Algunas consideraciones sobre filosofía y enseñanza de la matemática/Libro I Capítulo II

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CAPÍTULO II

La síntesis filosófico-matemática

§ 1.° Consideraciones generales

Filosofía. Combinatoria. Clasificaciones de los conceptos. Lo más alto que hallamos en la Ciencia es la inteligencia, origen y fuente del pensamiento humano.

Pero este origen, siendo uno, ofrece inmensa variedad por sus aspectos. Al contemplarse el hombre por una mirada refleja, el resultado no es siempre el mismo, cuando analiza este fondo, en el que se desarrolla el pensamiento. Y esta diferencia ha sido el origen de los diversos sistemas filosóficos. Lo mismo ha sucedido al contemplar al mundo externo, por una mirada directa. La distancia que nos separa del mundo externo, se salva por un intermediario. Á su vez el mundo externo ofrece una gran complejidad, que solo nos permite estudiarlo por sus apariencias ó fenómenos que se nos presentan, sobre lo que cada cosa es en sí. Este segundo objeto que obtenemos, partiendo de nosotros, aumenta considerablemente las dificultades que hallamos para conocer. Y el estudio de todo es el objeto de la Metafísica, ó en general, la Filosofía.

La Matemática es un dominio muy reducido, dentro del campo universal de la Filosofía. Y solo su origen, que podemos llamar sus fronteras, se encuentra con esta ciencia, de la que todas dependen pero que se ramifican y marchan independientemente, después de haber tomado de aquélla sus principios fundamentales, en el grado que ha necesitado cada una, en particular.

Limitándonos á la Matemática, bastará decir que, cada vez se ha ido separando más de su tronco, para crearse una filosofía interna.

Los filósofos más insignes, desde Platón y Aristóteles, han dejado huellas de su influencia en esta ciencia, la más ideal; que se ha presentado siempre como el modelo de las ciencias; pudiéndose concluir que hoy la influencia es meramente externa, reduciéndose á la dirección de la inteligencia, á la parte lógica, que contribuye á ordenar las ideas, á encadenarlas y á dirigir los razonamientos. Y en cuanto á las ramas de la Matemática de carácter concreto, tales como la Geometría, la Mecánica, la Astronomía y la Física, éstas parten de la experiencia, y en ella fundan los principios de sus varias teorías, cuya rectificación ó afianzamiento dependen de esta misma experiencia.

La Matemática, en esta región, se limita á traducir los hechos ó las relaciones del mundo material en fórmulas; y cuando se ha efectuado esta traducción, los conocimientos empíricos se convierten en científicos.

La parte utilizable de la Filosofía en la Matemática, puede muy bien concentrarse en la Pedagogía matemática, cuyo fin será la dirección de la inteligencia y el perfeccionamiento de los métodos, que dependen de la Crítica, parte de la Lógica, que rige la validez y sistematización de los conocimientos.

Esta rama ofrece un medio de comunicación de la Matemática con la Filosofía, pues uno de los fines de la Crítica es el estudio de los postulados y principios fundamentales que, como se dijo, se hallan en las fronteras de aquélla, dependiendo todo lo demás de la deducción, por medio de los silogismos matemáticos ó de identidad, que solo pueden asimilarse á los silogismos lógicos, en el caso de cuantificarse los atributos ó las cualidades, como especialmente ocurre en la nueva rama, llamada Lógica matemática.

En el estudio sintético de la Matemática, ocupa el lugar predominante la Combinatoria.

M. Couturat, con la publicación de su obra La Logique de Leibniz (1901), según varios manuscritos inéditos, y por consiguiente ignorados, respecto á los pensamientos de este ilustre filósofo, nos ha presentado todo un sistema de Lógica matemática.

La combinatoria es el fundamental concepto al que se subordinan todos los demás, es en la inteligencia, como en la Geometría el movimiento, el elemento generador.

Leibnitz reveló las tendencias de su sistema, al publicar su Dissertatio de Arte combinatoria, que aplicó desde luego al silogismo, elevándose de la clasificación de ideas por las categorías, según se ha indicado (pág. 11), llegando á las categorías matemáticas.

Un alfabeto de juicios ó catálogo, por medio de combinaciones, la Ciencia de la combinatoria como arte de inventar. Estos eran los conceptos capitales de Leibnitz, que le llevaron á la idea de un Algebra lógica, que naturalmente se relacionaba con una lengua universal: á una Gramática filosófica, á traducir los conceptos y las relaciones, de modo que puedan seguirse todas las etapas de una deducción. Como procedimiento, empleaba el esquematismo, mediante el cual las deducciones se traducen en construcciones. Y no solo consideraba el demostrar la verdad como objeto de la lógica, sino el descubrirla; para lo que es un método seguro é infalible.

El historiador Vico había sentado, con cierto exclusivismo, es cierto, la proposición: La inteligencia solo conoce lo que hace. Así pues, el entendimiento construye en un orden puramente ideal, y sabe lo que hace; porque su obra está presente. Todo lo cual se adapta á la Matemática.

Para Descartes la idea era una realidad objetiva. La potencia creadora de nuestra imaginación nos permite el perfeccionar las imágenes de las figuras geométricas; pero las imágenes, son distintas de los objetos que representan.

La deducción como se indicó (pág. 9), se resuelve en una serie de intuiciones, siendo la memoria intelectual útil en la demostración, cuando sea preciso coordinar varias deducciones sin enlaces, para coordinar sus resultados. El método cartesiano consiste pues, en la contemplación inmediata de la verdad y en la continuación de esta intuición, que es razonar; por lo que se llega de las proposiciones complejas á las simples. Descartes observa que todas las ciencias, cuyo objeto es la investigación del orden y de la medida se refieren á las matemáticas. Pero Leibnitz ve, en el Álgebra de Vieta y Descartes, tan solo una rama ó aplicación de su característica universal ó combinatoria, á las que subordinaba el Álgebra y la Geometría analítica, considerándola como el verdadero arte de inventar, como una especie de método sintético.

«La combinatoria y la lógica reunidas constituyen la ciencia de las formas, mediante las cuales hay que entender, no solo las fórmulas matemáticas, sino las leyes generales del espíritu (Phil., VIII, 56)»[1].

En resumen, Leibnitz consideraba su Lógica como una Matemática del pensamiento.

Á estas ideas de Leibnitz se refiere el desarrollo del Álgebra de la Lógica desde Boole y Jevons, hasta Schroeder, con las ramificaciones que ofrecen las doctrinas de Grassmann, Weierstrass y Dedekind, ya expuestas en las Modernas generalizaciones del Álgebra y en Estudios de Critica, etc.

Y finalmente se ha notado una tendencia muy marcada á realizar el pensamiento de Leibnitz, por la escuela italiana, cuyos trabajos se han publicado en el Formulario matematico y la Rivista di matematiche del Sr. Peano, con el fin de abreviar la exposición de la Matemática, mediante un sistema especial de símbolos que constituyen un lenguaje puramente matemático.

Realmente, la Matemática ha tenido siempre el carácter de ser un lenguaje abreviado, las fórmulas son condensaciones de muchas ideas, cuya expresión por el lenguaje ordinario, resultaría molesta y hasta oscura. El matemático esquematiza continuamente.

El fin de los adeptos del Álgebra de la Lógica es el llegar al último grado de esquematización, impuesto por el considerable número de verdades que constituyen la Matemática actual.

De esta influencia de los conceptos generales en las diversas teorías ya traté en mi Discurso inaugural: Carácter y trascendencia de la Matemática en la época presente (1895).

Y ahora solo indicaré que las diversas teorías pueden clasificarse, con arreglo á los mismos; lo que puede contribuir, según ya hemos visto en varias ocasiones, á un nuevo orden de clasificación de las diversas ramas de la Matemática.

En efecto, en virtud de estos conceptos generales, hoy se hace difícil una exposición satisfactoria del contenido de la Matemática.

La Aritmética, el Álgebra, las diversas Geometrías y Teorías de las funciones se compenetran y se confunden á veces parcialmente. Parece que todas se hallan en el medio que las contiene, como en el espacio la variedad de objetos materiales existentes, en los cuales los elementos se hallan diversamente combinados, formando un complejo irregular, cuyas partes no pueden separarse, con arreglo á un plan simétrico y ordenando, como parece debe ser la Ciencia, especialmente la más adecuada para este fin, cual es la Matemática.

Matemática. Ya en diversas ocasiones he aplicado estas categorías que, por dominar todas las relaciones, tienen que ofrecerse naturalmente. En mis primeros trabajos de crítica matemática (Geometría elemental, 1881), distinguí en la Geometría la existencia y después la determinación de las figuras y las sustituciones de unas relaciones por otras, que les son equivalentes, en las relaciones de coexistencia.

Esto me condujo á la sustitución de unos problemas por otros equivalentes; y esto puede conducir, en general, á construir tablas ó índices de resolución de problemas, por una serie indefinida de sustituciones de condiciones equivalentes[2].

Poseyendo el arte de componer problemas indefinidamente, puede hasta llegarse á hacer mecánico en ciertos límites, que podían extenderse indefinidamente, el arte de resolver problemas (que en general depende de un grado de teoría á la cual nunca se llega), sin llegar al exceso lógico, á que llegó la máquina pensante de Raymundo-Lulio, ó á la taquimetría, de que trata M. Poincaré [3]; pues si mucho puede facilitarse, la exposición de la ciencia en esta catalogación de las ideas, siempre queda al genio ó al talento un campo indefinido de investigaciones. Lo que resulta es que los descubrimientos del genio ó del talento, después de haberse vulgarizado, son aptos para la catalogación. Lo que al principio fué una idea feliz, más tarde encuentra su lugar natural en las mallas del razonamiento lógico, que encasilla las proposiciones y las verdades.

Una clasificación de sustituciones permitirá á la inteligencia re correr series indefinidas de problemas.

Las entidades, en el dominio geométrico, son: segmentos, ángulos, radios, tangentes, normales, relaciones de segmentos, etc.

Los medios de que se disponen son: la identificación ó superposición (procedimiento el más fundamental), la perspectiva, la proyección, el empleo de las relaciones ó de las formas armónicas ó anarmónicas, los movimientos de rotación, traslación, la creación de sistemas de coordenadas (cartesiano, polar, vectorial de diversas clases). Y en cuanto á la naturaleza de las cuestiones, la generalización (que conduce á los lugares geométricos), la particularización, la inversión, etc.

En Análisis, las entidades ofrecen una variedad también indefinida. Tenemos individualidades, como números de diferentes clases, enteros, racionales, algebraicos, trascendentes, límites, series, ecuaciones. En cuanto á éstas, pueden ofrecer variedad, según las acepciones; así, pueden ser de congruencia, si se buscan soluciones enteras, ó de equivalencia, ó pueden representar relaciones homográficas, etc. Los sistemas pueden ser: dominios, conjuntos, símbolos abstractos, etc. Además, el fin puede consistir en calcular, transformar, reducir, simplificar, coordinar, etc. Los procedimientos analítico, sintético, geométrico, cinemático, etc.

Así, por ejemplo, la Geometría de Poncelet es eminentemente proyectiva, la de Chasles es proyectiva y analítica, la de Staudt, denominada de la posición, es en realidad sintética y proyectiva, la de Clebsch es proyectiva y analítico-formal.

Aun los mismos matemáticos son, como dice M. Poincaré, analistas ó geómetras, lo cual no impide que los primeros sean analistas, aun cuando tratan de Geometría. «La naturaleza de su espíritu los hace lógicos ó intuitivos».

Y ciertamente, existiendo, con gran complejidad los seres en la naturaleza, de igual modo que los conceptos en las inteligencias, cada individuo, según su cultura, su carácter propio y la influencia del medio en que ha vivido, elige de aquella complejidad los elementos por los que muestra especial afinidad, en virtud de cierta fuerza atractiva, análoga á las afinidades químicas, ó á la atracción de la materia.

Por esto, cada filósofo se ha organizado un sistema especial, más ó menos perfecto, en el que ha concentrado la suma de sus conocimientos, que ha sido la resultante de las influencias externas, combinada con su propia iniciativa, según las cuales se ha modelado su individualidad.

M. Poincaré cita nombres de matemáticos notables, analistas ó geómetras, en cuyos trabajos, cualquiera que sea su índole, dejan grabado el sello de su personalidad; y también, por cierta reciprocidad, hay nombres que parecen esquemas de ciertas teorías matemáticas, tales como el de Gauss, en la teoría de los números y el de Cauchy, en la de las funciones de variables imaginarias.

El problema de la constitución de la ciencia ha conducido al de la distinción y clasificación de los axiomas, en cuanto á su forma y al predominio del formalismo lógico, sobre el de la intuición, en el modo de conocer matemático. Varios filósofos han colaborado con los matemáticos en esta parte de la organización científica.

Respecto al problema de la intuición, ésta no puede constituir un criterio del razonamiento; muchas veces nos engaña y, generalmente, solo puede considerarse como una comprobación ó verificación. Y el rigor matemático exige hasta que se prescinda de ella, bastando el rigor del encadenamiento de las proposiciones, el razonamiento abstracto; hasta el punto de razonar sobre seres sin existencia real. Y de ello nos ofrecen los ejemplos más decisivos, la constante consideración de lo imaginario y lo infinito. Los razonamientos ganan en rigor, lo que pierden en representación sensible. Restringiendo cada vez más la intuición en la ciencia y haciendo intervenir cada vez más la lógica formal, se ha conseguido dicho rigor matemático, según manifiesta M. Poincaré en su trabajo La Logique et l'intuition dans la science mathém. (L'Enseign. math., 1899). Las nociones matemáticas, añade, solo han adquirido una pureza perfecta, alejándose de la realidad.

Hoy las funciones discontinuas ó las continuas sin derivadas, son las más generales; las que se subordinan á leyes sencillas tienen un lugar muy reducido en la ciencia, y solo se presentan como casos particulares.

Los geómetras de los siglos xvii y xviii no podían concebir representada geométricamente una función, más que por un trazo continuo. Hace medio siglo se admitía que toda curva tiene una tangente. Herr Klein ha obtenido curvas sin tangentes. «Si Newton y Leibnitz, dice M. Picard, hubieran pensado que las funciones continuas no tienen necesariamente una derivada, lo que constituye su carácter general, no habría aparecido el cálculo diferencial; y análogamente, las ideas inexactas de Lagrange sobre la posibilidad de los desarrollos en series de Taylor, han sido sumamente útiles» (Sur le dévéloppement de l'Analyse, 1900).

Herr Klein en The Evanston Colloquium (1893), distingue la intuición sencilla (naïve) de la perfeccionada (refined). La primera no es exacta, no siendo la segunda propiamente intuición; y mediante una serie indefinida de proyecciones de un sistema de circunferencias tangentes, obtiene que el lugar de los puntos de contacto no es una curva analítica, constituyendo una variedad de puntos, por todo densa.

Que la intuición no conduce al rigor ni á la certeza, lo establece M. Poincaré en su memoria Du Role de l'Intuition et de la Logique en Mathématiques (Compt. rendues du second Congrès, etc. 1900). Lo que se gana en rigor se pierde en objetividad, dicen los filósofos.

M. Couturat, en L'Infini, lleva á un grado extremo la exposición lógica de las teorías matemáticas, desterrando en absoluto la intuición.

Esto lleva á la cuestión de las definiciones. Los objetos de la Matemática, en general, han sido mal definidos. Y en este punto han concentrado sus investigaciones los matemáticos y algunos filósofos modernos, como puede verse en las obras citadas de M. Liard, Les définitions géométriques et les définitions empiriques (1888), y de M. Milhaud, Essai sur les conditions et les lim. de la certitude logique y Le rationnel (1898).

Además, M. Poincaré ha tratado de estas cuestiones en L'Enseignement mathématique (1899) y sus obras recientes: Science et Hypothèse y la Valeur de la Science.

Los axiomas. La inteligencia solo conoce de las cosas los estados que, en ella suscitan las ideas que adquiere ó que pueden formarse, en virtud de su naturaleza, sobre los datos de la conciencia y de los sentidos. Pero, ante estos objetos, el espíritu reacciona y constituye las ideas, sobre el fondo que le ofrecen las series de sensaciones, las intuiciones ó imágenes, que desfilan ante la conciencia. Define los objetos formando, como por decreto, según la expresión de M. Milhaud, los conceptos (Essai sur la cert. logique).

Además de las definiciones, el desarrollo científico exige los postulados para encabezar ú originar el subsiguiente encadena miento de las proposiciones científicas.

Para efectuar las construcciones que constituyen los objetos matemáticos, se ha procedido generalmente eligiendo elementos de nuestras imágenes ó intuiciones; pero actualmente, como se ha indicado, se prescinde de la intuición, en lo posible, para proceder por decreto, dando preferencia al procedimiento lógico, lo que ha conducido á la moderna tendencia de estudiar preferentemente los postulados y establecer su clasificación más perfecta, que corresponde á las leyes empíricas de las ciencias físicas y naturales.

La ciencia de la demostración no es el todo, y la intuición como complemento, debe ser un contraveneno de la lógica. Sin ella, las inteligencias juveniles no podrían iniciarse en el conocimiento de la Matemática, viendo en ella tan solo una vana logomaquia. La lógica y la intuición tienen, cada una, su papel necesario. Las dos son indispensables. Por la lógica se demuestra, por la intuición se dilata el campo de la ciencia. Pero la lógica ha dado un considerable avance. La idea vaga de continuidad se resuelve hoy en un sistema de desigualdades, referentes á números enteros. La Matemática se ha aritmetizado, según expresión de M. Poincaré, que desarrolla extensamente los conceptos arriba extractados, en sus trabajos: Les définitions mathématiques (L'Enseignement math. t. VI) y Du role de l'Intuition et de la logique en Mathématiques (Compte rendu du deuxième Congrès intern. des Mathématiciens, 1902).

En este trabajo se ha distinguido el profesor Herr Moritz Pasch, como puede verse en sus Vorl. ü neuere Geometrie (1882), puesto que funda su exposición geométrica en la adopción de dos extensas series de axiomas, relativos á la recta y al plano, y haciendo aplicaciones de las palabras punto, recta, plano, entre, tratando con gran extensión de la teoría de las figuras congruentes, que funda también en un sistema de axiomas.

Ya se ha indicado la extensa labor hecha por la Escuela italiana, acerca de este asunto. Y solo añadiremos que el criterio fundamental en este orden de ideas ha sido el llegar á constituir un sistema irreducible y compatible ó no contradictorio[4]. El Sr. Padoa publicó: Un nuevo sist. de defin. para la Geom. euclídea. (Prog. Mat. 1900).

El ilustre profesor Herr D. Hilbert ha contribuido al progreso de esta parte de la ciencia, con varios trabajos tales como Ueber Grundl. der Logik und Arith; [5] y, sobre todo, sus excelentes Grundl. der Geom. (1899), donde establece su importante clasificación de los axiomas en cinco grupos.

Establecer los axiomas de la Geometría, dice M. Combebiac, es reducir esta ciencia á ser una aplicación de una teoría más general, é independiente de todo elemento geométrico. Esta teoría más general es la de los conjuntos [6]. Y hace ver que, por ejemplo, la Geometría proyectiva es una aplicación de los conjuntos de rectas.

El Análisis y la Geometría son dos fases distintas de la Matemática. Cuando seguimos el primero, la idea abstracta de número tiene una representación geométrica, siquiera por medio de puntos. Esto lo vemos en la teoría de los conjuntos.

Por el contrario: Al investigar en Geometría, pronto nos vemos en la necesidad de establecer una correspondencia numérica, que facilite las relaciones y que las multiplique indefinidamente. Aun en la Geometría de la posición, la serie de puntos que dan las formas armónicas, lleva á la teoría de los conjuntos.

Esto conduce á un nuevo modo de exposición de la Matemática. Las ramas de esta ciencia no avanzan en un aislamiento, correspondiente á sus denominaciones clásicas. Se entrelazan y funden en un solo tronco. El hilo conductor, la corriente común en que se funden, es la teoría de los grupos. Basta en cada teoría señalar los principios capitales, que serán como los nudos del tejido ó red de verdades, pues en cada uno de éstos se encierran condensadas las indefinidas consecuencias que brotarán naturalmente por la ley del encadenamiento de los silogismos matemáticos. Basta una combinación metódica de elementos, para producir la infinidad de corolarios encerrados en cada verdad. Es un trabajo puramente mecánico. La invención cesa cuando la deducción impera.

Se pierde un tiempo precioso en querer descubrir todo lo que está contenido en una verdad, como consecuencia necesaria. Y debe bastarnos el saber que poseemos la riqueza de sus consecuencias, utilizables en el momento que lo deseemos. Le basta al geólogo el conocer la naturaleza de un terreno y no le es necesario el reconocer uno por uno los minerales que sabe se hallan en él contenidos. Al científico le basta conocer los puntos iluminados, los grandes focos de luz. Estas indicaciones nos sirven para seguir en la descripción científica un tratamiento simultáneo, debido á la compenetración de las teorías.

§ 2.° Síntesis algorítmica

La Aritmética aparece como el primer escalón de la Algoritmia, porque da los elementos indispensables y necesarios para penetrar en los dominios de la Matemática. El número es la primera realidad de ésta. La intuición del número comunica su luz á las demás intuiciones, por las que avanza quien pretende conocer dicha ciencia.

Pero en realidad, este lugar preferente solo se debe á una exigencia pedagógica. El cálculo realiza unos números por medio de otros, fija y determina el objeto primordial de la Algoritmia, el número entero, del que derivan las demás clases de números.

La Aritmética elemental ó el arte de contar, en la Algoritmia, es como la construcción de una figura en la Geometría; se puede suprimir en el orden teórico; porque á la inteligencia le basta el orden lógico de las ideas, que el encadenamiento de éstas sea riguroso.

Pero la Aritmética debe conservar su lugar primero, no solo por exigencias pedagógicas; porque es como la Gramática de la lengua algorítmica, donde se hallan los primeros términos de expresión de sus elementos fundamentales.

El Álgebra es, en rigor, el primer tratado de la Algoritmia. Podemos decir, con Wronski, que el Álgebra es la ciencia de las leyes de los números y la Aritmética la ciencia de los hechos, lo que corresponde á sus dos grandes divisiones de Algoritmia y Tecnia, que se refieren á la naturaleza y á la medida de las cantidades, dependientes de la especulación y la acción, lo que es, lo que es necesario hacer.

Además, el Álgebra ordinaria es una rama de infinidad de Álgebras, formadas por leyes combinatorias, impuestas a priori, que pueden tener, en las aplicaciones, sus geometrías correspondientes, como por ejemplo, los cuaternios.

El Álgebra es la Algoritmia de las cantidades finitas. Comprende dos partes: El cálculo directo, que procede por combinaciones cualquiera de los algoritmos fundamentales; el cálculo inverso ó teoría de ecuaciones. El primero es el cálculo de las funciones explícitas, y el segundo el de las implícitas, cuyas dificultades son inmensamente mayores que las del primero.

Este cálculo se efectúa de dos maneras, que constituyen la resolución numérica y la resolución algebraica. La primera es una Aritmética, con su carácter constructivo, fundada en algunas propiedades de las funciones continuas, que constituyen un capítulo del Álgebra, debido á las investigaciones que principian en Descartes y terminan con los resultados debidos á Sturm, Cauchy y Sylvester.

La resolución algebraica está subordinada á la teoría combinatoria de los grupos y tiende hoy á fundirse parcialmente, en sus últimas ramificaciones, con la teoría de los números ó Aritmología.

La teoría de los grupos discontinuos, entre otras aplicaciones, tiene la resolución algebraica de las ecuaciones.

Herr Klein ha obtenido importantes resultados para la resolución de la ecuación de quinto grado en su obra, Das Ikosaeder Gruppen.

La teoría de los números. Esta superior teoría estudia los varios dominios de los números, los clasifica y los sistematiza. Análogamente á, como en geometría analítica, una ecuación ordinaria representa un lugar geométrico, en la teoría de los números, representa un lugar numérico. Cada ecuación de congruencia da un sistema de números, distribuídos en clases.

En Geometría, los puntos son elementos que constituyen figuras ó superficies. En la teoría de los números, los puntos representan números de los conjuntos ó de dominios varios. La moderna teoría de los conjuntos de Cantor distribuye sistemas de puntos que corresponden á sistemas de números, como base de la superior teoría de las funciones de variables reales. En vez de darse implícitamente las funciones, se dan arbitrariamente, se construyen por condiciones previamente fijadas.

En el estado actual de la Matemática, la teoría de los conjuntos debe ser el preliminar común de la teoría de los números y de las funciones de variables reales.

Las ecuaciones de congruencia expresan lugares algorítmicos, cuyos teoremas fundamentales son los de Fermat y de Euler. La indeterminación que da el exceso de variables se compensa con la determinación del total de sus raíces.

En Álgebra, los números se hallan distribuidos en cada una de las ecuaciones irreducibles, distribución importante para el estudio de las funciones. En la teoría de los números, éstos se distribuyen también. Y así como, en Geometría, los sistemas de puntos se corresponden por sus relaciones proyectivas, en la teoría de los números se efectúan varias proyecciones: 1.ª La de los conjuntos que se refieren, unos á otros, por una correspondencia biunívoca. 2.ª La de los sistemas numéricos imágenes de otros, mediante relaciones proyectivas, dadas por sistemas de transformaciones, como en Geometría.

La teoría de la equivalencia de las formas es como la superposición geométrica. Las formas equivalentes son sistemas que dan los mismos números.

Tenemos, en primer lugar, los números algebraicos que forman un grupo, y enseguida los sistemas de Kummer y Dedekind que son los números ideales ó los ideales, que entran en el sistema llamado cuerpo finito de números, por lo que el concepto de grupo domina también la teoría de los números.

No ya los números, sino las funciones algebraicas se someten á las ecuaciones de congruencia, constituyendo la teoría de las congruencias de funciones, que da origen al estudio del campo ó cuerpo de Galois.

Kummer, Dedekind y Kronecker llevan la teoría de los números á los sistemas de funciones dependientes de n parámetros, expresados por las ecuaciones de congruencia. Así, dice Herr Hensel, que Kronecker extendió el concepto y aplicaciones de la teoría de los números á la investigación de las funciones de cierto número de variables, y Dedekind estableció, para los números algebraicos, lo que Gauss había consignado para los números racionales.

Funciones de variables reales. Esta teoría ofrece dos desarrollos: El clásico y el moderno. El clásico se limitaba al estudio de las funciones continuas, exclusivamente. La integración de funciones es como el cálculo explícito; la integración de las ecuaciones diferenciales corresponde á la resolución de las ecuaciones algebraicas, problema resuelto, desde Newton hasta Jacobi, con la finalidad de obtener una expresión analítica de la función, cuya diferencial ó cuyas diferenciales se dan en la ecuación ó ecuaciones propuestas. Pero Riemann señaló nuevos rumbos al establecer en nueva forma el concepto de integral.

La teoría de las funciones de variables reales sufre una evolu ión en la teoría analítica del calor de Fourier y la memoria de Riemann sobre las series trigonométricas. El estudio de las discontinuidades tiene capital importancia.

Los trabajos de M. Darboux acerca de las discontinuidades de las funciones y del Sr. Dini sobre las funciones de variables reales y de la serie de Fourier han comenzado un importante desarrollo de la teoría, á que contribuyeron también Hankel y Du Bois Reymond, representando las funciones por integrales definidas.

Hoy, tomando por base los conjuntos del Sr. Cantor, los señores Poincaré, Borel, Hadamard, Baire, Le Besgue, Lindelöf, etc., continúan esta evolución, que entra en la Teoría de las funciones analíticas de Weierstrass, y tiene su lugar natural en los Tratados de Análisis ó de Cálculo infinitesimal.

La Teoría de las funciones analíticas se reduce á la de las series enteras, independientemente de la consideración de las diferenciales. Bien es cierto, que la teoría de los conjuntos conduce á una teoría análoga á la de los infinitos de los diversos órdenes.

Hemos visto cómo en la teoría de las funciones, los elementos geométricos dan un fondo que permite seguir de una manera intuitiva las fases de su existencia, ya en la recta, en el plano, en el espacio ó en otro fondo más ó menos complicado, que nos ofrece el Analysis situs.

Funciones de variables complejas. Como en la teoría de las funciones de variables reales, el fondo sobre que se desarrolla una función de variable compleja es un dominio de puntos que puede ser de un número cualquiera de dimensiones, caso considerado por Weierstrass; pero generalmente, el plano simple ó múltiple es el sustratum de dichas funciones.

Las series uniformemente convergentes y las integrales definidas son dos modos generales de expresarse las funciones.

El estudio general de las funciones de variables complejas ofrece hoy dificultades por su gran extensión. No obstante el campo en que se desarrolla es vasto y espléndido.

El objeto capital del estudio de una función es el estudio de sus singularidades. Por éstas se halla caracterizada cada función.

El modo de distribución de los ceros, los polos, los puntos críticos esenciales ó no esenciales caracteriza á una función. Las singularidades sirven de base á la clasificación de las funciones. En cuanto á sus varias particularidades principales, indicaremos que son la oscilación, el salto, la periodicidad simple, doble, etc.

En esta teoría pueden darse previamente las singularidades de una función, para obtenerla, como ha hecho M. Mittag-Leffler.

Hoy lo culminante de esta teoría es el estudio de las transcendentes, ya dadas por series, por integrales ó por ecuaciones diferenciales.

Un procedimiento general, en la teoría de Weierstrass, es la prolongación analítica.

El medio hoy empleado para la representación de las funciones es la superficie de Riemann; y, en general, el Analysis situs, con el extenso dominio de las variedades, da el fondo sobre que se constituyen las funciones, de un orden superior al reducido plano de Cauchy ó á la superficie de n hojas de Riemann.

En este orden de ideas, el problema de la integración ha cambiado de carácter. Ya Clebsch en sus Vorlesungen ü Geometrie, dio una integración geométrica de las ecuaciones diferenciales.

En la actualidad, á la integración clásica de las integrales se ha sustituido la integración analítica, fundada en el cálculo de las series enteras, en que obtuvo importantes resultados Fuchs, principalmente, y que se hallan desarrollados en las obras Konisberger, Painlevé, Forsyth, Schlessinger y otros.

§ 3.º Síntesis geométrica

Geometría elemental. Esta puede conservar su calificativo, porque se funda en la identificación ó superposición; pero se podría llamar natural, porque no dispone de ningún otro artificio.

Podemos concebir todas las figuras de la Geometría elemental por deformaciones sucesivas. Partiendo de un solo triángulo, se pueden, deformándolo, enunciar multitud de teoremas. El postulado de Euclides equivale á admitir la traslación de una recta; la suma angular será la misma que la de su paralela; y el teorema de la suma angular de un triángulo quedará establecido; y, por consiguiente, todos los teoremas relativos á ángulos entre paralelas, incluído el postulado de Euclides que es una variante del teorema de la suma angular; y al mismo tiempo quedarán establecidas todas las proposiciones relativas á los triángulos homotéticos, extensivas, por un giro, á los semejantes y, también, las relaciones fundamentales de la Trigonometría, establecidas, lo mismo por semejanza que por proyecciones, ya que una proyección equivale á un cateto.

Se ve como dice M. Poincaré, que la Geometría es el estudio de un grupo.

Estas consideraciones son extensivas inmediatamente al espacio.

Podemos considerar ahora el plano como un fondo común de todas las combinaciones posibles de figuras que, traducidas al len guaje ordinario, serán expresiones de cuantos problemas queramos.

En la constitución de estos problemas, solo será necesario hacer la combinación de las condiciones que han de quedar como incógnitas y las que han de ser los datos. Los enunciados de las relaciones de coexistencia serán otros tantos problemas.

La Geometría del triángulo ofrece el ejemplo de la creación de un número indefinido de identidades, por combinaciones variadas, en las condiciones ó datos.

Correspondencias geométricas. La construcción de las entidades depende de una idea generadora.

La Geometría cartesiana ya tiene una idea fundamental, que se reduce á la correspondencia entre una fórmula y el sistema de puntos representativos de las variables. Constituye un método indirecto. Es una especie de cálculo gráfico que determina, punto por punto, una función.

La geometría de Monge es una geometría sintética. No es más que una correspondencia inmediata entre figuras planas y figuras en el espacio, una determinación y construcción de éstas por aquéllas.

Las demás geometrías son meramente proyectivas. Su objeto es el estudio de sistemas de elementos (puntos, rectas y planos) correspondientes á otros elementos numéricos ó geométricos.

Geometría descriptiva. Esta geometría es la continuación de la elemental. El procedimiento de la superposición queda en la descriptiva reemplazado por una correspondencia inmediata entre figuras planas y figuras en el espacio, entre estas figuras y sus proyecciones. Se determinan aquéllas por éstas. Cada figura se define por su generación. El instrumento de ésta es el movimiento, sometido á condiciones dadas.

Geometría cartesiana. Es una de las analíticas. Su instrumento consiste en las coordenadas, intermediarios entre las ecuaciones y las figuras.

Geometría infinitesimal. Es una geometría intrínseca, es decir, que procede por la consideración inmediata de las figuras, sin intermediarios ó coordenadas.

El instrumento es la generación, por movimientos infinitesimales. Su representante más genuino es la Geometría cinemática, cuya creación se debe á Mannheim.

Geometría diferencial. Es una geometría cartesiana infinitesimal. Emplea las coordenadas; pero sus ecuaciones son diferenciales. Corresponde al método inverso de las tangentes. Por las direcciones de éstas, se obtiene la curva correspondiente. El instrumento es la integración. Su elemento generador es un complejo de dos puntos de una recta y su distancia infinitesimal. Por la integración resulta el todo, formado por estos elementos.

Geometrías proyectivas. Estas son analíticas ó sintéticas. La primera manifestación de esta Geometría se halla en la obra de Desargues, Brouillon projet (1639). Pascal empleó también la perspectiva. En el siglo xix Poncelet fué el más genuino representante de esta Geometría, fundada en la proyección central. Su instrumento consiste en las propiedades de las transversales, consignadas en los teoremas de Menelao y de Carnot. Estas propiedades son una variedad de la relación anarmónica.

a) La Geometría superior de Chasles es una Geometría analítica. Su instrumento es la relación anarmónica, que da un número correspondiente á un punto. Las diversas maneras de combinar los elementos (punto, recta, plano) dan las construcciones intermedias, por las que se obtienen las figuras. Sus instrumentos son las ecuaciones de dos, tres y cuatro términos.

Esta Geometría adquiere mayor generalidad al aplicarse al Álgebra de las formas. La relación anarmónica se traduce en una relación invariante, lo que establece la correspondencia entre el Álgebra y la Geometría. El instrumento es la transformación lineal, por el que adquiere esta Geometría un carácter sistemático.

b) La Geometría de la posición. Esta Geometría, debida á Staudt, es la Geometría superior de Chasles ó proyectiva, sin otra diferencia que haberse sustituido la expresión analítica de la relación anarmónica por la construcción gráfica de las formas armónicas. El instrumento de esta Geometría es el cuadrilátero completo.

Recapitulación. La Geometría es un organismo, cuyo carácter depende del método. Todas llegan al mismo fin, más ó menos directamente.

La Geometría elemental depende del método más sencillo, consistente en la superposición. Debe su nombre á su carácter primitivo, y á su método deficiente, el haberse detenido en las primeras determinaciones de las figuras. Sin embargo, los porismas de Euclides manifiestan la tendencia á elevarse á un grado superior, mediante el empleo de la doble razón; empresa que realizó Chasles en su Geometría superior, aprovechando los indicios de la obra de Euclides, en los fragmentos conservados de la obra de Pappus.

Las demás geometrías tienden al mismo fin, por procedimientos distintos. La Geometría descriptiva es eminentemente práctica, es la Aritmética de la Geometría. El arte de formar ú obtener las figuras.

Las otras geometrías son analíticas ó sintéticas; mejor sería decir: algorítmicas ó gráficas.

También son intrínsecas ó extrínsecas, según que estudien el objeto directamente ó empleando el elemento intermediario de las coordenadas.

La Geometría cinemática es una geometría infinitesimal intrínseca.

Aparte de las geometrías proyectivas, existen varias geometrías analíticas, tales son: La Cartesiana que comprende las coordenadas cartesianas y las polares y las Geometrías vectoriales de Bellavitis, Hamilton y Grassmann.

La Geometría diferencial comprende todas estas geometrías analíticas, después que Hamilton y Grassmann (hijo) introdujeron el elemento infinitesimal.

La Geometría diferencial, propiamente dicha, es la que introduce el elemento infinitesimal en el sistema cartesiano. Consta de dos procedimientos. Por el primero se traduce un problema en el lenguaje del cálculo diferencial. Por el segundo, integración, se pasa á la ecuación finita. Esta segunda operación es como el cálculo aritmético en la Algoritmia, que transforma en la realidad del número las expresiones del análisis.

La ecuación primitiva de una ecuación diferencial establece la realidad geométrica representada por ella.

Representaciones geométricas del número. Primeramente consideremos el fondo que constituyen los números enteros. Este puede considerarse como una serie discontinua en la que aparecen, por construcción ó formación directa, las potencias intercaladas entre todos los productos y los números primos intercalados entre unos y otros. La ley de distribución es muy complicada, y todavía no se conoce.

Legendre, el primero y después Lejeune Dirichlet, emplearon las series diatómicas para demostrar que en toda progresión aritmética existe una infinidad de números primos, así como Burckardt y Tchebychevv; y el príncipe Polignac obtuvo algunas propiedades interesantes, en sus Recherches nouvelles sur les nombres premiers (1851), estudiando los períodos de las series diatómicas, y las series medianas que tienden á formarse en medio de las series diatómicas, series constantes, cuya existencia demostró.

La obtención de un producto de números, hasta un número dado, en función de los números primos en él contenidos, demostrada por Legendre, y la expresión de los productos elementales, está dada en dicha memoria.

Pero la primera representación de los números complejos se debe á Gauss.

Herr Klein, cuyo talento eminentemente generalizador é intuitivo relaciona con facilidad suma las diversas teorías, contribuyendo eficazmente á la unificación de la ciencia, al mismo tiempo que da representación sensible y gráfica á los más abstrusos conceptos, expone una representación geométrica original del número, en su obra Zahlentheorie. Su objeto, en esta obra, es desarrollar geométricamente la teoría de las formas binarias bicuadráticas.

Á las fracciones continuas, cuyos desarrollos dan los valores aproximados de los números, corresponden ramas poligonales, por la izquierda ó por la derecha.

Las transformaciones lineales le conducen á referir unos sistemas de puntos á otros y á los sistemas geométricos, bajo la consideración de los grupos, interpretando el problema de la equivalencia, en los casos elíptico, parabólico é hiperbólico.

Estas interpretaciones llevan á la teoría de las funciones modulares, de que trata Herr Klein en sus extensas obras Vorl. ü d. Theor. d. elliptisch. Modul funct. (1890) y Vorlesungen über die automorfen Functionen (1897), y hace una representación gráfica de los ideales.

Por último, esta utilización de las concepciones geométricas en la Aritmética se ha realizado, de un modo en extremo original, por el profesor de la universidad de Kanisberg, Hermann Minkowski, en su Geometrie Zählen (1896) y en Diophantische Approximationen (1907).

§ 4.° Los sistemas matemáticos

Sistemas combinatorios. Ya se vió cómo la lógica algorítmica de Leibnitz, partiendo de los supremos conceptos que constituyen las categorías matemáticas, había establecido el fundamento más ideal de la Matemática; y que Boole y Jevons, por otra parte, ha bían fundado el Álgebra de la Lógica y el Cálculo simbólico, al que también contribuyó Morgan. Esta era la síntesis más general, puesto que parte directamente de los conceptos de la inteligencia. Es eminentemente subjetiva.

Á esta primera síntesis sigue otra de carácter objetivo. La combinatoria aplicada á objetos, en general, lleva á la teoría de los grupos, los cuales dominan todas las ramas de la Matemática, sean algorítmicas ó geométricas.

Descendiendo nuevamente de la teoría abstracta de los grupos, que solo se refiere á la combinación y al orden, llegamos á los sis temas algorítmicos, que son entidades más concretas, puesto que su materia es la cantidad, ó especialmente el número. Aquí hemos llegado á las proyecciones de los conjuntos, y á las que se realizan en los sistemas de los ideales de Dedekind.

Más particularmente, el Álgebra de las formas, por medio de las transformaciones lineales, nos da el amplio desarrollo de las teorías de invariantes, covariantes, etc., que conduce á innumerables combinaciones de proyecciones algorítmicas.

Descendiendo á los últimos grados, la teoría de funciones da lugar á muchas transformaciones, que llevan á sustituir unas cuestiones por otras más sencillas ó adecuadas para un fin propuesto. Vemos pues, que la transformación es el método más general de la Matemática.

Sistemas geométricos en el orden objetivo. Ya hemos visto cómo se realizan estas transformaciones, características de la Matemática, desde las cuestiones de la Geometría elemental, hasta las de las Geometrías proyectivas; y, ascendiendo de las transformaciones proyectivas, por sustituciones lineales, llegamos á otras tales, como las de Hirst y Cremona, á las correspondencias de Chasles, etc.

Ya se vió cómo la cuestión del postulado dió origen á las geometrías de Lobatschewsky y de Riemann. Éstas, juntamente con la de Euclides dan tres sistemas de relaciones geométricas, con igual valor lógico, igualmente ciertos. Todo depende de un coeficiente, el de la curvatura del espacio, de igual manera que al aplicarse la Matemática al orden físico, pueden resultar multitud de coeficientes ó parámetros, que expresan lo que discrepa el mundo ideal del real. Y se sabe que, en estas aplicaciones, lo importante es calcular el coeficiente, para armonizar el mundo ideal de la Matemática con el mundo real externo, análogamente á cómo la integral general de una ecuación diferencial da un sistema de valores arbitrarios, en el origen, á todas las variables dependientes, para valores dados de las independientes.

Sistemas geométricos en el orden subjetivo. Si de las simples transformaciones de sistemas de figuras, pasamos á los sistemas que resultan de diversos modos de concebir la inteligencia ó de los juicios que forma, al aplicarse al estudio de las figuras ó de la extensión, llegamos á sistemas distintos de los geométricos, según el sistema de axiomas que se toma como punto de partida que estableció Herr Hilbert (Grund. d. Geom.)

Sistemas algorítmicos. a) El primer sistema algorítmico que consideramos, es el de los números enteros contenidos en una forma cuadrática. El problema de más importancia, resuelto en la teoría de las formas respecto á este sistema, es el de la equivalencia de las formas.

b) Pero, elevándonos en la teoría de los números, hallamos el concepto superior de cuerpo finito; y tomando cada uno de éstos como un sistema de objetos ó elementos, llegamos á obtener, mediante sustituciones, las imágenes de dicho sistema que son diversos modos de ser del mismo, dependientes de las sustituciones efectuadas en sus elementos; y tenemos, según la representación de Dedekind, la expresión de las leyes fundamentales

Y tenemos todas las consecuencias que se obtienen por la aplicación de la teoría de los grupos al cuerpo de números. Entre las propiedades de un cuerpo, se halla la irreductibilidad de un sistema de m números ω1,.......,ωm respecto á un cuerpo C, dada por la imposibilidad de verificarse la relación

lo que permite establecer una teoría de cuerpos, análoga á la teoría de los simples números, cuyo desarrollo puede verse en el suplemento XI de Dedekind á las Vorles. ü Zahlentheor. de Dirichlet, que se eleva hasta la exposición de su teoría de los ideales y al estudio de las clases de ideales, es decir, al estudio de sistemas, dependientes de una base de m números dados.

b) El estudio de los invariantes, covariantes y sus especies, objeto del Álgebra de las formas, da origen á amplios sistemas transformables mutuamente, por el procedimiento de la sustitución lineal.

Los múltiples modos de formación, la dependencia de un número limitado de elementos fundamentales, la obtención de los invariantes, etc., correspondientes á una forma, son las cuestiones capitales de esta teoría.

Los invariantes y covariantes, igualados á cero, dan lugar á relaciones proyectivas.

Como en las demás teorías, la serie ilimitada de las formaciones invariantes depende de funciones enteras y racionales de un número finito de éstas. Podemos considerar:

La transformación de una forma en otra, dada de una manera general, por una sustitución lineal, la dependencia de dos formas de n y n + 1 variables, respectivamente, mediante el principio de traslación, el problema de la equivalencia ó de la transformabilidad lineal de una forma en otra y la afinidad de las mismas, etc.

Esta teoría trasciende al dominio geométrico, sirviendo para caracterizar individualmente las figuras, sus sistemas y las transformaciones de unos y otros, confirmando, con suma eficacia, esa compenetración del número y de la extensión que fija el doble aspecto de la Matemática, correspondiente á nuestra doble naturaleza.

d) La teoría de los grupos continuos es la exposición más amplia de transformaciones matemáticas, algorítmicas ó geométricas.

Las transformaciones lineales son tan solo una especie del conjunto de transformaciones tales, como las transformaciones puntuales, ó correspondencia entre un punto y otro punto, las transformaciones prolongadas, que consideran el elemento lineal, las transformaciones de contacto, que llevan á considerar las multiplicidades de elementos; las cuales se transforman mutuamente por dichas últimas transformaciones.

La consideración de n parámetros da una gran variabilidad á las funciones y á las figuras, que establecen el sumo de relaciones algorítmico-geométricas.

Pero otra importancia capital hay que admitir en esta superior rama de la Matemática: el tránsito á las cantidades finitas, por medio de los elementos infinitesimales, ó sea, la integración de las ecuaciones diferenciales, que resulta de la teoría de los grupos.

El problema de la integración de una ecuación de primer orden se reduce á obtener cierta transformación de contacto. Y además Lie hace ver, cómo las transformaciones infinitesimales influyen en el problema de la integración.

En esta teoría puede considerarse incluida la teoría de los co exos de Clebsch, sistemas, en los cuales, existen relacionados los puntos con las rectas de una figura, por la que se llega á las curvas integrales. Lo que constituye el método de integración geométrica de Clebsch.

Compenetración de los conceptos. En cuanto á la forma, tenemos las leyes de inclusión (que engendra los silogismos, lógicos ó matemáticos) que subordina los conceptos entre sí, por series de subsunciones; y produce la red ideal, que constituye la Ciencia.

La ley de sustitución, que en su acepción más abstracta conduce á la teoría combinatoria y á la de los grupos de sustituciones. De una manera más concreta, en el orden objetivo, conduce á la sustitución de condiciones en los teoremas. Así por ejemplo, en la Geometría, la sustitución de una recta por todas las que forman todos los ángulos posibles con ella (incluso el ángulo cero que reproduce la misma recta ó su paralela), da lugar á teoremas que son casos particulares de un teorema fundamental.

La ley de cambio ó de permanencia. Esta rige todas las transformaciones continuas ó discontinuas de los sistemas. Comprende toda clase de transformaciones, lineales, cremoniana, continuas, etc., é incluye como caso particular la invariación. Al transformase, de una manera continua, un sistema (Grupos continuos), algo queda invariante. Y en este caso origina la llamada Álgebra de las formas, que se compenetra con la Teoría de los grupos.

Y puesto que la teoría de los grupos comprende por igual la Geometría y el Análisis; de igual manera interviene la teoría de los invariantes, covariantes, etc., según la naturaleza de la cuestión que se trate.

La Geometría cartesiana y la de Staudt, examinan la misma cuestión, de distinto modo ó con distinto procedimiento. Son en esencia una. Aunque la primera, con recursos más poderosos, que le presta el Análisis; pues el número es siempre entidad más ideal y evoluble que el punto, la recta ó cualquiera otra figura geométrica.

Tenemos pues, que la invariación interviene directamente en el Álgebra de las formas é, indirectamente, en la Geometría, cuyos la variantes son los puntos en el infinito y los puntos circulares ó una cónica, y también en la teoría de las formas y en la de los grupos.

El concepto de grupo invade todos los dominios de la matemática.

La combinatoria, en general, sirve para dar elementos de expresión á las fórmulas, que están constituidas por los elementos cuantitativos y los representativos de orden ó de combinación.

El concepto de integral penetra también en todos los dominios, con su carácter analítico.

La diferencial es el elemento generador de todo, tanto en el orden algorítmico como en el geométrico.

Las curvas y superficies tienen una doble generación geométrica y analítica.

Así como, en la Naturaleza, un ser tiene un número indefinido de cualidades ó atributos, en las cuestiones matemáticas, intervienen conceptos varios, correspondientes á diversas teorías. Las categorías matemáticas, cuya concepción primera se debe á Leibnitz, rige los varios modos de concebir los objetos matemáticos y fijan cada teoría.

La distribución de las varias teorías de la Matemática no puede, por lo tanto, ser hoy la misma que hace medio siglo. Aquellas divisiones provisionales y sencillas que hacían consistir esta ciencia en ramas, en cierto modo independientes y de carácter muy distinto, tales como la Aritmética, el Álgebra, la Geometría, etc., se desvanecen en un fondo común que las absorbe, desmenuzándolas, para agrupar nuevamente los restos, formando elementos armónicos de un todo homogéneo. Hoy, solo por un esfuerzo de abstracción, puede separarse el número del fondo ó sustratum de la extensión. El punto se compenetra con el elemento infinitesimal ó es signo de un valor numérico; los números son etiquetas de los puntos ó lugares (Stelle). Un sistema algorítmico ó geométrico, es uno de los estados ó una proyección de los que tiene aquél en su indefinido mudar.

Según el espíritu actual de la ciencia, se hace depender todo sistema de un número finito de elementos fundamentales; pudiéronse, por lo tanto, establecer escalas ó graduaciones de entidades, desde los sistemas de unidades abstractas, hasta los ideales de Dedekind, desde los sistemas puntuales hasta los complejos y variedades.

Los grupos discontinuos, con su estructura propia, son como el esqueleto sobre el que luego se forman variados organismos, cuya materia está dada por números ó elementos geométricos, y permiten representar, tanto las funciones en sus reproducciones periódicas, en las fases de su variación, como figuras geométricas, aptas siempre para servir de sosten á nuevas relaciones algorítmicas. Y así el matemático se encuentra siempre dentro de un mundo de doble aspecto, según el modo de contemplarlo.

Resumen. Tenemos en cuanto al a) (pág. 54). Objeto: Espacio puntual ó analítico, que es el sustratum de la teoría de los números y de las funciones analíticas.

Espacios geométricos: Los espacios Euclídeos, que comprenden los: reglado, circular y esférico. Los espacios no-Euclídeos, que comprenden los de Lobatschewsky, de Riemann de Cayley y Klein. Los espacios de n dimensiones, que comprenden el estudio de las variedades.

b) Procedimientos. Las transformaciones, que son analíticas y geométricas. Las primeras comprenden el cambio de variables, y constituyen el instrumento más precioso del análisis, no hallándose sujetas á reglas generales, pues dependen de la cuestión á que se aplican. Su objeto es la simplificación de las expresiones; y por consiguiente, de los procedimientos.

Las transformaciones geométricas son numerosas, entre ellas las más importantes son: Transformación lineal, por radios vectores recíprocos, la Cremoniana, etc.

c) Principios subjetivos. Estos son: 1.º Principios lógicos, que comprenden los criterios, distintivos de las operaciones lógicas, que se refieren al sujeto. En este caso, se trata de los modos de actuar la inteligencia en la formación de los juicios lógicos, con subordinación á las categorías matemáticas, lo que ha originado el Álgebra de la lógica.

2.º Principios de las operaciones algorítmicas ó principios combinatorios de las operaciones, referidas al objeto, sea el número ó la extensión.

3.º Ideografía. Según el pensamiento de Leibnitz, la ideo grafía es un sistema de signos que representan inmediatamente las cosas y no las palabras [7].

El carácter eminentemente abstracto de la Matemática permite realizar, en esta ciencia, mejor que en ninguna otra el ideal de Leibnitz, que le conducía á fundar una lengua racional.

Los matemáticos, dedicados al Álgebra de la Lógica, han hecho progresar esta tendencia, cuya expresión más perfecta es el lenguaje simbólico, que se expresa en la Matemática por el cálculo simbólico, á cuyo desarrollo han contribuido Poisson, con sus paréntesis, Cauchy con sus claves algebraicas, Grassmann con su cálculo formal, y finalmente, Boole, Morgan, Peirce, Cayley y otros al fundar varias especies de Álgebra, etc.

El lenguaje matemático ordinario es un lenguaje simbólico. Las fórmulas son abreviaciones de ideas y de relaciones. Pero aún se conserva la huella inmediata de la palabra. Sustituye á ésta un sistema de signos más sencillo, formando un organismo, sometido á reglas fijas. Y aun el lenguaje puede adquirir un carácter esquemático, según se ve en los trabajos del Formulario matemático del señor Peano; y en particular, gráfico, convenientemente graduado.

Observación. Vemos que necesariamente, en la Ciencia, se siguen dos procesos inversos, por efecto de nuestra organización intelectual. Para seguir la Ciencia en su evolución natural, debemos comenzar por las primeras intuiciones de los objetos más simples, para elevarnos gradualmente de los elementos á los sistemas.

En este primer paso, la inteligencia acciona sobre objetos externos á la misma, de los que solo conserva la huella ó la representación, en forma de conceptos.

Pero, cuando el organismo está desarrollado en el orden objetivo, una reacción de la inteligencia hacia sí misma, desenvuelve un nuevo organismo, que envuelve al anterior por su más amplia generalidad.

La inteligencia actúa sobre sus mismos actos ó modos de proceder; y, abandonando el objeto externo (aunque muchas veces haya sido construido por ella, por la aplicación de algunas reglas ó combinaciones), sus mismos actos pasan á ser objetos de sus investigaciones; y, al cálculo objetivo, hace seguir el cálculo de sus propias operaciones, las que somete á las categorías matemáticas. Bien es cierto, que las operaciones tienen su origen en la inteligencia y son nuevos objetos intelectuales, que sin embargo, conservan la huella de su carácter subjetivo, ó se refieren á la acción intelectual.

Y desde el momento de la posesión del sistema de la ciencia, podemos descender, con sujeción al orden rigurosamente lógico, desde los primeros principios, hasta las últimas consecuencias.

Pero lo importante en la Ciencia no son estas consecuencias, cuyo número no tiene límite; sino los puntos culminantes que, á distintas alturas, son principios fecundos de multitud de verdades, á ellos subordinadas.

§ 5.º Síntesis general

Matemática es la ciencia de la cantidad. La cantidad es número ó extensión, discreta y continua. El número es la pluralidad y el orden. La extensión tiene forma. En la forma hallamos magnitud y posición. La posición permite, lo mismo que la pluralidad, el acto combinatorio (subjetivo), que en particular, origina la teoría combinatoria.

Pero, en general, la facultad combinatoria es el origen de toda la Matemática.

En abstracto, da primeramente origen á la Algoritmia y en segundo lugar á la Geometría y, especialmente, cada uno de estos dominios se extiende á la teoría de los grupos que, en la primera da el Álgebra, y en la segunda la Geometría numerativa, configuraciones, etc. Y en correspondencia con el Álgebra, la Geometría es la teoría del grupo de los movimientos.

Y solo, por conveniencia pedagógica, se hace la conocida división de las Geometrías; no siendo todas más que una sola ciencia, en sus varios grados y aspectos.

Así, lo llamado Geometría elemental, entre las geometrías, es la Determinativa elemental cuantitativa. La medida es su primera aplicación, ó la determinación cuantitativa (que es como la Aritmética en la Algoritmia) [8].

La llamada Descriptiva es una determinación cualitativa (de posición y forma) ó determinación general. Y empleándose ya el análisis (Descartes, Chasles), ya procedimientos puramente gráficos (Staudt), ya el procedimiento simbólico, cuyos elementos son lo imaginario y el infinito (Monge, Carnot, Poncelet, Laguerre), tenemos varias formas de la Geometría elemental ó constructiva, cuya materia es la medida (elemento cuantitativo) y la posición (elemento formal).

Y sobre ellas está la Geometría sistemática, aplicación de la teoría de los grupos, y que estudia las especies de grupos, proyectivo, de rotación, traslación, de los movimientos euclídeos etc.

La Algoritmia tiene la determinación elemental: suma, multiplicación, potenciación, con sus inversas, correspondiendo á la segunda la radicación y logaritmación, que originan las cantidades irracionales y trascendentes.

La Aritmética trata de los Algoritmos elementales, desde el punto de vista práctico. Es como un tratado de resolución de problemas ó ejecución, que lleva á la realidad del número el Tratado general de la Algoritmia finita ó el Álgebra.

El Álgebra resuelve, en su totalidad, el problema del Cálculo, correspondiente á la determinación geométrica, en sus dos fases, que constituyen el problema directo ó generación de las cantidades, por medio de los algoritmos elementales, y el problema inverso, ó resolución de ecuaciones. Como la Geometría, está subordinada á la teoría de los grupos, en la que se funda la resolubilidad de las ecuaciones.

Los sistemas de ecuaciones no deben considerarse como for mando sección aparte con el estudio de una sola ecuación. En Geometría se dan varias figuras, que determinan otras. En Álgebra lo mismo, respecto al número.

El problema general de la Matemática se reduce á determinar una cantidad ó varias por medio de otras dadas, ó establecer la coexistencia de elementos dados arbitrariamente, con otros determinados por los primeros.

La determinación es siempre posible (cuando no hay contradición), mediante la adjunción de nuevos elementos (imaginarios ó infinitos), cuya definición y determinación es objeto de los sistemas de Algebra que originan.

Pero en Geometría, como en la Algoritmia, la influencia de unos elementos en otros se deja sentir de varias maneras. Unos fluyen ó varían, determinando, al variar, objetos diversos, ya sean cantidades numéricas, ya líneas, superficies, etc.; y otros permanecen invariantes; de lo que resultan las relaciones expresadas por los invariantes y covariantes de diversas especies.

Además, podemos imponer condiciones expeciales. Por ejemplo, que se trate solo de números enteros; y entonces aparece la teoría de los números, cuyo instrumento es la ecuación de congruencia; y como en Geometría las figuras, en esta rama, aparecen las clases de números, pudiéndose parangonar cada clase de números á una figura determinada.

Así como, por ejemplo, tenemos el espacio surcado ó lleno de complejos, congruencias de rectas, superficies, etc., y hasta de complejos de círculos, etc.; los números se destacan sobre el fondo de los diversos dominios, en virtud de las leyes que fija la inteligencia, ya mediante algoritmos impuestos, ya mediante la simple correspondencia que da la función analítica.

El caso más sencillo de estas relaciones, en los dominios de puntos, está dado por las secciones de Dedekind, que corresponden á los números irracionales, intercalados con los racionales en el dominio continuo, ó simplemente, el continuo.

En general, el estudio de las funciones de variables reales tiene por soporte ó sustratum las varias especies de conjuntos, constituyendo así la teoría de los conjuntos, una rama importante en la teoría de las funciones, que estudia sus oscilaciones, saltos, etc., para llegar á su clasificación.

Tomado el plano de Cauchy ó la superficie de Riemann, se tienen nuevos dominios, en los que se desarrolla la teoría de las funciones de variables complejas y analíticas; donde se hallan, como capítulos importantes, la teoría de los residuos de Cauchy y la prolongación analítica de Weierstrass.

Esta rama del Análisis puede llamarse Cálculo directo de las funciones; su objeto es la formación de las mismas y la investigación de sus propiedades; y corresponde á la parte de la Algoritmia, donde se estudia la forma de las expresiones, y además, lo esencial de la cantidad, en cada una de sus formas. Tanto en la teoría de las funciones de variables reales como en la de las de variables complejas, se trata además, de las oscilaciones y los saltos, de sus singularidades y en las clases superiores de su periodicidad, simple y múltiple.

Las series, los productos infinitos y las integrales definidas, son las formas generales de las funciones que, en su último caso, son las trascendentes, comprendiendo dentro de esta extensión las funciones enteras y racionales, los dominios más reducidos, á las que siguen las irracionales; pues tenemos, sobre éstas, las funciones logarítmicas, las circulares é hiperbólicas, las eulerianas, las elípticas, etc.

Pero el Álgebra y la teoría de los números que estudian las cantidades finitas y la teoría de las funciones, ya de variables reales ó complejas, quedan muy reducidas ante los problemas que se presentan en la teoría general de las funciones; las series y los productos infinitos son instrumentos de su determinación; y además de este estudio de la cantidad, existe el estudio de su generación infinitesimal.

Los cálculos llamados diferencial é integral corresponden á una primera fase del estudio de las funciones, bajo forma explícita.

El cálculo de las diferencias finitas, directas é inversas, es el cálculo generador, por medio del primer algoritmo fundamental; y el cálculo de las factoriales da la generación, por medio de la suma y de la potenciación, siendo la teoría de las ecuaciones de diferencias el complemento, análogo al de las ecuaciones algebraicas, que permite el cálculo general de las funciones implícitas.

Además, el cálculo de las variaciones es análogo al de la sistematización geométrica. De igual manera que en ésta, una figura se transforma en otra y el plano ó el espacio se hallan poblados ó cubiertos por infinidad de formas geométricas, los dominios numéricos ó funcionales se hallan poblados de funciones, al permitir el cálculo de variaciones pasar de una función á otra muy próxima, y variar, hasta deformarse, como las figuras geométricas; y, ciertamente, auxiliándose de representaciones geométricas, que son sus esquemas, ó entidades geométricas, debidas á una generación algorítmica, por efecto de la compenetración ó correlación, que tienen entre sí el número y la extensión; pudiendo, indiferentemente, sustituirse los puntos por números y los números por puntos.

Y sobre este cálculo de las diferencias finitas existe el cálculo infinitesimal. La derivada en éste es como la unidad en Aritmética. Mediante las derivadas, las funciones se relacionan unas con otras. La derivada señala la ley de crecimiento de cada función, al mismo tiempo que por su representación geométrica, da el modo de generación de las curvas que se extiende al de las superficies.

El cálculo integral da la generación de las funciones por medio de sus elementos; es el cálculo que se funda en una unidad variable, la diferencial, y que tiene por base una escala indefinida de cantidades de los diferentes órdenes infinitamente grandes ó pequeñas, las unas respecto de las otras.

El esquema geométrico de la integral es el área que representa la integral definida; pero la integral es independiente de su representación; y la inteligencia mantiene dicha independencia.

Esta generación por suma se completó á principios del siglo xix por otra generación que dió origen al nuevo cálculo y teoría de las Facultades. De manera que las series, los productos infinitos y facultades son los tres instrumentos, medios de expresión á que pueden reducirse todas las cantidades, conocidas hasta el presente.

El vasto campo del cálculo infinitesimal comprende, no solo las funciones arriba enumeradas, sino las funciones gamma ó eulerianas, las de Laplace, de Fourier, de Legendre, de Bessel, de Prym, de Binet, esféricas, cilíndricas, las series de Herschell, de Lagrange, de Laplace, de Burmann, de Wronski, etc.

Estas referencias nos conducen á la evolución matemática, que ha predominado en el siglo xix, á saber, la de las funciones elípticas.

Los matemáticos de los siglos anteriores habían llegado trabajosamente, en el solo dominio de las cantidades reales, hasta las transcendentes más sencillas, tales como el logaritmo y las fuciones circulares y aun á las funciones eulerianas. Posteriormente se conoce la serie hipergeométrica. El dominio de las transcendentes se dilata con las integrales elípticas. Y por el problema de la inversión se llega á las integrales elípticas que, participando de la función logarítmica y de la exponencial, poseen una doble periodicidad.

Innumerables son las memorias publicadas acerca de estos nuevos descubrimientos, que se enlazan desde luego con las representaciones de Cauchy y más tarde con la de Riemann, que se aplican á las nuevas funciones como á las demás. Especialmente las transcendentes abelianas han exigido, para su desarrollo y fácil exposición todo el contingente importado por Riemann con el Analysis situs, y aun los recursos de la Geometría numerativa, que parten de las formulas de Plücker. Y basta, para formarse una idea de tan inmenso desarrollo, leer Die Entwicklung der Theor. d. Algebr. Funct., de los Sres. Brill y Nöther.

Por otra parte, la teoría de las funciones analíticas se desarrolla, sobre los materiales que aún permanecen fijos del edificio clásico. Sus tres bases actuales son las singularidades, los conjuntos y los grupos.

Como la teoría de las ecuaciones diferenciales, con la que se asimila, constituyendo su antecedente necesario, ó su aspecto complementario, en la relación según la que se hallan la existencia explícita ó implícita de un ser, tal como existen los simples en los compuestos de la Naturaleza, la teoría de las funciones analíticas presenta inagotables dificultades. La Ciencia ofrece siempre campo para la exploración; se renueva constantemente; su aspecto cambia, su esfera se dilata. Cuanto más parece estar hecha, más está por hacer.

De ello dan testimonio los muchos trabajos que se publican en Revistas y obras especiales. Debe consignarse especialmente la serie de monografías (Collection de monographies sur la théorie des fonctions) que se publican bajo los auspicios de M. Borel.

Además, según la dirección de los descubrimientos de Fourier, citaremos las últimas publicaciones de los Sres. Harnack, Klein y Neumann, en Alemania, de Niels Nielsen, en Dinamarca y, en Italia, del Sr. Dini; en la dirección de Lie y Fuchs, colaboran espléndidamente Herr Klein, así como los discípulos Engel y Scheffers, de Lie, etc.; los trabajos de Brill y Nöther, las obras de Fricke, Hilbert, Hansen y Landsberg en direcciones varias, etc.

Stolz en su Vorl. ü Allgem. Arithm., llevó hacia la teoría de los números estos desarrollos en que se nota preferentemente la influencia de Weierstrass, así como los profesores Hilbert, Pringsheim, Weber, etc., en varias direcciones.

Por último, como en las teorías anteriores, sobre el cálculo integral, que engendra directamente, calcula y determina las propiedades de las funciones, se halla el cálculo general de las ecuaciones diferenciales. Esta álgebra de lo infinito, que en vez de hacer explícito un valor, transporta á una cantidad de una región del quantum á otra incomparable con ella, de orden distinto, ha de hacer explícita una cantidad finita, de entre las relaciones infinitesimales que la envuelven, por relaciones impuestas en cada ecuación; aspirando, por consiguiente, á resolver el problema de mayor dificultad en él dominio de la cantidad. Y así, como en las ecuaciones algebraicas, no siempre es posible expresar por los signos del Álgebra, mediante un número finito de términos, la incógnita, oculta bajo la forma de una ecuación finita, en la teoría de las ecuaciones diferenciales esta dificultad se halla complicada con la de transportar la cantidad de un dominio infinitesimal á otro finito.

La teoría de las ecuaciones diferenciales, que constituye el problema general de la obtención de las funciones, comprende la rama superior de la Matemática, que envuelve bajo su indefinida extensión y comprende, como dominios subalternos todas las de más ramas que se refieren al número y á la extensión, constituyendo la superior síntesis en que se funden estas, dos manifestaciones de la cantidad. Y, en efecto, desde su origen, al formularse el problema inverso de las tangentes, nace el cálculo integral y por consiguiente, la teoría de las ecuaciones diferenciales con un carácter eminentemente geométrico. Las integrales vienen representadas por curvas, las soluciones singulares se presentan bajo la forma de envolventes, las integrales definidas se esquematizan por medio de áreas. Y más tarde, bajo la influencia de Cauchy, las integrales tienen por sosten contornos dados; y sucesivamente, los puntos singulares se contienen en contornos infinitesimales, y llegan á ocupar líneas ó cortaduras y aún espacios lagunares.

Lo imaginario interviene de un modo sistemático para dar una representación geométrica á las funciones; y complicándose las circunstancias especiales en que éstas existen, según su propia naturaleza ó según las condiciones impuestas para formarlas, es necesario que los principios de la Combinatoria concurran á determinar y clasificar dichas circunstancias. Las fórmulas de Plücker son un fundamento necesario, como las características de Chasles, como las conexiones de Riemann para ordenar las afecciones varias de cada función; para estudiarlas y seguirlas en todos sus detalles.

Por otra parte, el empleo de las desigualdades que rigen la continuidad de las funciones, permitiendo la prolongación analítica y seguirlas en sus desarrollos, por series, productos infinitos, integra les definidas y, cuantas maneras de expresarlas se conocen, completan desde el punto de vista numérico, aquellas determinaciones geométricas que rigen su multiplicidad, sus singularidades, su periodicidad, etc. Todo lo que hoy conduce á dar su representación, por medio de sus ceros, sus polos y sus puntos esenciales.

Pero estos problemas, á pesar del inmenso avance de la Matemática en el siglo xix, aún presentan dificultades, y dejan amplísimo campo á la investigación, justificando ese incremento de la Matemática por intus-susception, por desarrollo interno de ciertos conceptos ó puntos especiales que la dilatan de dentro á fuera, á pesar de su carácter eminentemente sintético y deductivo; lo que resulta de la identificación de los dos procesos analítico y sintético en todo el curso del encadenamiento ideal.

No hay más que recorrer las conferencias dadas por M. Picard, bajo el título, Sur le développement de l'Analyse, para formarse una idea del trabajo titánico que requiere el ir conquistando las posiciones que el campo de la Matemática ofrece á la inteligencia. Pues si el mundo de la materia ofrece variedad de hechos sin cuento, las relaciones del número y la extensión tan solo, se mueven en el campo de la inteligencia, y originan un mundo ideal, no menos extenso que el contemplado al través de nuestros sentidos.

M. Picard recorre algunos de los puntos culminantes de la teoría desde que Cauchy comenzó la serie de investigaciones que se han sucedido, para establecer el teorema de la existencia de las integrales de las ecuaciones diferenciales, señalando algunos resultados paradojales que habían sorprendido á los matemáticos, cuyos esfuerzos han contribuido lentamente á disiparlos y hacer brotar de ellos la luz. Los conceptos de la integral de las ecuaciones de derivadas parciales se han depurado por las investigaciones de varios de los actuales matemáticos, especialmente de M. Darboux, el más caracterizado representante de aquella evolución clásica y M. Goursat; y aun debe citarse al mismo M. Picard, cuyo método de las aproximaciones sucesivas es hoy uno de los fundamentos capitales de la moderna teoría, á la que han contribuido actualmente los señores Poincaré, Painlevé, en Francia, Mittag-Leffler, en Suecia, y Forsyth, en Inglaterra, etc.

Hay que seguir, por otra parte los resultados que comienzan en Puiseux, Briot y Bouquet, y que se desarrollan por Herr Fuchs, bajo la influencia de Weierstrass, al fundarse en las singularidades de las ecuaciones diferenciales lineales. Y bastará citar la representación asintótica de M. Poincaré, sus trabajos sobre las soluciones periódicas y sus numerosos procedimientos de integración, publicados en Les méthodes nouvelles de Mécanique céleste y Legons de Mecanique celeste.

Constituído el mundo de la Algoritmia, ya solo queda establecer las armonías y correspondencias con el de la Geometría, á que concurren, en diverso grado, la geometría elemental, proyectiva, analítica é infinitesimal, con la varia eficacia que les dan sus métodos respectivos.

Vemos ya constituido el inmenso organismo del mundo matemático, las cantidades numéricas y geométricas, generadas y conocidas por sus propiedades y en sus relaciones con las demás; pero esto no basta. Es necesario relacionarlas con un lazo común. Este es la noción de grupo.

El estudio de los grupos, en toda su generalidad, es el de todos los casos posibles en sistemas dados de elementos.

Dicho estudio se reduce á investigar el modo de hallarse constituído el grupo total de combinaciones de varios objetos, mediante los diversos grupos parciales. Y esta teoría, por su generalidad, es aplicable á todas las ramas de la Matemática.

Los grupos ya tienen un carácter aritmético, siendo discretos y discontinuos; ó, teniendo un carácter analítico, se refieren á la variación continua posible de la cantidad abstracta ó geométrica.

Sin embargo, la teoría de los grupos, que domina en la Algoritmia como en la Geometría, no constituye más que un capítulo, el más importante, en verdad, de la rama esencialmente formal llamada Combinatoria.

La Algoritmia y la Geometría se edifican sobre cada uno de sus dos objetos propios: el número y la extensión. Y desde este momento se ejerce la acción combinatoria de nuestra inteligencia para formar los diversos algoritmos ó sistemas geométricos.

Pero sobre esta acción combinatoria, que forma las entidades matemáticas, hallamos otra, en la que predomina esencialmente el concepto de combinación, y que se manifiesta primeramente en las llamadas operaciones combinatorias. En estas podemos considerar dos aspectos:

1.º Al formar los objetos matemáticos, la repetición de operaciones conduce necesariamente á resultados en que se manifiestan las leyes combinatorias que los rigen, y cuyas primeras manifestaciones se obtuvieron en los números poligonales, cuya aplicación se ve en el triángulo de Pascal y en el binomio de Newton; y luego se han manifestado en infinidad de fórmulas, tales como las que expresan los números de Euler, de Bernoulli, etc.

Además, investigaciones especiales han conducido á resultados tales como la partición de los números de Euler y á las funciones generatrices, en cuya constitución domina el carácter combinatorio, el cálculo de probabilidades, primera aplicación concreta de la combinatoria, que relaciona el total de las combinaciones posibles con las favorables.

En concreto, con aplicación á la Geometría, hallamos el estudio de las posibilidades de existir ciertas relaciones ó verificarse determinados hechos, que ya se han reunido en la rama llamada Geometría numerativa, y, en abstracto tenemos el cálculo simbólico ó formal, que se refiere principalmente á la forma de las relaciones, prescindiendo del objeto, por el cual se han constituído distintos sistemas de Álgebras, y que, aplicándose á la Geometría, han dado sistemas geométricos tales como los de los cuaternios, el tratado de la extensión de Grassmann, etc., que hoy se contienen en los sistemas vectoriales. En la teoría de las funciones, las conexiones de las superficies, lleva al Analysis situs.

2º Y finalmente, la combinatoria aplicada á las operaciones del espíritu, llega á la teoría del silogismo en el caso de cuantificarse el predicado, obteniendo la rama llamada Álgebra de la lógica, que traduce las operaciones del pensamiento en fórmulas matemáticas.

La acción provechosa de la Filosofía, sirve para producir una reacción en la Matemática; que siempre queda encerrada en sus dominios, conservando su completa independencia de los cambios de sistemas filosóficos, de los exclusivismos de éstos. Pero en el desenvolvimiento de la inteligencia humana, el resplandor de las ideas más abstractas ha iluminado el mundo concreto, que se modela siempre bajo la forma que le dan aquéllas. El análisis, fija, robustece y depura esta correspondencia.

Las relaciones de los desenvolvimientos filosófico y matemático deben examinarse, aunque éstas no sean tan manifiestas como en las ciencias psicológicas.

El primero no constituye más que una aspiración irrealizable; pero tendencia que ilustra las cuestiones, sin resolverlas definitivamente, porque se aplica á la infinitud de la comprensión de los objetos, cuyo estudio jamás se agota, y que depende del carácter exclusivista de cada sistema filosófico.

Por el contrario, el matemático, celoso de su ciencia, y tratando constantemente de mantener la fijeza y solidez del edificio que construye, sin desatender los consejos de la primera, las perfecciones con que le brinda, los defectos que le señala, se fortifica en el recinto de sus definiciones, cuidadoso muy principalmente ó á veces exclusivamente, de salvar el principio de contradicción y se encierra en el campo limitado de sus definiciones, que constituyen los principios fundamentales de sus teorías, procurando á lo más, en las fronteras de su ciencia, corregir y perfeccionar sus primeros principios ó postulados, que simplifica y reduce en lo posible, tendiendo á armonizar sus conceptos ideales con la realidad á que deben aplicarse constantemente aquéllos; y conseguir paulatinamente que lo abstracto se vaya concretando, mediante aplicaciones sucesivas y crecientes.

Aunque la intuición es la característica en el dominio elemental, en las regiones superiores, el razonamiento matemático consiste en prescindir de la intuición, cimentándose en el idealismo de sus definiciones y de sus construcciones simbólicas ó ficticias, como, por ejemplo, la esfera en el espacio de n dimensiones, etc.

La aspiración constante de Poncelet, respecto al principio de continuidad se realiza. La Matemática forma con ideas una trama continua y sólida, que nada puede quebrantar, pues aquéllas por su generalidad, se oponen á las contingencias de lo individual, cuya multiplicidad en su contenido conduce á lo eternamente discutible y difícilmente determinable. Los hiperespacios y los conjuntos son dominios ficticios que constituyen sistemas completos.

Este alejamiento de la intuición en las definiciones y conceptos matemáticos, se compensa ó neutraliza, sin embargo, con representaciones tales como las de Riemann y Klein, y en genera!, con un procedimiento complementario, á saber, los sistemas de transformaciones. Por éstos se pasa de un sistema de objetos á otro sistema de mayor sencillez.

Así se pasa, por ejemplo, de la Geometría sobre una superficie á la Geometría sobre un plano. Las transformaciones lineales constituyen el procedimiento mas generalizado. Á éste siguen las transformaciones isogonales ó representación conforme; y otras muchas pudieran citarse, como las transformaciones Cremonianas, etc.

Estas transformaciones hoy constituyen la vasta Teoría de los grupos de transformaciones, que comprende dentro de su generalidad el Álgebra de las formas. El rígido enlace suple á la intuición en estas sustituciones de unos sistemas por otros, más convenientes para nuestros fines, hacia la demostración de las verdades ó hacia la simplificación de las cuestiones.

Puede afirmarse que el método matemático, consiste en una serie de sustituciones, que siempre reducen el estudio de las teorías más complejas a las mas simples y fundamentales, cuya verdad queda así incluída en la de las fundamentales, establecidas de un modo directo.



  1. Coutural. La Logique de Leibniz. p. 299.
  2. Aunque en otro sentido más práctico, pueden citarse las Integraltafeln oder Sammlung von Integralformeln de Meier Hirsch (1810), y Nouvelles Tables d' integrales définies de Bierens de Haan (1867), que contienen 8.359 integrales. El Formulario del Sr. Penno, tiene esta tendencia de clasificación, basada en un análisis lógico de las proposiciones y su expresión esquemática
  3. Les définitions en mathématiques (L' Enseign math., 1904, p. 267).
  4. El profesor Sr. A. Padoa publicó un interesante trabajo, titulado Un nouveau système irreductible de postulats pour l'Algebre (Comp. rend du deuxieme une Congrès International des mathématiciens, 1902), cuyo extracto se publicó en el Progreso matemático.
  5. Véase también L'Enseig. mathématique, 1905, p. 89.
  6. Les axiomes de la Géometrie (L'Enseig. math. 1905. p. 89).
  7. Couturat, La Logique de Leibniz. p. 61.
  8. A la Aritmética, arte de contar, corresponde la Geometría descriptiva, que es el arte de trazar figuras, que se subordina á la Geometría cinemática.