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La teoría de la relatividad de Einstein.

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Según el principio de relatividad son, empero, igualmente legítimos ambos sistemas; pues puede aplicarse la misma consideración al movimiento del punto cero de S, relativamente a S', teniendo en cuenta tan sólo que la velocidad relativa v tenga el signo contrarío. Por lo tonto, x'—t' debe ser proporcional a x, y como los dos sistemas son de igual valor, tendrá el mismo factor de proporcionalidad α:

$\alpha x=x'+vt'$.

De esta ecuación, y merced a la primera, puede expresarse t' por x y t; se halla

$vt'=\alpha x-x'=\alpha x-{\frac {x-vt}{\alpha }}={\frac {1}{\alpha }}\left[(\alpha ^{2}-1)+vt\right]$

y, por tanto:

$\alpha t'={\frac {\alpha ^{2}-1}{v}}x+t$.

Esta ecuación, unida a la primera, permite calcular x' y t' cuando se conocen x y t. Queda, sin embargo, indeterminado el factor de proporcionalidad α; hay que elegirlo de modo que se mantenga el principio de la constancia de la velocidad de la luz.

La velocidad de un movimiento uniforme represento en el sistema S por $u={\tfrac {x}{t}}$, y en el sistema S' por $u'={\tfrac {x'}{t'}}$. Si se dividen las dos ecuaciones que nos permiten expresar x' y t' por x y t, elimínase el factor α y se obtiene:

$u'={\frac {x'}{t'}}={\frac {x-vt}{{\frac {\alpha ^{2}-1}{v}}x+t}}$;

si dividimos el numerador y el denominador de la derecha por t y ponemos u = ${\tfrac {x}{t}}$, obtendremos:

$u'={\frac {u-v}{{\frac {\alpha ^{2}-1}{v}}u+1}}$[63]