Los seis primeros libros, y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides/Libro I

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Nota: Se respeta la ortografía original de la época
ELEMENTOS
DE EUCLIDES.


LIBRO PRIMERO.


DEFINICIONES.


I.

PUnto, ó signo es lo que no tiene partes, ó lo que no tiene magnitud.

II.

Linea es una longitud sin latitud.

III.

Los extremos de la linea son puntos.

IV.

Linea reƈta es la que se extiende igualmente entre sus puntos.

V.

Superficie es lo que solamente tiene longitud, y latitud.

VI.

Los extremos de la superficie son lineas.

VII.
Superficie plana es aquella, en la qual tomados dos puntos qualesquiera, la reƈta terminada por ellos se halla toda en la misma superficie.
VIII.
"Angulo plano es la inclinacion de dos lineas una á otra, que se encuentran mutuamente en un plano, y no están direƈtamente."
IX.
Angulo plano reƈtilineo es la inclinacion de dos reƈtas una á otra, que se encuentran, y no están direƈtamente.
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 "Nota. Quando muchos ángulos están en un punto B, se ex»presa cada uno de ellos con tres letras del alfabeto, colocando la que está en el vértice del ángulo, esto es en el punto, en que mutuamente se encuentran las redas que comprehenden el ángulo, en medio de las demas, y estas son una de cada extremo de las reƈtas. Así el ángulo comprehendido por las reƈtas AB, CB, se señala con las letras ABC, ó CBA; y el contenido por las reƈtas DB, CB se expresa por DBC, ó CBD. Pero si solo se halla un ángulo en el punto, podrá expresarse con sola la letra puesta en aquel punto, como el ángulo en E."

X.
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Quando una linea reƈta insistiendo sobre otra forma los ángulos contiguos iguales entre sí, son reƈtos ambos, y la reƈta, que insiste, se llama perpendicular á la otra.
XI.

Angulo obtuso es el mayor que un reƈto.

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XII.

Angulo agudo es el menor que un reƈto.

XIII.

"Término es el extremo de algo."

XIV.

Figura es la que está contenida por alguno, ó algunos términos.

XV.
Círculo es una figura plana contenida por una sola linea llamada circunferencia, á la qual todas las reƈtas tiradas de un punto, que está dentro de la figura, son iguales entre sí.
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XVI.

Este punto se llama centro del círculo.

XVII.
Diámetro del círculo es una reƈta tirada por el centro, y de ambas partes terminada en la circunferencia.
XVIII.
Semicírculo es la figura contenida por el diámetro, y el arco del círculo cortado por este.
XIX.
"Segmento del círculo es la figura contenida por una reƈta, y por un arco de círculo."
XX.

Figuras reƈtilineas son las contenidas por lineas reƈtas.

XXI.

Triláteras las contenidas por tres reƈtas.

XXII.

Quadriláteras las contenidas por quatro.

XXIII.

Multiláteras son las contenidas por mas de quatro reƈtas.

XXIV.
De las figuras triláteras, triángulo equilátero es el que tiene todos sus lados iguales.
XXV.

Isósceles el que tiene solamente dos lados iguales.

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XXVI.

Escaleno el que tiene los tres lados desiguales.

XXVII.
Demas de esto entre las figuras triláteras, triángulo reƈtángulo es el que tiene un ángulo reƈto.
XXVIII.

Obtusángulo el que tiene un ángulo obtuso.

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XXIX.

Acutángulo el que tiene los tres ángulos agudos.

XXX.
De las figuras quadriláteras, quadrado es la equilátera, y reƈtángula. (Esto es, la que tiene todos los lados iguales, y todos los ángulos reƈtos.)
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XXXI.
Quadrilongo es la que tiene los quatro ángulos reƈtos, pero no todos los lados iguales.
XXXII.
Rombo es la que tiene todos los lados iguales, pero no los ángulos reƈtos.
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XXXIII.
Romboyde es la que tiene los lados opuestos iguales; pero sin ser equilátera, ni reƈtángula.
XXXIV.
Qualquiera otra figura quadrilátera fuera de estas se llama trapecio.
XXXV.
Paralelas, ó equidistantes son las reƈtas que estando en un mismo plano, prolongadas por ambas partes al infinito, jamás se encontrarán.







POSTULADOS.
I.

TIrar una reƈta de qualquier punto á qualquier otro punto.

II.

Prolongar al infinito , y direƈtamente una reƈta terminada.

III.

Con qualquier centro , é intervalo describir un círculo.

AXIOMAS.
I.

LAS cantidades iguales á una misma son iguales entre sí.

II.
Si á cantidades iguales se añaden cantidades iguales, los todos serán iguales.
III.
Si de cantidades iguales se quitan cantidades iguales, los residuos serán iguales.
IV.
Si á cantidades desiguales se añaden cantidades iguales, los todos serán desiguales.
V.
Si de cantidades desiguales se quitan cantidades iguales, los residuos serán desiguales.
VI.
Las cantidades que son duplas de una misma, son iguales entre sí.
VII.
Las que son mitades de una misma, son iguales entre sí.
VIII.
Las cantidades que mutuamente se ajustan, son iguales entre sí.
IX.
El todo es mayor que su parte.
X.
Dos lineas reƈtas no encierran espacio.
XI.
Todos los ángulos reƈtos son iguales entre sí.
XII.
"Si una reƈta cayendo sobre otras dos forma los ángulos internos á la misma parte menores que dos reƈtos; prolongadas concurrirán ácia aquella parte, donde hacen los ángulos menores que dos reƈtos. Véanse las notas á la Proposicion 29 del Libro I."
PROPOSICION I. PROBLEMA.

S

Obre una reƈta [1] dada terminada construir un triángulo equilátero.

Sea la reƈta dada terminada AB; y háyase de construir sobre ella un triángulo equilátero.

Con centro A, é intervalo AB descríbase un círculo a BCD; a Postulado 3. asimismo con centro B, é intervalo BA descríbase el círculo ACE; y desde el punto C, donde se cortan mutuamente las circunferencias de los círculos, tírense las reƈtas b b Post. 1. CA, CB á los puntos A, B; y resultará el triángulo equilátero ABC.

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Porque siendo el punto A centro del círculo BCD, será igual cc Definicion 15 la reƈta AC á la AB: asimismo siendo el punto B centro del círculo CAE, será la recta BC igual á la reƈta BA: y yá está demostrado, que la reƈta CA es igual á la AB; luego ambas reƈtas CA, y CB son iguales á AB: es así que las cantidades iguales á una misma son iguales entre sí d:d Axioma 1. luego la reƈta CA es igual á la CB. Luego las tres reƈtas CA, AB, BC son iguales entre sí. Por consiguiente será ABC un triángulo equilátero, y estará construido sobre la reƈta dada terminada AB. Lo que debia hacerse.


PROP. II. PROBL.

DE un punto dado tirar una reƈta igual á otra dada.

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Sea el punto dado A, y la reƈta dada BC, y háyase de tirar desde dicho punto una reƈta igual á la BC. Tírese desde el punto A al punto B la reƈta AB aa Post. 1., y constrúyase sobre ella un triángulo equilátero DAB bb 1. I.: prolónguense DA, y DB cc Post. 2.; y con centro B, é intervalo BC descríbase el círculo d Post. 3. CGH d. Descríbase también con centro D, é intervalo DG el círculo GKL, y será AL la reƈta que se pide.

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Porque siendo el punto B centro del círculo CGH, será la reƈta BC e Def. 15.

f Axi. 3.
igual á la BG e. Y siendo del mismo modo D centro del círculo GKL, será la reƈta DL igual á la DG, de las quales la parte DA es igual á la parte DB; luego la restante AL será igual á la restante BG f: pero ya queda demostrado, que la BC es igual á la BG: luego una y otra AL, y BC son iguales á la reda BG: es así que las cantidades iguales á una misma son iguales entre sí: luego tambien la reƈta AL es igual á la BC. Por consiguiente se ha tirado del punto dado A la reƈta AL igual á la reƈta dada BC: L. Q. D. H.

PROP. III. PROBL.

D

Adas dos rectas desiguales; cortar de la mayor una parte igual á la menor.

Sean las dos reƈtas desiguales: AB la mayor, y C la menor; y háyase de cortar de la AB una parte igual á C.

a 2. I.Tírese del punto A la reƈta AD a igual á la reƈta C, y con centro A, é intervalo AD descríbase un círculo DEF b, y será AE la parte que se pedia.

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b Post. 3.Porque siendo A centro del círculo DEF, será igual la reƈta AE á la AD: tambien la reƈta C es igual á la AD: luego las dos AE, y C son iguales á la AD 5 por lo qual la reƈta AE es igual á la C. Dadas pues las dos reƈtas desiguales AB, y C, se ha cortado de la mayor AB una parte igual á la menor C. L. Q. D. H.

PROP. IV. TEOREMA.

S

i dos triángulos tienen dos lados del uno respeƈtivamente iguales á dos lados del otro, é iguales los ángulos contenidos por estos lados, tendrán las bases iguales: el un triángulo será igual al otro; y los demas ángulos opuestos á lados iguales serán tambien iguales.

Sean dos triángulos ABC, DEF, que tengan los dos lados AB, AC respeƈtivamente iguales á los dos DE, DF 5 es á saber el lado AB igual al DE, y el AC al DF 5 y el ángulo BAC igual al EDF. Digo, que tambien la base BC será igual á la base EF, el triángulo ABC igual al triángulo DEF, é iguales los demás ángulos opuestos á lados iguales; esto es, que el ángulo ABC será igual al DEF, y el ACB al DFE.

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Porque sobrepuesto el triángulo ABC al DEF, y colocado el punto A sobre el D, y la reƈta AB sobre la DE, caerá tambien el punto B sobre el E, por ser la linea AB igual á la DE; y por consiguiente caerá del mismo modo la reƈta AC sobre la DF, pues el ángulo BAC es igual al EDF; por cuya razon el punto C caerá sobre el F, siendo la reƈta AC igual á la DF: ademas de esto el punto B coincide con el E: consiguientemente la base BC cae sobre la base EF 5 porque si cayendo el punto B sobre el E, y el C sobre el F, no cayera la base BC sobre la EF, dos reƈtas encerrarian espacio, lo qual es imposible a Axi. 10.: por conseqüencia todo el triángulo ABC se ajustará al triángulo DEF, y será igual á él; y los ángulos restantes se ajustarán á los restantes, siendo al mismo tiempo iguales á ellos: es á saber el ángulo ABC al DEF, y el ACB al DFE. Luego si dos triángulos tuvieren &c. Lo que debia demostrarse.

PROP. V. TEOREMA.

L

os ángulos en la base del triángulo isósceles son iguales entre sí; y prolongados sus lados, serán tambien entre sí iguales los ángulos, que están debaxo de la base.

Sea isósceles el triángulo ABC, y tenga el lado AB igual al AC; y prolónguense AB, AC. Digo, que el ángulo ABC será igual al ACB, y el CBD al BCE.

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Porque tómese qualquier punto F de la reƈta BD, y córtese de la linea mayor AE la parte AG aa 3. I. igual á AF menor, y tírense las reƈtas FC, GB. Siendo pues la AF igual á la AG, y la AB á la AC , las dos reƈtas FA, AC son respeƈtivamente iguales á las dos GA, AB, y contienen el ángulo comun FAG: por conseqüencia la base FC será igual bb 4. I. á la base GB , el triángulo AFC igual al AGB, é iguales entre sí los ángulos ACF, AGB opuestos á los lados iguales AF, AG, como también los ángulos AFC, AGB opuestos á los lados AC, AB. Y por quanto la reƈta AF entera es igual á la AG, y su parte AB igual á la AC, será tambien la BF restante igual á la CG restante cc Axi 3.; pero ya está demostrado que FC es igual á GB: luego las dos BF, FC son respectivamente iguales á las dos CG, GB, y el ángulo BFC igual al CGB, y la BC base comun á ambos. Será pues el triangulo BFC igual al CGB, y los demas ángulos opuestos á lados iguales, respeƈtivamente iguales entre sí: luego el ángulo FBC es igual al GCB, y están debaxo de la base; y el ángulo BCF igual al CBG. Así estando ya demostrada la igualdad del ángulo ABG total al total ACF, de los quales la parte CBG es igual á la BCF, serán por consiguiente los ángulos ABC, ACB iguales entre sí; y están sobre la base del triángulo ABC. Por consiguiente los ángulos &C L.Q.D.D.

Corolario. Todo triángulo equilátero es tambien equiángulo.
PROP. VI. TEOR.

S

i dos ángulos de un triángulo fuesen entre sí iguales, tambien lo serán los lados opuestos á ellos.

Sea el triángulo ABC, que tenga el ángulo ABC igual al ACB. Digo, que tambien el lado AB será igual al lado AC.

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Porque si la reƈta AB no es igual á la AC, una de las dos será mayor. Séalo AB, y córtese de ella BD igual á la reƈta menor AC, y tírese DC: siendo DB igual á AC, y BC comun, las dos DB, BC serían iguales respedivamente á las dos AC, CB, y el ángulo DBC igual al ACB: luego la base DC sería igual á la base AB, y el triángulo DBC igual a 4. I. al ACB, el menor al mayor; lo qual es absurdo: luego la reƈta AB no es desigual á la AC. Será pues igual. Por consiguiente si dos &c. L. Q. D. D.

Cor. Todo triángulo equiángulo es equilátero.

PROP. VII. TEOR.

S

obre una misma base, y ácia una misma parte no se pueden construir dos triángulos, que tengan entre sí iguales cada dos lados, que salen de un extremo de ella.

Si se pudiesen construir, sean sobre la misma base AB, y ácia una misma parte los dos triángulos ACB, ADB, que tengan iguales entre sí los lados CA, DA, y los CB, DB.

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Tírese la reƈta CD: ó el vértice del un triángulo estaría dentro del otro triángulo, ó fuera de él. Supóngase primeramente, que esté fuera; entonces por quanto el lado AC es igual al AD, será tambien el ángulo ACD igual al ADC a 5. I.: es así que el ACD es mayor que el BCD: luego el ADC es mayor que el BCD: por conseqüencia el ángulo BDC será mucho mayor que el BCD. Ademas siendo el lado CB igual al DB, sería tambien el ángulo BDC igual b 5. I. al BCD; lo qual es imposible, pues queda demostrado ser mayor. Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/36 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/37 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/38 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/39 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/40 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/41 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/42 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/43 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/44 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/45 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/46 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/47 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/48 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/49 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/50 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/51 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/52 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/53 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/54 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/55 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/56 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/57 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/58 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/59 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/60 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/61 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/62 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/63 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/64 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/65 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/66 Página:Los seis primeros libros y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides.pdf/67

  1. * N. T. Usamos promiscuamente de las voces linea, y reƈta para expresar la linea reƈta.