Admitiendo que un sistema S' tenga la velocidad v respecto de otro sistema S, un cuerpo K se mueve relativamente a S' con la velocidad u'. Según la cinemática corriente, la velocidad del cuerpo K, relativamente a S, será:
Si ahora tanto v como u' son mayores que la mitad de la velocidad de la luz, será u = v + u' mayor que c, cosa que, según la teoría de la relatividad, debe ser imposible.
Naturalmente, esta contradicción obedece a que en la cinemática del principio de relatividad, donde cada sistema de referencia tiene sus propias unidades de longitud y de tiempo, las velocidades no pueden sumarse sencillamente.
Ya se ve ello por el hecho de que, en cualesquiera sistemas de referencia en movimiento, la velocidad de la luz tiene siempre el mismo valor; justamente este hecho es el que hemos empleado antes para deducir la transformación de Lorentz (VI, 2, pág. 259), y la fórmula [63] establecida allí (pág. 260) da la ley exacta para la adición de las velocidades; bastará introducir en ella . Preferimos, sin embargo, derivar una vez más esta regla de la transformación de Lorentz [65] (pág. 261); para lo cual dividiremos las expresiones de x' e y' (ó z') por las expresiones de t':
Si en estas ecuaciones abreviamos la parte de la derecha por medio de t, aparecerán los cocientes , , los cuales evidentemente son las proyecciones o componentes de la velocidad del cuerpo K, medidas en el sistema S y situadas paralela (longitudinal) y perpendicular (transversalmente) a la dirección del movimiento del sistema S' relativamente a S;
