Principio de relatividad/III

CAPITULO III

Principio restringido de relatividad

16. Postulado de invariancia de las leyes naturales.— Postulado de invariancia de la velocidad de la luz: grupo de Lorentz.—18. La contracción de Fitzgerald.—La marcha de los relojes.—20. Composición de velocidades.—21 La dinámica fundada en el principio restringido de relatividad.—22. La noción de masa.—23. Energía y masa.—24. El principio de Hamilton para la Mecánica relativista.—25. Las ecuaciones de transformación de los campos eléctrico y magnético.

16.

Terminaba el capítulo precedente diciendo que la serie de dificultades y contradicciones a que se ve arrastrada la Ciencia clásica cuando pretende interpretar los resultados experimentales, obliga a un análisis cuidadoso de los postulados en que se asienta, siquiera la modificación que de este análisis se derive obligue a su completa reconstrucción. Siempre será utilizable para esta nueva obra el acopio de materiales hecho para la antigua, tanto más cuanto que es exigible a las nuevas teorías el admitir las concepciones clásicas como casos límites. De otro modo sería imposible comprender la eficacia de estas últimas para la inmensa mayoría de los fenómenos estudiados hasta fines del pasado siglo.

También dije que este análisis es la obra de Einstein, quien señaló en el grupo de Galileo los dos postulados que representan la noción del cuerpo rígido y la independencia absoluta del espacio y el tiempo. Einstein renuncia a estos postulados; prescinde de una noción concreta del espacio y el tiempo como elementos básicos de nuestro conocimiento del mundo exterior; afirma la imposibilidad de reconocer si nos hallamos en reposo absoluto o dotados de una velocidad constante en magnitud y dirección, sea cual fuere la naturaleza del fenómeno físico que se ponga a contribución para este fin. Y parte de esta afirmación expresa de nuestra incapacidad: del valor relativo de nuestro conocimiento desde este punto de vista, para elaborar una nueva noción del cuerpo sólido y del tiempo que sea compatible con tal postulado.

Concretamente, en presencia del problema planteado, Einstein se limitó a aceptar de un modo explícito como hechos indudables los resultados directos de la experiencia, de cuyo valor, en cambio, se mostraron tan propicios a dudar los técnicos, por lo demás, defensores intransigentes del método experimental como única fuente de conocimiento. Hecho curioso: hombres dotados de espíritu profundamente filosófico, como Einstein, defendiendo con denuedo los fueros de la observación y la experiencia contra técnicos de aquellos métodos que anteponen sus rancios prejuicios a los resultados inmediatos por ellos obtenidos.

Decía que Einstein se limitó a aceptar como hechos indudables aquellos que son observados con plenas garantías contra el error. Esta premisa obliga a afirmar, en presencia del experimento de Michelson, que cuando se engendra una onda luminosa en un punto del espacio, dicha onda será esférica, tanto para un observador respecto al cual el punto está fijo, como para otro que se traslade relativamente a él con movimiento uniforme y rectilíneo; y esta afirmación ha de hacerse aunque nuestra mente, educada por la geometría de Euclides, se resiste a concebirlo. Si designamos a los observadores aludidos por O y O', y suponemos que los dos coinciden en el instante de engendrarse la onda, de modo que en la ignorancia del movimiento absoluto ambos pueden juzgarse fijos en el punto de donde aquélla partió, se expresa analíticamente la afirmación precedente escribiendo:

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-ct={x'}_{2}^{2}+{x'}_{2}^{2}+{x'}_{3}^{2}-c_{1}t'.$(16, 1)

Como el experimento de Michelson no es el único del cual se pueda partir para reconstruir la Ciencia, acaso se tema que los resultados difieran cuando se le reemplace por otro. Pero no ha de olvidarse que el verdadero postulado es la identidad de las leyes naturales respecto de todos los sistemas cuyos movimientos relativos sean rectilíneos y uniformes. La identidad de forma de la onda luminosa no es más que un caso particular de la invariancia de las ecuaciones que expresan aquellas leyes. El grupo de transformación de $(x_{1},x_{2},x_{3},t)$ a $(x'_{1},x'_{2},x'_{3},t')$ que haya de sustituir al de Galileo es necesario que satisfaga a este postulado con toda la generalidad con que viene formulado.

17.

En la ecuación (16, 1) he supuesto la posibilidad de dos valores diferentes, c y c₁, para la velocidad de propagación de la luz relativamente a O y O'. En efecto, lo único que prueba el experimento de Michelson es la isotropía de los espacios de O y O' para esta traslación, y ello no exige realmente que c y c₁ sean idénticas. Sin embargo, ya hemos visto en el capítulo precedente que esta magnitud figura como constante en el sistema de ecuaciones fundamentales para todos los fenómenos electromagnéticos, de modo que se podrían imaginar experimentos que condujeran a la determinación numérica de c, y de este modo sería posible establecer el movimiento absoluto. Un intento en este sentido ha sido llevado a la práctica recientemente por Majorana, de cuyos resultados se deduce, a juicio suyo, la constancia de c con independencia del observador. Sin embargo, se podrían también interpretar suponiendo que el valor de c₁ es diferente de c, pero idéntico cualquiera que sea la dirección del movimiento relativo, que, después de todo, es una hipótesis necesaria en virtud del experimento de Michelson.

Así, parece preferible fijar con Einstein como un segundo postulado la constancia absoluta de c para todos los sistemas de referencia.

Por consiguiente, en vez de suponer que la única velocidad común a dos observadores es c= ∞, como ya he dicho (§ 10) resulta que del grupo de Galileo, se adopta la hipótesis de que existe una velocidad finita que cumple con esta condición, y además se establece que dicha velocidad es la de propagación de las ondas luminosas. Sin duda, lo que caracterizará al grupo de transformación que se busca es el valor finito de la repetida velocidad común: que ella sea precisamente la de propagación de la luz es una cuestión de orden meramente empírico.

El grupo de transformación a que vengo aludiendo se puede escribir en la forma

${\begin{aligned}\left.{\begin{array}{l}x'_{1}&=k(x_{1}-Vt)\\x'_{2}&=x_{2}\\x'_{3}&=x_{3}\\t'&=k\left(t-{\tfrac {V}{c^{2}}}x_{2}\right)\\k&=\left(1-{\tfrac {V^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\tfrac {1}{2}}}\\\end{array}}\right\}\end{aligned}}$, (17, 1)

adoptando para eje de las x₁ la misma dirección de ${\vec {V}}$. Lorentz fué el primero que llegó a establecerlo por un método de tanteos y aproximaciones sucesivas a la teoría de los fenómenos electromagnéticos que se producen en los cuerpos en movimiento: por esto recibe el nombre de grupo de Lorentz. Por su parte, Einstein encontró independientemente las mismas ecuaciones partiendo de los dos postulados, que juntos integran el Principio restringido de relatividad: no ofrece dificultad seguir este método deductivo para llegar hasta el grupo (17, 1); pero es más fácil comprobar que la sustitución de las coordenadas acentuadas x'₁, x'₂, x'₃, t' por los valores (17, 1) en la ecuación (16, 1) la convierte en una identidad, cuidado que dejo al lector.

18.

Con este grupo de Lorentz para el cambio de coordenadas desaparecen las contradicciones que señalé en el anterior capítulo: el cuerpo de doctrina de las Ciencias físicas construído con su auxilio es coherente. Pero, como es lógico, surgen consecuencias que chocan con los conceptos clásicos, algunos de los cuales, naturalmente aquellos a cuya eliminación nos resistimos más enérgicamente, pasaron ya a los fondos del conocimiento; allí donde es difícil discernir entre las nociones que nos vienen impuestas por nuestra misma organización mental, y que por ello no se hallarán nunca en conflicto con la realidad, y aquellos otros conceptos que constituyen el sedimento intelectual de la educación. Veamos algunos de estos casos de conflicto:

Naturalmente, la noción de cuerpo rígido, que era uno de los postulados que conducen al grupo de Galileo, desaparece aquí. Para establecer una correlación entre las formas de un mismo cuerpo apreciadas por un observador O' ligado a él y por otro O que no participe de su movimiento, bastará que O y O' determinen el lugar que en sus respectivos espacios ocupe el cuerpo en un instante fijo; esto es, la posición simultánea de todos sus puntos. Sin duda, como el cuerpo no se mueve relativamente a O', la condición de simultaneidad no tiene interés para él, pero para O es absolutamente indispensable. Así, pues, en el caso de que el movimiento relativo sea uniforme y rectilíneo, la correlación de las formas se obtendrá por el grupo (17, 1), imponiendo a t un valor constante.

La distancia entre dos puntos a y b situados en una paralela al eje x₁ será para O' la diferencia ${x'_{1}}^{(a)}-{x'_{2}}^{(b)}=\delta _{a}^{b}x'_{1}$ y para O ${x_{1}}^{(a)}-{x_{1}}^{(b)}=\delta _{a}^{b}x_{1}$, entendiéndose que en este último caso, como he advertido, ambos valores de x₁ se refieren al mismo de t. Por consiguiente, la primera ecuación del grupo dará para la relación entre ambas magnitudes
${x'_{1}}^{(a)}-{x'_{1}}^{(b)}=k\left[{x_{1}}^{(a)}-{x_{1}}^{(b)}\right]$ o $\delta _{a}^{b}x'_{1}=k\delta _{a}^{b}x_{1}$ y los puntos a y b aparecerán a O más próximos que a O'. Al contrario, si los puntos a y b están sobre un plano normal a ${\vec {V}}$, la segunda y tercera ecuaciones (17, 1) demuestran que su distancia tiene igual valor para O y O'.

Según esto, O atribuye a todos los cuerpos una forma aplastada en el sentido del movimiento en relación con la que O' aprecia, y esto en la proporción indicada por k; de modo que el aplastamiento aparente crecerá con V, y además, cuando V = c, el cuerpo se reduce a un plano. Dicho se está que existe una diferencia esencial entre este corolario del principio de relatividad y la hipótesis de la contracción real de Lorentz, y por ello no se puede hablar aquí de las deformaciones paralelas a dicha contracción que llevaron a pensar en fenómenos físicos que las denunciaran. El aplastamiento es una mera consecuencia del método adoptado para medir las distancias: la forma propia del cuerpo es la que aprecia el observador ligado a él.

Cuando invertimos los términos suponiendo que el objeto medido está ligado a O en vez de O', las determinaciones de O' exigirán el requisito de simultaneidad, de modo que ${x'_{1}}^{(a)}$ y ${x'_{1}}^{(b)}$ se han de apreciar en el mismo instante t'; así la primera y cuarta de las ecuaciones (17, 1) darán
$k\left[{x'_{1}}^{(a)}-{x'_{1}}^{(b)}\right]=\left[{x_{1}}^{(a)}-{x_{2}}^{(b)}\right]$ o
$k\delta _{a}^{b}x'_{1}=\delta _{a}^{b}x_{1}$de modo que para O' el cuerpo estará aplastado como antes para O. Circunstancia es ésta de perfecto acuerdo, como no podía menos, con el principio de relatividad, puesto que ha de ser completamente imposible denunciar cuál es el sistema que se mueve.

19.

Es fácil notar que el origen de la discordancia en la apreciación de la forma se encuentra en la falta de correspondencia entre los fenómenos simultáneos para O y O': dos sucesos que gozan de esta condición para O no la tienen para O'. La razón de que así sea radica en que la simultaneidad, fuera de nuestra propia conciencia, significa sólo que los hechos acaecen cuando los relojes de los lugares respectivos señalan la misma hora; de modo que todo queda reducido, en último análisis, a su reglaje. Pero como ya dije (§ 8), el método que ha de seguirse a este fin hace que no pueda existir concordancia entre las apreciaciones de O y O', cuando cada uno de ellos atribuye el movimiento al otro. Es esto lo que se traduce por la cuarta ecuación de (17, 1). Según ella, cuando O registra las indicaciones que en un mismo instante suyo suministran los relojes de O', situados frente a los puntos de coordenadas ${x_{1}}^{(a)},{x_{1}}^{(b)},{x_{1}}^{(c)}$... encuentra valores diferentes entre sí: los mismos que se deducen de (17, 1).

Consecuencia necesaria de esto es la marcha diferente de los relojes de O y O'. Supongamos, en efecto, que O mide con sus relojes un intervalo marcado por uno de los propios de O'. Para ello necesita leer las indicaciones que correspondan a los instantes ${t'}^{(\alpha )}$ y ${t'}^{(\beta )}$, que señalan el comienzo y final del intervalo $\delta _{\alpha }^{\beta }t'$, a cuyas indicaciones las llamaremos ${t}^{(\alpha )}$ y ${t}^{(\beta )}$. Puesto que ${t'}^{(\alpha )}$ y ${t'}^{(\beta )}$ son tiempos del mismo reloj ${x'}_{1}^{(\alpha )}={x'}_{1}^{(\beta )}$ y las ecuaciones primera y cuarta de (17, 1) dan
$k\left[{t'}_{1}^{(\beta )}-{t'}_{2}^{(\alpha )}\right]={t}^{(\beta )}-{t}^{(\alpha )}$ o $k\delta _{\alpha }^{\beta }t'=\delta _{\alpha }^{\beta }t$, de modo que la marcha de los relojes de O' es más lenta que la correspondiente a los de O; esto es, los relojes en movimiento atrasan respecto de los que están en reposo. Como es lógico, también aquí existe una inversión completa de las cosas si suponemos que es el observador O' quien aprecia en sus relojes un intervalo marcado por uno de los de O.

Aun es más interesante una segunda consecuencia que se presenta cuando se considera el intervalo entre sucesos que se producen en puntos diferentes del espacio: entonces el intervalo en cuestión no sólo puede cambiar de valor, sino de signo. En efecto; si designamos por A y B los sucesos que corresponden a tiempos y lugares diferentes, la cuarta ecuación (17, 1) da
$\delta _{A}^{B}=k\left(\delta _{A}^{B}t-{\tfrac {V}{c^{2}}}\delta _{A}^{B}x_{1}\right)$, empleando la notación abreviada para intervalos y distancias que ya usé antes. El primer miembro será positivo, nulo, negativo, según que
$\delta _{A}^{B}t\gtreqqless {\tfrac {V}{c^{2}}}\delta _{A}^{B}x_{1}$; esto es, los sucesos A, B, se producen para O' en el mismo orden que para O, son simultáneos u ocurren en orden inverso, según el signo que hemos de adoptar en la última relación.

Desde el punto de vista conceptual el último caso ofrece mayores dificultades y, por consiguiente, exige algún comentario. Si el orden de los sucesos A y B puede invertirse sin más que cambiar la velocidad del observador respecto del sistema en que aquéllos se producen, parece caber la posibilidad de que se invierta de igual modo la relación de causa a efecto que puede existir entre A y B. Esto sería completamente absurdo. Pero nótese que llamando d la distancia que la luz puede recorrer en el intervalo $\delta _{A}^{B}t$, o sea $d=c\delta _{A}^{B}t$, se deduce de la última relación, para este caso que discutimos,
$d<{\frac {V}{c}}\delta _{A}^{B}x_{1}$. Por consiguiente, una onda electromagnética que fuera engendrada en el mismo lugar y simultáneamente con A no alcanzaría el punto en que B se produce hasta después de ocurrido este suceso; de modo que no cabe pensar en una correlación de esta naturaleza entre A y B, y el absurdo señalado se evita con sólo admitir que cualquier otro procedimiento para ejercer acciones desde un punto sobre otro posee una velocidad de propagación, a lo más, igual a c. En efecto; es evidente que entonces A y B serían perfectamente independientes, y no existe razón lógica alguna que impida su inversión.

De aquí es notorio que al carácter de velocidad constante para todos los sistemas, que ya vimos posee c, se agrega ahora el de velocidad límite, imposible de rebasar. Esta última condición, puesto que se deriva de la misma forma del grupo de Lorentz, es una característica esencial del grupo. Que, además, dicha velocidad c sea la de propagación de la luz es, como ya dije, un resultado experimental, y de nuestros conocimientos relativos a este extremo lo único que se puede concluir es que, si existe algún fenómeno que se propague más rápidamente que aquélla, esto será en proporción bastante pequeña, pues de otro modo el experimento de Michelson habría conducido a diferencias sensibles en la velocidad de los rayos AB y AB, (fig. 10).

20. Es evidente que, existiendo un límite finito para las velocidades, no es posible aplicar a dichas magnitudes la regla del paralelogramo cuando se quieren sumar o superponer dos de ellas. Suponga«mos un sistema que se mueve en el espacio con el observador O": el vagón de ferrocarril a que he aludido anteriormente. Este observador mueve un objeto dentro del vagón con una velocidad Si queremos averiguar la velocidad que tiene dicho objeto para otro observador O, exterior al sistema que se mueve, la Ciencia clásica nos ha enseñado que bastará componer, según la indicada regla del paralelo gramo, las dos velocidades V y Y, cuya resultante será u (fig. 13). Para simplificar, consideremos el caso en que las direcciones de V y u' son idénticas:

entonces

a =Vid Ml, (20, 1) 4 q

según que los sentidos de v y Pr sean iguales u opuestos.

Pero la velocidad es una magnitud compleja a la cual se llega dividiendo una distancia por un intervalo de tiempo. En la Ciencia clásica, en virtud de los postulados que encierra el grupo de Galileo, las

Fig. 13

==] FUNDACIÓN

A

= > JUANELO

RH TURRIANO distancias son idénticas, aprécielas O u O", y otro tanto ocurre con los tiempos. Es, por tanto, natural que se llegue al resultado sencillo que corresponde a la ecuación (20, 1). Dicho se está que las cosas serán más complicadas cuando aquellos postulados se rechazan. Para hallar la relación que existe entre u' y ues necesario sustituir en el numerador y denominador de la ecuación que define u', de A ara

los valores que el grupo de Lorentz da para dichas magnitudes, en función de las correspondientes de O, 8x1 y %f,. Es fácil seguir la serie de transformaciones de cálculo que van a continuación:

px klcx,— Vot)

4 =

of e 811/08—V

¿de l— y lol

A e Vu (ce y de su primer y último miembros deducir Vu is Cc

que sustituirá a la (20, 1).

¡e

IP

2] FUNDACIÓN

a

= >) JUANELO

TURRIANO Nótese que si u' fuera igual a c, sea cual fuere V, u también sería c; esto traduce, como no podía ser menos, la constancia de la velocidad de la luz en el vacío para todos los sistemas.

Si se considera la velocidad de la luz en un cuerpo material, bastará colocar en la ecuación anterior u=C, y u4'=C',: y entonces, despreciando canti V nl ula dades de segundo orden en ¿> Se reconoce sin difi cultad que la ecuación (20, 2) se puede escribir en las formas sucesivas siguientes: V+GCss

Cy = flia a

Ve' E e)

Cc;

— C4 +4 ví == ma

(20, 4)

=2 + v/1 7) a n

Físicamente, el caso considerado es el de la propagación de la luz en un medio material que se mueve con velocidad V, para la cual ya se ha visto ($ 11) que el observador O, fijo, encuentra una velocidad idéntica a la (20, 4).

21. No insistiré más sobre otras consecuencias del principio de relatividad, en el orden geométrico

FUNDACIÓN

El JUANELO

2) TURRIANO y cinemático, tan contrarias a las ideas vertidas por la Ciencia clásica como las precedentes, pero también como ellas de acuerdo con la experiencia. Vengamos ya ala Dinámica para analizar los cambios que en ella hayan de introducirse, conservando los postulados de Newton, pero sustituyendo el grupo de Galileo por el de Lorentz. Los cambios aludidos serán los que exija la inmutabilidad de las leyes naturales por efecto de la transformación efectuada utilizando el grupo citado; esto es, la identidad de forma para cualquier sistema de referencia.

Al esbozar en el primer capítulo la Mecánica de Newton, dije ya que su ley fundamental para la dinámica del punto es

= du == War (21, 1)

transformación inmediata de la ecuación

= (¿G = A (21,2) que traduce los dos primeros postulados, cuando se expresa la cantidad de movimiento por m D. Agregando a (21, 1) el tercer postulado (igualdad de la acción y la reacción) se puede construir la dinámica de los sistemas. Según esto (21, 1) tiene el carácter de una ley natural, de modo que su forma debiera conservarse al cambiar de sistema de referencia. Cuando era dado

==] FUNDACIÓN

E] JUANELO ASÍ TURRIANO suponer que el grupo de Galileo conviene para la ejecución del cambio, la invariancia de (21, 1) estaba asegurada suponiendo que F y m son magnitudes independientes del movimiento del observador que estudia la ley: expresan cualidades intrínsecas del sistema que se considera, en las que no puede intluir el punto de vista desde el cual se les contemple.

Pero esto era así en atención a que el referido grupo no altera el valor de = en la transformación, circunstancia que no se cumple con el grupo de Lorentz, como es notorio sin más que señalar la diferencia de forma entre las ecuaciones (20, 1) y (20, 2). Si, pues, la ley natural ha de ser invariante en la transformación, como exige el principio de relatividad, la ecuación (21, 1) se ha de sustituir por otra, que también se deduzca de (21, 2), y como entre una y Otra no existe más diferencia que la introducción de la hipótesis

G=moo, (21,3)

dicho se está que debe ser eliminada. Es menester encontrar para G una forma que permita la invariancia de las leyes fundamentales de la Dinámica con el grupo de Lorentz. Además, es indispensable que (21, 3) se pueda considerar como una primera aproximación, aplicable a todos los casos estudiados por la Mecánica, puesto que en los dominios de esta

==] FUNDACIÓN

MA EZ)

EH TURRIANO

= >) JUANELO ciencia no se halló nunca contradición entre la teoría y la experiencia.

Imaginemos un sistema integrado por dos esteras elásticas, A y B, perfectamente pulimentadas, de igualdad absoluta en todos los respectos, en movi.miento y sin que entre ellas se ejerza acción alguna más que en el instante del choque. Tampoco existen fuerzas exteriores, de modo que se trata de un sistema perfectamente aislado. Como el teorema de la conservación de la cantidad de movimiento es una consecuencia directa de los postulados fundamentales, sin intervención de la forma especial de G, seguirá teniendo completa validez, de modo que

Ga as Ga = const.;

Oo también: los cambios que el choque entre las esferas produzca en estas magnitudes serán numéricamente iguales:

3G, =8G». (21,4)

Supongamos ahora que la esfera A forma parte del sistema de referencia que he venido llamando O, y la B del que he designado con O". Por ejemplo: A está situada en la estación del ferrocarril y B va transportada por el tren. Ateniéndonos a la Mecánica clásica, A y B tendrán la misma masa para los respectivos observadores, O y O', en virtud de su perfecta identidad. Además, supondremos que O y O' comunican a Á y B velocidades iguales a un

==] FUNDACIÓN ES 59 JUANELO

RH TURRIANO número dado, dirigidas normalmente a V, y que el experimento esté dispuesto en forma que se produzca un choque cuando la línea de los centros es también perpendicular a v.

Tanto para O como para O", los cambios de la cantidad de movimiento de A y B han de ser numéricamente iguales, en virtud de (21, 4), y por las condiciones del experimento se puede escribir

21M la = 2Mpuz. (21, 5)

Señalo con subíndices las masas y velocidades de las dos esferas, a pesar de la igualdad de valores a que antes he aludido, porque dicha igualdad se establecía entre las magnitudes en cuestión apreciadas por sus respectivos observadores: ma y ua por O; mg y Us por O". En cambio, la ecuación anterior ha de establecerla uno de ellos: O u O*.

Admitamos que sea O. Entre la velocidad uz que él aprecia y la u s = ua que O' comunicó a B, existe la diferencia que proviene del distinto valor de un mismo intervalo de tiempo para ambos observadores, puesto que los espacios normales a V son idénticos. Así

==] FUNDACIÓN = sh) JUANELO ASÍ TURRIANO Llevando este valor a (21, 5) y simplificando se halla inmediatamente

Mg = Mak. Teniendo en cuenta que A pertenece al observador fijo, esta relación viene a ser la que liga la masa de la esfera en movimiento con velocidad V al valor de dicha magnitud cuando se halla en reposo, consideración que lleva a escribirla en la forma general

nm = mMoR. (21, 6)

Las condiciones especialísimas del experimento so bre que he razonado se imponen con el exclusivo objeto de disminuir las dificultades matemáticas, sustituyendo las transformaciones de cálculo por las particularidades físicas. El resultado es, sin embargo, completamente general: si se han de conservar los postulados de Newton al reemplazar el grupo de Galileo por el de Lorentz, el coeficiente de la velocidad en G (+) deberá ser la función definida por la

(*) Aunque la ecuación (21, 6) se ha demostrado para el caso particular en que la velocidad de la esfera es la del sistema de referencia O" respecto de O, es evidente que se puede aplicar a cualquier movimiento. En particular, las velocidades « que se suponen comunicadas

2 a A y B han de ser pequeñas para que (E) sea com pletamente despreciable; casc contrario, habría que hacer intervenir su influencia en las masas, y el razonamiento no conduciría fácilmente al resultado apetecido.

Sil FUNDACION ==) JUANELO

ER TURRIANO ecuación (21,6). De otro modo, la cantidad de movimiento, en vez de contener rm, y V en la forma sencilla (21, 3), se define por

qt (21,7)

V21EST

Es notorio que cuando - disminuye (21,7) tiende a

(21,3), y la identificación de ambas es posible, dentro de los errores de observación, para todos los casos que fueron objeto de estudio en la Mecánica clásica. Las mayores velocidades que esta ciencia co 2

.... » y2 noció con precisión son tales que 2 es del or den 10—8 (movimientos en el sistema planetario), y las diferencias numéricas que esto determina en los fenómenos observables están lejos de la precisión de los métodos de medida. Pero en el seno del átomo los electrones describen órbitas análogas a las de nuestros planetas con velocidades mucho mayores, y Sommerfeld ha demostrado con pleno rigor que para interpretar la estructura fina de las rayas espectrales es indispensable adoptar para G la fórmula (21, 7).

22. La definición (21,7) de G podría haberse adoptado por la Mecánica clásica en vez de la (21, 3), puesto que esta última tiene el carácter de una mera

Y ] FUNDACION

A q

ER TURRIANO

= A) JUANELO hipótesis; y entonces se habría constituido la ciencia en forma idéntica a la que deriva del principio de relatividad. Así, tal definición y el grupo de Lorentz son perfectamente equivalentes frente a los fenómenos mecánicos.

Claro está que en la Mecánica que así nace las leyes tienen formas más complejas que en la de Newton; apareciendo siempre estas últimas como formas

q D. límites de las primeras para el caso en que E tienda a

cero. Además, para todos los fenómenos conocidos bastó durante mucho tiempo este caso límite, y por ende fué perfectamente lógico no apartarse de él.

En particular la ley fundamental (21, 1) habrá de ser sustituída por la

do. dm -— dara an

F =m que aún conviene transformar. En efecto: en su pri-' do: de, + E mer término figura el vector IN medida de la rapidez de variación de la velocidad; o sea la aceleración total, magnitud que en el caso general de una trayectoria curvilínea se puede descomponer en dos vectores: uno que coincide en dirección con v y cuyo

du Ñ 3 valor es er al cual se denomina aceleración lon ==] FUNDACIÓN == JUANELO

RH TURRIANO gitudinal, y el otro, perpendicular a v, de móduDa

lo y (siendo r el radio de curvatura de la trayecto ria), que se conoce con el nombre de aceleración normal. El primero lo representaré por a; y el segundo por ar.

Separando las dos componentes indicados dea

y ieejunlqzando en vez de m y —— sus válores de ducidos de (21, 6), la ecuación precedente se puede escribir en la forma

Mo

1

Ze —

TM a E (?

a. (22,1)

Es notorio que (22, 1) admite como límite (21, 1), su10) a puesto que—sea bastante pequeña para despreciar

su paar puesto que entonces los coeficientes de aly as se reducen a la masa mo, y por la definición de estas magnitudes d dí.

Fuera de este caso límite, la fuerza y la aceleración no tendrán, en general, la misma dirección, a

diferencia de lo que ocurre en la Mecánica clásica. Aun, de los dos casos en que coinciden las direccio ar + 4 =a=

FUNDACIÓN

== SA IUANELO

2) TURRIANO nes (1.?, movimiento rectilíneo, con lo cual as 40, y 2.", movimiento circular uniforme, que correspondea a; = 0), en uno de ellos la relación de la fuerza a la aceleración no es la masa, ni siquiera con el concepto amplio que representa la ecuación (21, 6). No obstante, se acostumbra a designar los coeficientes de a; y as en (22, 1) con los nombres de masa longitudinal y masa transversal, de las cuales esta última es la misma a que se refiere (21, 6).

Las expresiones de estas dos masas, /m/ y m:, en

v ] función de ri han podido confirmar experimental mente. La primera mediante ciertas relaciones establecidas por Bohr, para la pérdida de energía que una partícula £ de las substancias radiactivas sutre al penetrar en la materia, y la segunda por experimentos directos bastante numerosos realizados con electrones negativos, dotados de un rápido movi miento (2 comprendido entre 0,2 y 0,8). La contfir mación experimental en este último caso es mucho más perfecta que en el primero, y de su valor puede juzgarse por la fig. 14, donde los puntos marcados corresponden a los experimentos de Guye y de Neumann, y la curva traduce la expresión teórica (21, 6).

Dicho se está que esta confirmación de las funciones que definen las masas aludidas constituyen buenos argumentos en pro del grupo de Lorentz, pues,

ve FUNDACIÓN == JUANELO 2) TURRIANO según ya dije, él impuso la nueva expresión de G, de donde todo lo dicho deriva.

Notemos aún que si (22,1) ha de conservar el carácter de ley natural que poseía (21,6) en la Mecánica clásica, el principio de relatividad exige que su forma no cambie cuando se pasa del sistema de referencia O al O". Esto obliga a prescindir del carácter

» Cuye

+ Neumann

Fig. 14

de magnitud invariante que tenía en aquella ciencia la fuerza F. Su valor numérico cambiará con el observador que estudia sus efectos, y esto de modo que las ecuaciones de transformación sean idénticas que las correspondientes al segundo miembro de (22,1), donde sólo figuran la constante m, y magnitudes de carácter cinemático que se ha visto cómo se transforman al variar el sistema de referencia, Seguir más adelante en este orden sería rebasar los límites de este libro; sólo agregaré, porque interesa para futuros desarrollos, que en el caso de una fuerza aplicada a un punto que permanece en reposo respecto del sistema en movimiento O", se obtiene el grupo

FP", =n Pa, F" == RF, ¡A == RFs. (22, 2) ——23. Otra consecuencia de la forma adoptada para G en la Mecánica de Newton es la expresión de la

energía cinética, como resultado del trabajo de una fuerza, mediante la ecuación

fF dl = am?) Si se tiene en cuenta que m no puede ser considerada como una constante, al reemplazar F por su valor (21, 2), y en vez de Gla expresión (21, 7) se encuentra

a > ataque y? 9 ue para llegar a cuyo resultado final se supone la integración hecha entre v =0 y un valor cualquiera de

dicha magnitud. Así, en vez de la expresión clásica

de la energía cinética Mo v?, se obtiene

1 T = mpc? Pa 75 da em—mo, 1D) e E

==] FUNDACIÓN = 59 JUANELO

==% EZ)

ASH] TURRIANO de la cual es aquélla una primera aproximación. Traducida al lenguaje corriente, dice que la energía cinética comunicada al cuerpo es equivalente a un incremento de su masa.

Naturalmente, la pérdida de energía cinética irá también acompañada de una disminución de la masa. Pero siempre que existe destrucción de T, ello es consecuencia de un trabajo realizado contra una acción frenante; de modo que en todos los casos que interesan al físico se produce un incremento equivalente de la energía potencial almacenada en el sistema origen de la acción (un resorte, por ejemplo). Luego si deseamos retener el principio de la conservación de la masa en el sistema completo, bastará admitir que entre esta magnitud y la energía potencial existe la misma relación establecida para la cinética. Ello lleva de un modo lógico a generalizar la ecuación (23, 1) y escribir

id

(23, 2)

sea cual fuere la naturaleza de la energía 6.

Sin duda, este modo de retener la ley de Lavoisier la reduce al principio de conservación de la energía, circunstancia que, lejos de ser un reproche, se puede alegar como una ventaja para la nueva teoría. En principio se trata de un corolario de ésta que puede someterse a la comprobación experimen 8 FUNDACIÓN

- de

h JUANELO 2) TURRIANO tal directa; pero la presencia de c2 en el denominador de (23, 2) pone estos experimentos fuera del alcance de nuestros medios en la inmensa mayoría de los casos. Se explica así como aun en los trabajos cuidadosos de Landolt no se ha encontrado en definitiva ninguna variación apreciable. Baste observar que una de las reacciones químicas más violentas, la combinación del hidrógeno y el oxígeno para formar el vapor de agua, va acompañada de una pérdida de energía por gramo igual a 3,24 10% calorías o 1,3510 erg., a las cuales, según la ecuación (23, 2) corresponden 1,5 < 10—* gr. No obstante, para ser completamente rigorosos en el enunciado de la ley de Lavoisier sería menester, no sólo asegurarse contra la pérdida de substancias gaseosas, como ya hacía el químico francés en sus experimentos clásicos, sino retener toda la energía radiante que puede producirse.

Los cambios de energía son más violentos en los procesos radiactivos. El Ur se transforma en Ra, pasando por un cierto número de elementos intermedios, y en cada una de estas transmutaciones se emite una partícula « o una f y radiación y simultáneamente, emisiones que suponen la pérdida de ciertas cantidades de energía, en la hipótesis de que su origen esté en el seno del propio átomo y no venga del exterior; cual sucedería si se admitiese, con Perrin, que el proceso radiactivo se produce gracias a la absorción de una radiación de frecuencia específica. Análogamente, el Ra se convierte en Pb también mediante una serie de saltos análogos a los anteriores. Limitándonos a los rayos «a, la energía total representada por ellos en la primera transformación es 2,12 <105 erg. por átomo, o sea 5,71 >< 1018 por gramo de Ra; para la segunda, las mismas magnitudes tienen por valor, respectivamente, 4,90 < 103 y 13,2 < 1016, De unas y otras se deduce que los pesos atómicos del Ra y del Ra-Pb deben sufrir una disminución de 0,0063 y 0,0147 por 100 en virtud de esta causa, si se les compara con los valores obtenidos restando de las masas atómicas del Ur y el Ra, respectivamente, 3 y 5 átomos de He, o sean 12.00 y 20.00 unidades. La precisión de las actuales determinaciones de los pesos atómicos de los elementos precitados no basta para contrastar aquellas predicciones teóricas; pero es innegable que se trata de magnitudes ya en el mismo dintel de nuestras posibilidades experimentales. Conviene además advertir a este respecto que, si bien la comprobación de aquella presunción teórica sería argumento de peso en pro de la ecuación (23, 2), la demostración experimental de que la diferencia de los pesos atómicos es exactamente igual a la masa perdida por efecto de la radiación «a, podría interpretarse admitiendo que el origen de la energía de los rayos «, P, y y se encuentra en una forma de ener ¡Eb 3)

FUNDACIÓN JUANELO TURRIANO gía de frecuencia muy pequeña absorbida por los átomos radiactivos, según ya dije que Perrin pretende.

Dicho se está que, aun admitiendo la referida ecuación (23, 2) que liga los cambios de energía con los de masa, no se desprende como consecuencia necesaria que toda la masa se reduzca a una mera consecuencia de la energía acumulada en el volumen por ella ocupado. Para pasar de (23, 2) a

6

m=—. ce?

(23, 3) que es la traducción analítica de dicha idea, es menester una nueva hipótesis que significa la anulación de la constante introducida al integrar (23, 2). Innegablemente la hipótesis es lógica, pues supone una economía de pensamiento; pero no pasa de ser una hipótesis. Importa además notar que no se trata de una concepción que se opone a aquel otro corolario de la ciencia moderna, según el cual la masa de los cuerpos es de origen electromagnético. Esto último sólo supone una concreción más de (23, 3), pues equivale a especificar la naturaleza de €.

Diré aún que aquella necesidad mental que llevó a crear el éter como soporte material de la energía y la cantidad de movimiento de la radiación electromagnética, halla plena satistacción aquí sin introducir tal medio universal, puesto que la energía supone

== FUNDACIÓN 6 Sh] JUANELO ASÍ TURRIANO PRINCIPIO DE RELATIVIDIAD 109

una masa y se propaga a través del espacio vacío a la manera de las partículas luminosas de Newton.

24. Al trazar el bosquejo de la Mecánica clásica señalé ($ 5) el gran interés que ofrece el principio de Hamilton, que tija el proceso según el cual un sistema pasa de un estado determinado, correspondiente al tiempo £,, a otro también definido que adquiere en el tiempo f, mediante la condición

3/ Hat =0,

donde H = T—W. En la nueva ciencia existe un principio equivalente, cuya única diterencia con el anterior estriba en que no figura en H la energía cinética propiamente dicha, sino la función

¡EA ce e T =>mo*—T= mc] 1—(1- '

Cc?

frecuentemente llamada función recíproca de T. Notoriamente, en primera aproximación, T" se reduce a

5 3 mp 4?, y ello prueba que el principio de la Me cánica clásica es un caso particular de éste, que atribuye a H el valor T"—W.

259. En este camino que vamos siguiendo corresponde ahora ocuparnos de la aplicación del principio de relatividad a los fenómenos electromagnéticos. Este principio requiere, según he repetido frecuentemente, que las leyes naturales conserven su forma sea cual fuere el sistema de referencia; estúdielas el observador O' o el O. Tal afirmación no significa que los valores actuales de las diversas magnitudes medidas por O y O" sean idénticos, ni siquiera que ambos perciban simultáneamente los mismos fenómenos. Quiere decir únicamente que la correlación entre ellos se produce de idéntico modo para ambos.

Así es notorio ateniéndonos a un caso concreto. Imaginemos un cuerpo electrizado en reposo en nuestro laboratorio. Evidentemente, el zampo que le envuelve será puramente eléctrico juzgado por nos-* otros mismos. Pero si admitimos la presencia de un observador extraterrestre que percibe la existencia de aquel cuerpo y estudia los fenómenos que de él dependen, hallará, a más de un campo eléctrico, otro magnético. Lo que ha de conservarse idéntico para unos y otros son las leyes que rigen los fenómenos provocados por las acciones mutuas de las cargas eléctricas; por ejemplo, la relación de dependencia entre las fuerzas mecánicas que actúan sobre los cuerpos cargados y los campos eléctrico y magnéticos que de las propias cargas proceden.

Sin duda, la única forma de asegurar la invariancia de las ecuaciones que definen las leyes naturales al cambiar de sistema de referencia, no obstante el diferente aspecto que los fenómenos ofrecerán para unos y Otros observadores, es la existencia de un grupo de transtormación para los campos E y H. El mismo caso sencillo recordado hace un momento, nos permite prever la torma de las ecuaciones.

En primer término, la carga eléctrica del cuerpo a que me he referido en el caso en cuestión es un invariante en el cambio de sistema de referencia, puesto que de una parte la ley experimental de la conservación de las cargas hace que aquélla no altere de valor cuando O pasa del estado de reposo al de movimiento, y de otra para O" los fenómenos han de ocurrir de modo idéntico que para O en el estado de reposo, en virtud del principio mismo de relatividad. Asi,

ee (25, 1)

En segundo término, para nosotros, arrastrados por la tierra en su movimiento, la carga eléctrica no producirá más campo que el electrostático de componentes E",, E", Ez. Para el observador extraterrestre habrá también un campo eléctrico E; pero además un campo magnético provocado por el movimiento del E con velocidad V, según (10, 2). Supongamos ahora que O y O' estudian la acción que estos campos determinan sobre un péndulo eléctrico de carga e ligado al laboratorio, y situado en cualquier punto del plano normal a v: según (22, 2), entre las componentes para O" y O de estas fuerzas habrá la relación

P=F, F=*RF, PFs=kP3. (85, 2)

ME: 2 FUNDACIÓN =$) JUANELO ASÍ] TURRIANO De otra parte, y en atención a"(10, 4), FA, bad e'El,, F", q. e'E», F", 2. e'E's;

V Fi=8És F, = eE,——Hy, pa eEs+ ==

Sustituyendo estos valores de las componentes de F y F' en (25, 2), se deduce inmediatamente el grupo

E",—E,

. e Ey = HE,—q Ha) (25, 3)

V E", = (Es + a H»

Por un razonamiento análogo, sólo que aplicando la atención a un solenoide de nuestro laboratorio, en vez de un cuerpo electrizado, obtendremos un segundo grupo de transformación que da los valores de H,, Ha, Hg

e a |

. V

ria ri (25, 4) V

H' > R(H; e E Ez)

Utilizando (25, 3) y (25, 4) para pasar de los campos que O percibe a los que O" puede denunciar, o recíprocamente, las leyes naturales adoptan idéntica forma, sea cual fuere el observador que las contemple, como hemos dicho tantas veces requiera el principio de relatividad. El razonamiento mismo

==] FUNDACIÓN = 59 JUANELO

E) 2.

2) TURRIANO de que me he servido para llegar a ellas es una garantía de que así debe ocurrir; pero se obtiene la plena confirmación de la exactitud de la anterior proposición aplicando dichas ecuaciones, juntamente con el grupo de Lorentz, para transformar las fundamentales del campo electromagnético.

De tal grupo, escrito en la forma

V xy = h(x,—+;

Xo=Xa Xzq= Xy;

h V Xy = ke(x,—+;

por la sustitución de x, en vez de cf, se obtiene para los símbolos de derivación

lo) lo) Val. MI lp sil: ap ti AN a. Es - Aer no O Xx X4 c ax,"

2 e V2 F" IRAN * HU JO E zar ás lona - De de E A LE: Pal a pe? e p2 Va

o en A

e el Aa

E FUNDACIÓN SN JUANELO TURRIANO

PS +

3z Y y B., CABRERA

El primer grupo en combinación con los (25, 3) y (25, 4), permite demostrar que las condiciones

oh;; o OR; 0% de 3h; =0 (25, 5)

imponen la exactitud de ecuaciones de la misma forma entre las componentes de los campos para el sistema O'.

Por otra parte, es consecuencia inmediata del segundo grupo que el operador

CIA A O A

PARE:

es por sí mismo invariante; esto es, no altera la naturaleza de la magnitud a que se aplique. Con ello, las ecuaciones

¿=— OP;

tendrán igual forma en el sistema acentuado, puesto que los vectores de componentes C; y P; se transforman de igual modo.

==] FUNDACIÓN = A JUANELO ER TURRIANO