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G. PEANO

De (4) se tiene:

(6)	$\int _{-1}^{+1}f(x)dx=\int _{-1}^{+1}\psi (x)dx+\int _{-1}^{+1}Y_{n}\varphi (x)dx$

Ahora, de (5) y (3), se obtiene

(7)	$\int _{-1}^{+1}\psi (x)dx=\sum _{r}A_{r}f(x_{r})$

Volviendo a la segunda integral, con la integración por partes se tiene:

${\begin{array}{lcl}\int Y_{n}\varphi (x)dx&=&\int \varphi (x)\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-1}(x^{2}-1)^{n}dx=\\&=&\varphi (x)\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-2}(x^{2}-1)^{n}-\varphi '(x))\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-3}(x^{2}-1)^{n}+...\\&\pm &\varphi ^{n-2}(x^{2}-1)^{n}\mp \int \varphi ^{n-1}(x)(x^{2}-1)^{n}dx\end{array}}$

Poniendo los límites -1 y +1, todos los terminos integrados en el segundo miembro se anulan, porque contienen el factor x² - 1; y como φ(x) es de grado n - 2, será φ^(n-1)(x)=0, donde:

(8)	$\int _{-1}^{+1}Y_{n}\varphi (x)dx=0$

Sustituyendo en (6) a las dos integrales del segundo miembro sus valore dados a partir de (7) y (8), se tiene la fórmula (1) que se quiere demostrar.

La fórmula (1), exacta si f(x) es entera de grado 2n - 1, es aproximada si f(x) es una función arbitraria. Para calcular el error R tal que se tiene:

(9)	$\int _{-1}^{+1}f(x)dx=\sum _{r}A_{r}f(x_{r})+R$