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capítulo i — § 1

(donde con $n$, $m$ indican enteros positivos), si $N$ es la suma de $n$ segmentos iguales $\delta$, cada uno de los cuales es la $m^{esima}$ parte de $M$ (esto es $M$ es la suma de $m$ segmentos iguales a $\delta$ ). Y la definición de igualdad de dos números fraccionarios (se escrive $\textstyle {\frac {n}{m}}=\textstyle {\frac {p}{q}}$ si $nq=mp$) se elige precisamente de tal manera que, si un segmento $N$ tiene por medida tanto la fracción $\textstyle {\frac {m}{n}}$, como la otra $\textstyle {\frac {p}{q}}$, entonces las dos fracciones son iguales ^[1].

Todos saben lo importante que es la transformación de una fracción en un número decimal (especialmente para cálculos numéricos). Cuando escribimos, por ejemplo

${\frac {1}{5}}=0,2$;

${\frac {1}{50}}=0,02$;

${\frac {6}{5}}=1,2$

sólo pretendemos escribir las igualdades de manera diferente:

${\frac {1}{5}}={\frac {2}{10}}$;

${\frac {1}{50}}={\frac {2}{100}}$;

${\frac {6}{5}}={\frac {12}{10}}$.

En otras palabras hemos transformado las fracciones $\textstyle {\frac {1}{5}}$, $\textstyle {\frac {1}{50}}$, $\textstyle {\frac {6}{5}}$ en otros, cuyo denominador es el número $10$, o una de sus potencias $10^{2}=100$, $10^{3}=1000$, etc.

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cuerpos sólidos, etc.). Si elegimos, para fijar las ideas, el problema de medir las longitudes de segmentos como problema inicial, debemos necesariamente definir algunos símbolos (números) y definir las propiedades de estos símbolos de modo que los segmentos de igual longitud correspondan al mismo número, que cada número corresponde a un segmento, que un segmento de mayor longitud corresponde a un número mayor, que a un segmento $\alpha$ suma de dos segmentos $\beta$, $\gamma$ corresponde a una medida sumatoria de las medidas de las longitudes de $\beta$ y $\gamma$, etc. El problema análogo para cualquier otra clase de cantidades tiene como objetivo definir una correspondencia, con propiedades similares, entre las cantidades consideradas y los números previamente definidos. Se sabe que este problema de la medida admite (si tiene solución) infinitas soluciones: una de las cuales se define fijando la cantidad unitaria (unidad de medida), es decir, la cantidad a la que corresponderá el número 1.
Para ciertas cantidades orientadas (débitos y créditos, altura sobre el nivel del mar, etc.) también surge un problema similar de la medida: sin embargo este requiere la consideración de números negativos

1. Luego se dice que $\textstyle {\frac {n}{m}}<{\frac {p}{q}}$ y $\textstyle {\frac {p}{q}}>\textstyle {\frac {n}{m}}$ si $nq<mp$. En tal caso el segmento que tiene $\textstyle {\frac {n}{m}}$ por medida es menor al segmento, cuya medida vale $\textstyle {\frac {p}{q}}$.