el mayor uso de la fórmula (β) de Simpson sobre la correspondiente (β') de Gauss.

Las fórmulas de Gauss constituyen una sucesión infinita, mientras que las fórmulas de los trapecios y de Simpson eran hasta ahora aisladas. Yo me propongo exponer aquí una sucesión de infinitas fórmulas de cuadratura, de las cuales las dos primeras son exactamente la (α) y la (β).

Por simplicidad supondremos los límites de la integral iguales a -1 y +1; así que basta hacer la sustitución

$x={\frac {a+b}{2}}+{\frac {b-a}{2}}x'$,

donde se reduce a este caso.

La cuestión que proponemos es la siguiente: Determinar los