tes. La noción de curvatura de una variedad de más de dos dimensiones se puede, para ello, formular matemáticamente con rigor; el nombre solamente indica su significación análoga a la noción de curvatura de una superficie. También en tres dimensiones se pueden distinguir diversos casos como los de la esfera o del plano en dos dimensiones. La esfera corresponde a un espacio no-euclídeo de curvatura constante positiva, el plano al espacio euclídeo de curvatura nula. En los dos espacios los cuerpos se pueden mover libremente sin alteración de sus dimensiones; pero el espacio euclídeo es, al mismo tiempo, infinitamente extenso, mientras que el espacio «esférico» es ciertamente ilimitado, como la superficie de la esfera, pero no es infinitamente extenso. Estas cuestiones se hallan expuestas magistralmente y con detalle en la conocida Memoria de Helmholtz «Sobre el origen y la significación de los axiomas geométricos». (Explicaciones y conversaciones, tomo 2, pág. 1.
Nota 8 (pág. 33). Las propiedades, que es preciso que tenga la expresión analítica de la longitud del elemento lineal, se pueden ver de la siguiente manera:
En cualquier variedad continua, por ejemplo, una superficie, pueden los números x1, x2 designar cualquier punto. Luego se da, al mismo tiempo, un cierto entorno alrededor del punto, el cual contiene puramente puntos de la superficie. D. Hilbert ha definido rigurosamente, en sus «Grundlagen der Geometrie» (Fundamentos de la Geometría), pág. 177, la noción de magnitud múltiplemente extensa (variedad) sobre la base de la teoría de conjuntos. En esta definición, la noción de «entorno» de un punto da, al postulado de Riemann de la dependencia continua entre los elementos de la variedad, un concepto riguroso. Se puede ahora, saliendo del punto x1, x2 marchar continuamente dentro de su entorno y en todo lugar, por ejemplo, en un lugar x1 + dx1, x2 + dx2, preguntar por la «distancia» de este punto al punto inicial. La función que mide esta distancia dependerá de los valores
