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Los fundamentos de la teoría

x₁, x₂, dx₁, dx₂ y en todo punto intermedio del camino que nos ha conducido de x₁, x₂ al punto x₁ + dx₁, x₂ + dx₂ variará de una manera continua y podemos suponer que tome valores continuamente crecientes. En el punto x₁, x₂ mismo se anulará; para cualquier otro punto del entorno es preciso que sea positiva. Además es de esperar que en un punto intermedio, caracterizado por los números x₁ + dξ₁, x₂ + dξ₂ en que $d\xi _{1}={\tfrac {1}{2}}dx_{1},\ d\xi _{2}={\tfrac {1}{2}}dx_{2}$, la función buscada que ha de medir la distancia tomará un valor que sea la mitad del correspondiente al punto x₁ + dx₁, x₂ + dx₂. Bajo estas hipótesis, la función buscada será homogénea y de 1.^er grado en las dx; su valor aparecerá entonces multiplicado por el factor en el cual se aumenten eventualmente las dx. Además, si todas las dx son nulas, ella también debe anularse, y si todas las dx cambian de signo, su valor siempre positivo no debe variar. Se comprende, sin más, que la función

$ds={\sqrt {g_{11}dx_{1}^{2}+g_{12}dx_{1}dx_{2}+g_{22}dx_{2}^{2}}}$

se ajusta a todas estas condiciones; pero no es en modo alguno la única función de esta clase.

Nota 9 (pág. 36). Pero, por ejemplo, la expresión de cuarto grado para el elemento lineal no permitiría ninguna interpretación geométrica de las fórmulas, como es posible con la expresión

$ds^{2}=g_{11}dx_{1}^{2}+g_{12}dx_{1}dx_{2}+\dots +g_{33}dx_{3}^{2}$,

que se puede considerar como una generalización del teorema de Pitágoras.

Nota 10 (pág. 37). Se dice que una variedad es discreta, cuando entre sus distintos elementos no es posible una transición continua, sino que todo elemento en cierta manera