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números reales

Sin embargo, será oportuno aquí (por analogía en lo que sigue) escribir cada número decimal limitado como un número decimal ilimitado (con infinitos dígitos decimales) escribiendo:

${\frac {1}{5}}=0,2000000\ldots ;$

${\frac {1}{50}}=0,0200000\ldots ;$

${\frac {6}{5}}=1,2000000\ldots ;$

lo cual, por conocidas convenciones, no cambia el significado de las igualdades anteriores.

De significado mucho más claro son las igualdades entre un número de fracción genérico y el número decimal correspondiente (que es o periódico, o periódico mixto), como por ejemplo las igualdades:

${\frac {4}{3}}=1,3333.....$

${\frac {31}{30}}=1,03333.....$

que podemos considerar junto con los análogos:

${\frac {9}{9}}=1=0,9999.....$

${\frac {1}{5}}=0,2=0,19999.....$

Por ej. $\textstyle {\frac {4}{3}}=1,333.....$ nos dice que el segmento $N$, cuya medida es $\textstyle {\frac {4}{3}}$, está comprendido:

• $\alpha$) entre los segmentos que tienen la medida 1 o 2;
  
• $\beta$) entre los segmentos que tienen la medida $1,3$ y $1,3+0,1=1,4$;
  
• $\gamma$) entre los segmentos que tienen la medida $1,33$ y $1,33+0,01=1,34$, etc.

En otras palabras el segmento $N$ de medida $\textstyle {\frac {4}{3}}$ contiene una vez, y no dos el segmento $M$.

Si de $N$ sustraigo $M$ el máximo número de veces posible (una vez), en el segmento restante $N_{1}$ la décima parte de $M$ contiene tres veces y no cuatro veces. Si de $N_{1}$ sustraigo el máximo número de veces posible (tres veces) la décima parte de $M$, en el segmento restante $N_{2}$ la centésima parte de $M$ contiene tres veces y no cuatro veces, y así sucesivamente.