Algunas consideraciones sobre filosofía y enseñanza de la matemática/Libro II Capítulo II

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CAPÍTULO II

CUESTIONES DOCTRINALES

§ 1.° Práctica de la primera enseñanza

Respecto á este grado inferior, en cuanto á la materia, nos limitaremos á extractar algunas ideas expuestas en el folleto, Ciencia, educación y enseñanza (1899).

«La educación ha de producir la armonía entre todas nuestras facultades y á su vez entre los dos organismos espiritual, y material.

La historia sagrada y profana, las fábulas y narraciones morales educan nuestros sentimientos, desde la infancia, según y conforme los modelos que se ofrecen á nuestra imaginación.

El alma, vacía de sentimientos y de ideas, las acoge, mediante las dos primeras funciones, por que principalmente se manifiesta nuestra inteligencia, á saber, la imaginación y la memoria. La imaginación, que hace corresponder á la realidad externa una realidad interna correlativa; la memoria, que va fijando materiales en aquel fondo vacío, donde predomina la aptitud receptiva.

La Gramática ocasiona el que aparezcan en la inteligencia las primeras ideas de relación, la de sujeto y objeto.... La Aritmética es el complemento de la Gramática, descubriendo á la inteligencia un nuevo horizonte: el del orden, la combinación y relación del todo con las partes que lo constituyen.

Simultáneamente con las nociones de Aritmética deben irse inculcando al niño las de la Geometría, que conviene se vayan adelantando á las de aquéllas, por corresponder á un orden más concreto.

El contar y el cálculo aritmético, en primer término, sirven de ejercicio á la memoria, función intelectual que debe ponerse en ejercicio, en este tan favorable período de la vida, ya que la Naturaleza tan previsora, cuando nos faltan los medios de relacionar las ideas nos provee de este instrumento, que luego decae con la edad, por efecto de que cada vez es menos necesario, cuando se han desarrollado otras facultades superiores y la suplen ventajosamente.

Pero el cálculo aritmético, al mismo tiempo que constituye un ejercicio de la memoria, debe ir acompañado de ejercicios intuitivos..... Debemos evitar el defecto frecuente de relacionar la inteligencia con el signo ó palabra, más no con el objeto, defecto que el niño adquiere por el abuso de los libros, siendo muy dignas de tenerse en cuenta, en este período de la educación las ideas de Pestalozzi, que prefirió al estudio en los libros el estudio en la Naturaleza, creando el método real-objetivo».

También añado: «Parece conveniente que, desde luego se enseñe la Geometría del espacio, pues un error de la enseñanza actual es el pretender que, por las figuras dibujadas en la pizarra, el alumno pase á la consideración de las figuras naturales.

Poseyendo una colección de figuras de Geometría del espacio, construidas con maderas, alambres, hilos de seda, etc., el niño se fija sin ningún trabajo en las relaciones de perpendicularidad, etc....

Los niños, pues, al ingresar en la segunda enseñanza, pueden llegar con nociones implantadas de una manera permanente en su inteligencia, por medio de ejercicios intuitivos sobre la Física, la Agricultura y la Historia natural».

Procedimientos especiales. En general, para este grado inferior de la enseñanza, los pedagogos tales como Pestalozzi, Froebel y otros varios que les han seguido en sus prácticas del método real-objetivo, entre ellos Montesinos en España, han trazado la marcha que debe seguirse para el desarrollo de las aptitudes mentales de los niños.

Aparte de estos procedimientos generales, que se completan con medios materiales, tales como los modelos de diversas clases, pueden citarse algunos trabajos importantes, entre ellos en España, la Aritmética del Abuelo, que contiene procedimientos en forma de juego, muy propios para educar, recreando.

Otra de las obras muy recomendables, escritas con este objeto es la Initiation mathématique de M. C. Laisant. La práctica de lo expuesto en esta obrita, producirá seguramente el desarrollo de las inteligencias, á la vez que despertará la iniciativa individual, pues los ejercicios sobre la Aritmética y la Geometría son juegos agradables por los que, sin darse cuenta, el alumno aprende á discurrir.

El desterrar todo aparato pedagógico, conduce á convertir la escuela en lugar de recreo, no en prisión donde se violenta y tortura al niño, con ejercicios violentos para su débil naturaleza. Proporcionar el trabajo á los grados de resistencia y revestir lo árido con apariencias agradables, es todo el fin de la educación y la enseñanza. Hacer palpable que ésta no difiere de las demás prácticas de la vida. Este es su secreto.

¿Qué es el estudio para un sabio? Una continuación de su vida. Una conversación, generalmente, con un desconocido, en armonía con sus fuerzas intelectuales y con los medios de que dispone para desarrollar su actividad.

Pues de igual manera, en la escala de las inteligencias, cada uno podrá experimentar estos efectos, que solo dependen de las apariencias, unas veces, y de la adaptación de lo que uno se propone, á la manera más cómoda de realizarlo.

Lo principal es despertar la vocación hacia algo que sea bueno ó útil; lo demás se verificará por una ley natural, sin violencias y con agrado. Dos fines que deben tenerse presentes.

§ 2.° Segunda enseñanza

Consideraciones generales. Principiaré por reproducir las siguientes ideas, expuestas en Ciencia, educación y enseñanza: «Hallándose el alumno de segunda enseñanza en un período de transición, el plan de ésta debe tender á amplificar, consolidándolos al mismo tiempo, los resultados anteriores y á un enaltecimiento, que predisponga á la inteligencia y á la actividad, para la investigación en el dominio abstracto. Á los estudios de la Psicología, Lógica y Matemáticas, deben preceder los de la Física experimental, Historia natural y Agricultura».

«Á las nociones adquiridas, de una manera intuitiva por medio de ejercicios prácticos, ó las lecciones llamadas de objetos, ó á la vista, en la primera enseñanza, deben pues seguir, en la segunda, cursos puramente experimentales de Física, Química, Historia natural y Agricultura, que tendrían su colocación natural en los dos primeros años del bachillerato. Así el alumno principiaría á conocer la naturaleza exterior, etc.; y añado: La Geometría es un antecedente muy natural y provechoso para la Lógica. Es una lógica práctica á la par que un ejercicio intelectual muy importante..... Con esta preparación, el estudio del Álgebra, al que podrían agregarse aplicaciones de las matemáticas elementales á la Mecánica y Física, no se hacía repulsivo á la inteligencia».

Los ciclos. Es una disposición muy natural la de los ciclos, seguida en Alemania, Francia, Estados Unidos, etc., pues imitan no solo á la naturaleza sino á la humanidad. La Ciencia progresa por ciclos, cada vez más completos. La Ciencia se perfecciona gradualmente y se mueve en períodos cada vez más amplios. La Matemática, primero fué la Ciencia de la Aritmética y de las Geometrías; luego la del Análisis y el Cálculo infinitesimal; por último es la ciencia de las funciones analíticas, de los grupos y las armonías matemáticas; y así avanza según un crecimiento por intususceptionem, en que se transforma lo que primero apareció por yuxta positionem, como agregado incoherente.

Errónea ha sido la preocupación de que las asignaturas deben enseñarse en bloque: el creer que se necesitaba adelantar la enseñanza del Álgebra, por necesitarse alguna de sus fórmulas para obtener, en Geometría, las de los polígonos y las de los poliedros: y el creer que el Álgebra superior, en su integridad, debiera preceder á la Geometría analítica.

Las Ciencias no son como líneas rectas que deben ser recorridas sin interrumpirse, en toda su dirección; son haces, que divergen, desde el centro; pero que, abandonando las direcciones rectilíneas, se entrelazan y forman una red, por cuyos hilos puede caminarse, según diversas direcciones.

Además, en la enseñanza, la discreción del profesor suple lo que falta en los libros, donde las verdades se hallan rígidamente eslabonadas con la simetría y orden de subordinación del método sintético.

El profesor da vida y movimiento á las ideas del libro, que solo es un guía y un recordatorio para el alumno.

Los ciclos son una imitación de lo que nos revela la historia de la Ciencia. Cada época científica es un nuevo ciclo que recorre la humanidad. Se llega á un nuevo grado de condensación. El tejido de los conocimientos se espesa y se extiende llenando algunos claros, que establecen una nueva continuidad, con lo que constituía lo excepcional y rompía la armonía del conjunto.

Las asignaturas distribuidas en ciclos, diluyen la Ciencia; la dividen en dosis fácilmente asimilables. Y esta es la marcha seguida en las naciones más adelantadas.

En vez de teorizar, el profesor debe esmerarse en presentar problemas, en los que se hallen graduadas las dificultades de la manera más natural posible. Esta graduación constituye los peldaños de una escalera que puede subirse fácilmente, hasta el punto de que, si este ascenso fuese realizable en absoluto, la adquisición de la ciencia se convertiría en un hecho muy natural. Pero ésto sería excesivamente largo. No es factible explicar y facilitarlo todo, ni aun en los tratados más extensos. Por esto, los talentos superiores que tienen capacidad para los saltos bruscos, son los que se elevan á mayores alturas, merced á síntesis, que sus fuerzas individuales les permiten realizar. Pero dentro de tal desigualdad, que produce las variedades en lo humano, la enseñanza debe contribuir á disminuir estas diferencias, por la eficacia de los métodos, que los genios llevan naturalmente consigo. Y sobre todo, dentro de la familia humana, tiende á equilibrar el poder de las diferentes razas.

Forma de la enseñanza. Parece, en los primeros momentos, que la ciencia es algo extraño á nuestra naturaleza, algo que nos coloca en un estado excepcional y ficticio de ánimo, algo repulsivo, que contraría nuestro modo de ser.

Bien es cierto que, cuando la enseñanza tiene graves defectos, la inteligencia, por una ley natural, no responde á sus llamamientos y permanece ó indiferente á éstos ó contraria.

El dogmatismo preponderante, por ser artificioso, nos desagrada. Respecto á los estudios matemáticos, observaremos que las peroraciones largas del profesor distraen al alumno en el momento.

Ciñéndonos á los estudos matemáticos, observaremos que el dogmatismo preponderante, la casi exclusiva intervención del profesor, lo que se llama explicaciones, es perjudicial á los alumnos.

En general, las largas peroraciones son beneficiosas para el orador, que se ejercita y perfecciona en el ejercicio de hablar y hasta de razonar; pero de resultado insignificante para el oyente. Solo en las grandes solemnidades y por la elocuencia del disertante y por el interés excepcional de lo que dice, puede mantener la atención del auditorio, y mucho más cuando éste es de pocos años.

En Matemáticas, el alumno debe ser casi el protagonista. Debe encontrarse en actividad; pues las Matemáticas se hacen, y constituyen una ciencia que, en cierto modo, ha de ir formando el que desee adquirirla.

El repetir el profesor lo que dice el libro, no tiene gran utilidad. El profesor debe completar el libro. Este debe ser conciso, una síntesis gradual en los diversos ciclos de la enseñanza, que vaya dejando sucesivamente algo más que discurrir al alumno. El profesor completará las deficiencias que hayan resultado en la labor del alumno. Un libro, escrito con prodigalidad de detalles, atrofia las inteligencias, que se vuelven perezosas y se acostumbran á encontrárselo todo resuelto.

Solo cuando el alumno resuelve por sí algunas dificultades, siempre proporcionadas á su capacidad (y esto es lo más importante, exigiendo mucho acierto por parte del profesor), va aficionándose al estudio, que llegará á convertirse en un ejercicio natural. De lo contrario, el poder artificioso de la memoria, tendrá que suplir, lo que no hace la reflexión; y desde este momento, podrá considerarse como desterrado del campo de la ciencia.

Reglas generales. Para que el fin anteriormente enunciado pueda realizarse, es necesario:

1.° Una reducción de la parte doctrinal á lo más indisponsable, valiéndose de las sustituciones de las entidades equivalentes, mediante los grupos ó algún otro encadenamiento lógico.

2.° Una extensión considerable de las aplicaciones ó ejercicios, de manera que la actividad individual supere á la especulación científica.

3.º El trabajo principal del profesor consistirá en hacer una distribución gradual de las dificultades en los problemas que hayan de resolver los alumnos.

4.º Dar á la parte superior de la enseñanza el carácter de un ciclo provisional, que se ha de completar en cada una de las ramas de los estudios universitarios.

Observación. Actualmente, desterrándose el dogmatismo perjudicial para los alumnos, se reforma, bajo los auspicios de M. Darboux, la enseñanza elemental de la Matemática en los Liceos, con un carácter eminentemente práctico, cuya nota predominante consiste en educar la intuición, para despertar y robustecer gradualmente el espíritu de inventiva, la propia iniciativa por medio de numerosos ejercicios, en cuya lenta graduación consiste el mérito del profesor, que debe evitar los saltos bruscos en la elevación de los conocimientos y el perfeccionamiento en el uso de la actividad del alumno. Esto vemos en los excelentes libros, Algèbre y Geométrie de M. Borel; y, con tendencias á una mayor amplitud, pero con un carácter acertadamente pedagógico, las Leçons d'Arithmétique théorique et practique de J. Tannery, en las que se llega gradualmente hasta la elevada noción de conjunto, y las Leçons de Géométrie élémentaire de M. J. Hadamard.

También son muy dignas de citarse las Fragen der Elementargeometrie del profesor F. Enriques, que enseñan á discurrir, obra inspirada en la idea pedagógica que inauguró Herr Klein, con sus Vörl. ü ausgewahlte Fragen der Elementargeometrie, que se tradujeron al francés.

La vía abierta por M. Meray se ha dilatado. Hoy, prescindiendo del dogmatismo eminentemente euclídeo, se emplean la rotación y la traslación, como poderoso medio de simplificar los procedimientos, sobre los que predomina el nuevo y fecundo concepto de grupo.

Bibliografía. En Alemania es muy conocida la publicación destinada á los Gimnasios y Escuelas reales bajo el título Sammlung Göschen. En pocas páginas se reune lo esencial de cada teoría, y aun existen tomos que contienen colecciones de problemas, muy á propósito para inculcar pocas ideas, amenizadas con cierta muy recomendable variedad, á los alumnos. Análogos fines realiza en Italia la conocida colección, Manuali Hoepli; y aun la importante casa editorial de Teubner alterna con sus magistrales publicaciones, algunos tratados breves, ya exclusivamente dentro del dominio elemental, ya con el fin de elementalizar lo superior, según la tendencia moderna, que hace aplicables á los Gimnasios la enseñanza de la Geometría analítica, la descriptiva, y hasta el cálculo infinitesimal, según se ve, por ejemplo, en los clarísimos y elegantes tratados: Die Anfangsgründe der Differentialrechnung und Integralrechnung von R. Schröder, Elem. der Diff. und Integralrechnung von L. Tesar, Einführung in die Diff. und Integr. von Müller, Die elem. d. neuren Geom. von Volk, Leitfaden der Projektionslehre von Müller und Presler.

Pero una obra más trascendental aún, es la realizada por los profesores H. Weber y J. Wellstein con la Encyclopädie der Elementar-Mathematik für Leherer und Studierende, cuya nota característica es la elementalización de lo superior. La hoy capital teoría de las series, se halla expuesta con sencillez y elegancia, y trazadas las líneas generales de otras teorías, que nosotros todavía colocamos en la región de lo superior, dificultado con el molesto bagaje de inútiles detalles.

Extensión de la segunda enseñanza. En los gimnasios franceses se crearon, bajo la denominación de Matemáticas especiales, unos cursos que constituyen una preparación general, tanto para las Universidades como para las escuelas de ingenieros. Estos cursos podrían figurar, entre nosotros como preparatorios, en el primer año de Universidad ó en los Institutos generales ó técnicos. En Alemania también se ha seguido este procedimiento.

Las asignaturas, antes consideradas como superiores, han sido llevadas lentamente hacia las regiones inferiores, tales son el Álgebra, llamada antes superior, la Geometría analítica y últimamente la descriptiva y aun, como hoy se desea, las nociones de Cálculo infinitesimal. Y en efecto. ¿Qué nos queda hoy de la antes llamada Álgebra superior?

Antes de contestar á esta pregunta conviene saber á qué límites ha llegado hoy esta rama de la Matemática.

Hasta principios del siglo xix el Álgebra superior constituía una aspiración á resolver algebraicamente las ecuaciones, esto es, por medio de fórmulas, como se había conseguido hacer para las ecuaciones de los cuatro primeros grados, y entre tanto á obtener métodos particulares para obtener los valores numéricos de las incógnitas, como lo hicieron los matemáticos desde Descartes hasta Sturm y aun Gräffe. Pero después de las varias tentativas de Lagrange, y de haber demostrado Abel la imposibilidad de la resolución general, los trascendentales descubrimientos de Galois sobre los grupos, cambiaron por completo la constitución de esta ciencia, hasta el punto de que hoy puede entrar en una enseñanza de carácter medio, el resumen de las primeras tentativas acerca de la resolución numérica, útil á los alumnos, para iniciarse en el estudio de la continuidad de las funciones; y otra enseñanza que, asimilada á los modernos descubrimientos acerca de los dominios debidos á Kronecker y afines con los de Kummer y Dedekind, acerca de los números algebraicos y cuerpos finitos, bajo el concepto general de grupo, expuesto primeramente por Cauchy y Jordan y que hoy predomina en el importante tratado de Álgebra superior del profesor Herr Weber.

Así pues, prescindiendo de estos últimos progresos; lo que se enseñó de Álgebra hasta Sturm, de valor esencialmente histórico actualmente, y que se consideró como una teoría superior, reducido á las nociones precisas, es decir, elementalizado, tiene un lugar en el último período de la enseñanza secundaria, que puede asimilarse, con auxilio de las nociones acerca de las derivadas, á otras nociones de Geometría analítica, limitadas á lo más substancial que se encuentra en los tratados escritos hasta finalizar el segundo tercio del siglo xix, es decir, de tratados tales, como el de Lefebure de Fourcy Sonnet y Frontera, en forma compendiosa también elementalizado, por esa condensación natural á que llegan las teorías que se han vulgarizado.

Respecto á la Geometría descriptiva, casi no se comprende, cómo no se ha elementalizado desde hace más tiempo. En efecto: Es la rama geométrica más intuitiva, aquélla cuyos procedimientos son más gráficos.

Este retraso puede explicarse por la injustificada preocupación que conducía á dividir la Geometría en plana y del espacio.

Ya en 1881, al exponer la Crítica de las verdades geométricas y con objeto de llegar á la teoría de las sustituciones y equivalencias geométricas, por las que se pasa gradualmente de unos problemas á otros, que solo difieren de los anteriores por una simple modificación de datos, que se pueden considerar como equivalentes; al tratar de la generación geométrica, por traslaciones y rotaciones, diversamente combinadas, supuse indistintamente las figuras en el plano y en el espacio (Complemento de Geometría elemental ó critica geométrica, págs. 63-83), insistiendo en las nociones de Crítica geométrica, con que termina la primera edición de la Geometría elemental (1882), en las correlaciones diversas del punto y la recta, del punto y el plano, etc., hasta llegar á las correlaciones de la Geometría plana y esférica.

En la segunda edición de esta obra llevé más adelante dicho propósito, al separar en la Parte primera, las propiedades puramente descriptivas que, en Geometría elemental, estriban exclusivamente en las relaciones de perpendicularidad y paralelismo, de las propiedades métricas, las cuales, fundándose en la proporcionalidad de segmentos y la homotecia, llegan á la medida de las figuras de dos y de tres dimensiones.

Esta innovación ha sido objeto de varias tentativas, hasta que el profesor Lazzeri llegó á escribir su Geometría en la que realiza francamente, desde las primeras páginas, la fusión de las dos geometrías plana y del espacio.

Vencida pues, la preocupación de separar dichas dos geometrías, se impone naturalmente, siquiera un estudio de lo más esencial que comprende la Geometría descriptiva, tal como la teoría de rectas y de planos y nociones acerca de las superficies, muy apropiado para ejercitar, desde un principio, las aptitudes intuitivas; practicando el ver en el espacio, que es como, en el Análisis, la práctica de las operaciones fundamentales. Por otra parte, tan natural es ver una figura plana como una sólida, especialmente en la época actual, pues hoy abundan las colecciones de modelos que presentan, á la vista, desde las figuras más sencillas, hasta los géneros superiores de superficies, donde se encuentran todas sus líneas principales y las singularidades que las caracterizan.

Repecto á las Nociones de cálculo infinitesimal, la cuestión no ha merecido igual unanimidad que la anterior, en los Congresos matemáticos, pues, en efecto, la noción de límite, que implica la idea de infinito, es más imperceptible que las claras intuiciones de la Geometría. Sin embargo, no son aquéllas tan inaccesibles, como quiere sostenerse, á las inteligencias de los alumnos que terminan la segunda enseñanza, quienes conciben esta idea, por los ejemplos de progresiones y de series, que ya entran en el estudio elemental.

Por el contrario, extraordinariamente más ilógico es nuestro procedimiento, con arreglo á los planes vigentes de enseñanza, que dispersan vanamente las fuerzas de los alumnos en detalles de estudios elementales, muy apropiados para favorecer la pereza intelectual, llegando tardíamente á los estudios superiores, que forman la grandiosa síntesis de los conocimientos matemáticos.

El camino de la ciencia debe ser al principio breve, ha de imitar la línea recta, en cuanto á su dirección, libre de abrojos que separen á la inteligencia de su fin ú objeto, aunque en algún punto de esta recta se hallen ciertas circunvoluciones é inflexiones, por las que el análisis, bajo su forma de aparente desorden, conduzca al orden real que debe surgir del mismo. El método analítico, desenvolviendo lo complejo, llega á la sencillez del orden sintético. Se desprende de los andamiajes que le sirvieron de auxiliares, para dejar tan solo el edificio. La síntesis es el resultado del análisis.

No hay pues que dispersar las fuerzas intelectuales para fatiga de los alumnos y malograr sus esfuerzos. Los teoremas y los problemas de la ciencia son innumerables. El multiplicarlos caprichosamente es una falta de método. La ciencia debe trazar las líneas principales que orientarán, cuando convenga y se desee, hacia las direcciones secundarias. Cuando el tejido de sus verdades ofrece regularidades y simetrías, es fácil y natural el tránsito de unas á otras verdades, que podrá reducirse á un simple acto combinatorio. Dicho tejido ofrece puntos de intersección que pueden representar los teoremas ó los problemas, que serán uno ú otro, según el punto de vista desde el cual se consideren.

En mi folleto, Observaciones útiles en el estudio de las matemáticas (págs. 7 y 8, 1874), consideré el teorema como una proposición que expresa relaciones de coexistencia entre modos de ser de varias cosas, y como un problema perfeccionado en su expresión, ó bien, la expresión del resultado de un problema (Consider. sobre la conv. de un nuevo plan, etc, pág. 48, 1877). Esto hace ver cómo una proposición, según el modo de ser y estar en la ciencia, es un teorema demostrado ó un problema resuelto.

Si concebimos que se trasladen ciertas relaciones, de modo que se compenetren; de su combinación, resultarán nuevas verdades entre ciertos términos, por la eliminación de otros que habrán servido de términos medios, en el andamiaje que ha dado fijeza y solidez al conjunto de las entidades nuevamente relacionadas.

En un problema ó en un teorema existen: 1.° Ciertas entidades caracterizadas por existir hipotéticamente. 2.° Otras unidas á las primeras por el lazo de la coexistencia. 3.º Ciertas construcciones que ponemos arbitrariamente para poder introducir nuevas entidades y relaciones que nos sirvan como medios de enlace entre los elementos expresados en la cuestión. 4° Teoremas que justifican los enlaces de las entidades y relaciones auxiliares con las expuestas en la cuestión (El método aplicado á la ciencia matemática, página 8, 1875).

«Desde una figura podemos llegar hasta otra; y esto se realiza agregando, á la primera, otras figuras; todas las que sean necesarias para completar la red de relaciones de la que solo al fin deben destacarse, como las principales líneas de un dibujo, aquéllas que constituyen los dos extremos del encadenamiento, que han de servir para enunciar el teorema demostrado ó el problema resuelto, como el sorites en la Lógica, enlaza los extremos que han de constituir una proposión, con el auxilio de una serie de medios, destinados á desaparecer» (Geom. gen., P 1, pág. 12, 1892).

Pero todos estos encadenamientos de figuras dependen de un principio común á todas ellas, que es su generación y que define á cada una. Engendrada una figura, por cada una de las condiciones que la definen, hoy que la teoría de los grupos ha abierto un amplísimo campo á las investigaciones matemáticas, debe considerarse, no en un estado ó modo de ser especial, sino en la variedad de sus estados.

Los dos procedimientos necesarios para modificar el modo de ser y de estar una figura, son la traslación y el giro. La traslación, en los métodos de las equipolencias y de los cuaternios, se reduce á una prolongación, según un coeficiente numérico.

En mi Complemento de la Geometría elemental, consideré lo que incluí, en lo que llamaba métodos particulares adjuntivos, las alteraciones: 1.º, por traslación paralela; 2.º, por giro, haciendo referencia á la obra notable del sabio matemático dinamarqués Sr. Petersen, Méthodes et Théories (1880), y después de la determinación, la generación conducía á los diversos estados de cada figura. Por último, el estudio de las sustituciones y equivalencias geométricas llevaba á la sustitución de unos problemas por otros equivalentes en un encadenamiento, cuyos extremos son el problema que se trata de resolver y el problema que da la solución buscada.

Este procedimiento es el análisis de Platón ó de Pitágoras, que detalladamente expuso Duhamel en su importante obra: les Méthodes dans les sciences de raisonnement (1865). También el Sr. Echegaray empleó muchas sustituciones de problemas equivalentes en su notable é ingeniosa obra, Problemas de Geometría elemental (1865).

Esta tendencia hacia las transformaciones de unas figuras en otras la llevé á la Trigonometría, estudiada como un capítulo de la Geometría, considerando el plano como el sustratum de todos los triángulos rectángulos de todos los tipos posibles, según la variación de sus ángulos, que producen, cada uno, toda la variedad de sus homotéticos; y, pasando de éstos á los triángulos oblicuángulos.

Y en la segunda parte de mi Geometría general (págs. 44-55, 1895), fundé las primeras proposiciones geométricas en el movimiento continuo, aprovechando también las relaciones de simetría, para hacer visible, cómo grupos de teoremas son casos particulares ó simples variedades de un mismo teorema.

Por último, es oportuno citar la evolución que M. Meray hizo dar á la Geometría, fundando la generación de las figuras en la rotación y traslación (1874), lo que constituía, como se expresó en L 'Enseignement mathématique, con motivo de haberse publicado la segunda edición de esta obra, en la cual implícitamente M. Meray había subordinado la Geometría á la idea de grupo, lo que M. Poincaré declara explícitamente, manifestando que la Geometría es el estudio de un grupo, al exponer en el premier Cahier de l'Ecole Polytechnique (deuxième serie), la teoría del Analysis situs.

El Análisis. En cuanto al Análisis, observaremos que le son aplicables análogas consideraciones. Hoy debe seguirse la línea recta, prescindiendo de cuestiones, que todavía nos preocupan y han pasado á tener un valor principalmente histórico. Los resultados obtenidos desde Descartes hasta Sturm, deben ser objeto de un capítulo, donde prevalezca la idea de continuidad, de que dependen aquéllos; siendo lo que puede formar cuerpo de doctrina, como preparación al Cálculo infinitesimal, la Teoría de derivadas que debe constituir, con la de las series y la integración un primer núcleo, de carácter eminentemente práctico y como preámbulo de los estudios universitarios.

Al lado del Análisis algebraico, que hoy se presenta como una teoría elemental, tenemos la Geometría analítica, que consideró Descartes también bajo la denominación común de Análisis, la cual es, en realidad, un método expositivo de la Geometría.

El Análisis geométrico es particular. Se aplica á cada figura. La sagacidad del geómetra ha de suplir en cada caso la falta de generalidad del método. La inteligencia, para cada problema ó teorema, tiene que buscar un lazo de unión, dado por los teoremas y construcciones auxiliares. En la Geometría analítica cartesiana, al contrario, el lazo de unión está siempre dado por los mismos términos medios ó auxiliares, que son las coordenadas de cada punto. El ingenio del matemático desaparece bajo la eficacia y poder del instrumento que emplea. Desde un principio se estableció la determinación de cada punto; y la generalidad de las fórmulas determinativas asegura que las relaciones finales tendrán el mismo grado de certeza en todas las transformaciones del cálculo. La evidencia se continúa á través ó detrás de la infalibilidad de las reglas de éste. Tan solo bastará la discusión final para iluminar aquéllo que el artificio del procedimiento dejó en la oscuridad, y para volver del razonamiento á la intuición que había desaparecido, bajo el encadenamiento lógico que la representaba, por una inversión de nuestro modo de proceder directo, mediante el cual la intuición es el símbolo del proceso de la inteligencia.

Pero el sistema cartesiano es tan solo uno de los métodos de la Geometría analítica, las coordenadas pueden ser de varias formas, como lo prueban los métodos de Moebius, Bellavitis, Hamilton, Grassmann, Bobillier y Plücker. El método que, por su antigüedad y sencillez se coloca al lado del cartesiano en la enseñanza, es el de la doble razón ó relación anarmónica, cuyo origen se halla en los porismas de Euclides y que presentó por vez primera Chasles en su Geometría superior. Este método, como el cartesiano, es indirecto y tiene la misma unidad en el modo de establecer las relaciones, que se hallan encadenadas por las fórmulas. Es un nuevo sistema de coordenadas, ó camino para llegar á los mismos resultados.

En la enseñanza, no es necesario agotar cuanto encierran las dos expresiones geométricas. Basta conocer el procedimiento para poderlo aplicar en cualquier cuestión que se presente.

Defectos por corregir en los planes de enseñanza. Hoy, por los progresos considerables de la Matemática tenemos, como se ha dicho, variados métodos de Geometría analítica, y además el sintético de Staudt; y todos llevan á los mismos resultados, distrayendo inútilmente las fuerzas de los alumnos.

El sucesivo acrecentamiento de métodos y de verdades exige una condensación correlativa en los procedimientos de la enseñanza.

¿No sería preferible el fundir, al terminar la enseñanza secundaria, todas las geometrías analíticas y la sintética en una asignatura más general bajo la denominación de Métodos geométricos?

Ciertamente que sí. En cada una de dichas asignaturas existe un objeto final común: El estudio de las curvas y superficies de segundo orden y variedad de procedimientos para llegar á este fin.

Lo natural es conservar el objeto; y, definido cada uno de los métodos, tratar de que: El empleo indiferente de cada uno de ellos, para resolver cualquier cuestión, sirva al alumno de ejercicio, con carácter de investigación.

Así la enseñanza será educativa, y servirá, no para que el alumno se preste habitualmente á repetir lo expuesto en el libro, á seguir mecánica é inconscientemente un mismo surco, sino á trazar él la dirección, por el empleo espontáneo de sus energías intelectuales.

En resumen: La enseñanza secundaria de la Matemática deberá distribuirse en ciclos, de la manera siguiente:

Nociones geométricas. Nociones de Aritmética.
Análisis geométrico. Análisis algebraico.
Aplicaciones á la resolución de los problemas. Aplicaciones á la resolución de los problemas.
Ejercicios graduados. Principios de trigonometría y problemas.


Principios acerca de las funciones


Nociones de geometría descriptiva. Problemas de rectas y de planos. Nociones acerca de las superficies. Cálculo de las derivadas, de las series y de las fracciones continuas.
Metodología geométrica. Definiciones de los métodos cartesiano, de Chasles, Staudt, Moebius, etc., aplicaciones al estudio de las curvas y superficies de segundo orden. Nociones de Cálculo infinitesimal. Aplicaciones al estudio de las curvas, rectificación, medición de áreas y curvaturas [1].

Los alumnos á los diez y ocho años, ya pueden comenzar los estudios universitarios, después de un bachillerato, que comprende lo llamado Matemáticas especiales y que están constituídas por parte de las antes consideradas como Matemáticas superiores, hoy elementalizadas, por su vulgarización y los progresos actuales en sus métodos y en su conocimiento crítico, y simplificadas, por supresión de partes comunes, que constituirían, si se conservasen, una repetición innecesaria.

El fin de la segunda enseñanza debe reducirse á: Adquirir las nociones y principios fundamentales de cada rama. Y á adquirir aptitudes para resolver cuestiones sencillas, siendo el número de objetos el imprescindible y propio, tan solo de un estudio elemental, evitando el profundizar demasiado, propio de la enseñanza superior.

§ 3.º La enseñanza universitaria

Lo característico, en la enseñanza universitaria, es la sistematización, que ha de servir de precedente y guía á los perfeccionamientos ulteriores en la profesión de cada individuo, particularmente si éste se debe dedicar á la enseñanza.

La enseñanza elemental tiende exclusivamente á desarrollar las aptitudes nacientes del alumno. La secundaria, además de continuar este desarrollo de las aptitudes y de las facultades, debe conducir á dar una instrucción general acerca de la variedad de los conocimientos humanos. En la Matemática, se limitará este objeto á despertar la iniciativa propia para aprender á pensar é investigar. En la enseñanza superior, con la variedad de métodos y teorías, se le ofrecerá ocasión más propicia para estos resultados; pero se debe tender á los sistemas y á las síntesis.

Ya se ha tratado con suficiente detalle en el Libro primero, de la coordinación, subordinación y compenetración de las diversas teorías, infiriéndose de ésta, que la enseñanza no debe encerrarse en un dogmatismo riguroso y exclusivo que someta el orden de los estudios á una sucesión rígida que, en realidad, no existe entre las diferentes teorías, las cuales, si bien alguna vez tienen cierto orden de prelación, respecto de otras, en general se apoyan mutuamente y se ceden sus recursos. Esta compenetración de las ideas se debe tener muy presente.

Materias de la enseñanza. Es chocante que, en nuestros planes de estudios, solo figuren las asignaturas que corresponden á épocas ya algo lejanas, pues el Álgebra anticuada de los tiempos de Sturm, las Geometrías analítica y descriptiva y el Cálculo diferencial é integral clásicos, hasta una época anterior á Cauchy, que es lo enseñado en nuestros cursos, ha quedado, por los descubrimientos hechos en el siglo xix, desde Abel y Cauchy, envuelto en un cúmulo inmenso de nuevas teorías, que como ya se indicó, han empujado á aquéllas hacia las regiones elementales de los estudios.

Ya se describió, en la síntesis hecha anteriormente de los conocimientos matemáticos, el caudal de teorías nuevas importadas y la edificación de los nuevos sistemas sobre los conocidos, hasta Lagrange y Gauss. Todo ello ha hecho variar las enseñanzas actuales y, por una correlación necesaria, los libros que se publican; pues cualquier Álgebra, Geometría analítica ó superior, ó cualquier Tratado de análisis escrito en esta última veintena de años, es un tratado que solo se parece por el título á los anteriormente conocidos. Y la materia de éstos se ha reducido á su más mínima expresión, convirtiéndose en meramente elemental. Esto puede verse comparando, por ejemplo, el Álgebra superior de Weber con las de Lefebure de Fourcy ó la de Cirodde.

Nuestro comercio de libros de matemáticas, salvo contadísimas excepciones, difiere totalmente de los demás, si salimos del dominio elemental; y aun en éste, conservamos los antiguos moldes, que se han modificado en otras partes. El dogmatismo no ha cedido ante el espíritu de investigación. Y esto responde necesariamente á las deficiencias de nuestros planes de estudios. Nada ó casi nada, que es lo mismo, de invariantes, de grupos, de funciones elípticas, abelianas, analíticas, automorfas, curvas y superficies superiores á las de segundo orden, etc. Esto es lo que se nota en nuestros libros y en nuestros planes de enseñanza.

Para formarnos idea de estas diferencias, basta presentar algunos cuadros de los estudios que se hacen en el extranjero. Así, en el semestre de invierno, se dieron las siguientes enseñanzas:

Universidad de Berlin (1904-1905). Geometría analítica.—Determinación de las estrellas dobles.—Calculo diferencial.—Ejercicios.—Funciones elípticas.—Capítulos de las funciones analíticas.—Coloquios matemáticos.—Álgebra.—Teoría de las funciones.—Mecánica analítica.—Integrales definidas.—Curvatura de las superficies.—Curvas en el espacio.—Cálculo integral.—Aplicaciones del mismo.—Superficies de segundo orden.—Conjuntos.—Teoría de las formas cuadráticas.—Teoría de los números.—Teoría y crítica de la medida del tiempo.—Historia de la Astronomía antigua.—Métodos y resultados de la Astronomía.—Astronomía esférica.—Determinación de las órbitas de los cometas.—Aplicaciones de lo mismo.—Las líneas geodésicas en sus aplicaciones á las medidas geodésicas.—Sobre la figura de la tierra.—Elementos de la Matemática superior, especialmente en sus aplicaciones á la Naturaleza.

Berlín.—Escuela Técnica superior. Divisiones de la ciencia general.—Matemáticas superiores, con ejercicios.—Elementos de Cálculo diferencial é integral y de Geometría analítica.—Elementos de Mecánica.—Geometría descriptiva.—Matemáticas superiores, con aplicaciones.—Teoría de las curvas en el espacio y superficies.—Estática gráfica.—Mecánica superior, con ejercicios de cálculo diferencial é integral.—Teoría del potencial.—Teoría de las funciones.—Análisis elemental en Álgebra.—Geometría sintética.—Los vectores y sus aplicaciones á los problemas de la Mecánica y de la Física.—Cálculo diferencial é integral.

Universidad de Cambridge. Grupos continuos.—Geometría diferencial.—Figura de la Tierra y precesión.—Astronomía dinámica (elemental).—Teoría planetaria.—Teoría de la transformación homográfica.—Electricidad y Magnetismo.—Física matemática.—Electrodinámica con aplicaciones á la Óptica.—Teoría de los gases y Termodinámica.—Demostraciones en Astronomía práctica.—Trabajos prácticos de Observatorio.—Propiedades de la materia: Electricidad y Materia; Electricidad y Magnetismo; Descargas eléctricas á través de los gases.—Matemáticas aplicadas.—Teoría de las Estructuras.—Electricidad aplicada.—Teoría de los Conjuntos y de las Funciones de variables reales.—Armónicos elipsoidales.—Introducción á la teoría de las Funciones.—Análisis.—Geometría proyectiva.—Teoría de Galois.—Geometría analítica de las curvas.—Geometría de las curvas y de las superficies.—Ondas (ondas de luz.—Vibraciones aéreas.—Teoría del potencial y de la Electrostática.—Hidromecánica (dos cursos).—Lógica simbólica y sus aplicaciones á la teoría de los Conjuntos de Cantor.—Principios de las Matemáticas.—Geometría no-Euclídea.—Funciones elípticas.— Geometría de la recta.—Hidrodinámica y Función.— Invariantes y Aplicaciones geométricas.—Problema de los tres cuerpos.—Teoría lunar de Hansen.—Ecuaciones diferenciales de primer orden y ciertas funciones definidas por ellas.—Funciones integrales.

Universidad de Hopkins (John). Geometría superior.—Teoría de los grupos.—Análisis vectorial; Autores clásicos.—Teoría elemental de las funciones.—Ecuaciones diferenciales ordinarias.—Mecánica racional.—Cálculo de Variaciones.—Teoría de los Invariantes.—Teoría de las Probabilidades.

Universidad de Gottinga. Introducción al análisis vectorial y Mecánica.—Potencial.—Ejercicios.—Enseñanza matemática en las escuelas superiores, por el profesor Klein.—Cálculo de Variaciones, Integrales definidas, Ejercicios sobre Mecánica, por el profesor Hilbert.—Astrofísica, Teoría de los instrumentos ópticos, Coloquios de Astronomía, Teoría de la Electricidad, por el profesor Schwarzschild.—Cálculo diferencial é integral, aplicaciones, Ejercicios.—Analysis situs, Aplicaciones de Mecánica superior, por el profesor Minkowski.—Cálculo de Probabilidades, Ejercicios, por el profesor Brendel.—Introducción á la teoría de las Medidas, Ejercicios, por el profesor Wiechert.—Estática y Cinemática gráfica, Ejercicios, ídem de Geometría analítica, por el profesor Schilling.—Teoría de los cometas y planetas, Ejercicios y cálculos, por el profesor Ambronn.—Introducción á la teoría de las ecuaciones generales, por el profesor Zermelo.—Desarrollos de series de la Física matemática ó Aplicación matemática á la Naturaleza, Fundamentos de la teoría de Maxwell, por el profesor Blumenthal.

Y estos datos son más que suficientes para demostrar lo urgente que es el extender las enseñanzas científicas, en relación con lo practicado en las demás naciones; porque los estudios sobradamente deficientes no tienen ninguna utilidad; es preferible suprimirlos. Las máquinas incompletas no funcionan y llegan á ser un estorbo molesto.



  1. Estas nociones pueden reducirse, por ejemplo, ó la extensión que tienen en la obra Einführung in die Diff. und Integralrech, del profesor H. Müller, que tiene 38 págs.