Los seis primeros libros, y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides/Libro I

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Los seis primeros libros, y el undecimo, y duodecimo de los elementos de Euclides (1774) de Euclides
traducción de Roberto Simson
ELEMENTOS
DE EUCLIDES.


LIBRO PRIMERO.


DEFINICIONES.


I.

PUnto, ó signo es lo que no tiene partes, ó lo que no tiene magnitud.

II.

Linea es una longitud sin latitud.

III.

Los extremos de la linea son puntos.

IV.

Linea reƈta es la que se extiende igualmente entre sus puntos.

V.

Superficie es lo que solamente tiene longitud, y latitud.

VI.

Los extremos de la superficie son lineas.

VII.
Superficie plana es aquella, en la qual tomados dos puntos qualesquiera, la reƈta terminada por ellos se halla toda en la misma superficie.


VIII.
"Angulo plano es la inclinacion de dos lineas una á otra, que se encuentran mutuamente en un plano, y no están direƈtamente."
IX.
Angulo plano reƈtilineo es la inclinacion de dos reƈtas una á otra, que se encuentran, y no están direƈtamente.


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 "Nota. Quando muchos ángulos están en un punto B, se ex»presa cada uno de ellos con tres letras del alfabeto, colocando la que está en el vértice del ángulo, esto es en el punto, en que mutuamente se encuentran las redas que comprehenden el ángulo, en medio de las demas, y estas son una de cada extremo de las reƈtas. Así el ángulo comprehendido por las reƈtas AB, CB, se señala con las letras ABC, ó CBA; y el contenido por las reƈtas DB, CB se expresa por DBC, ó CBD. Pero si solo se halla un ángulo en el punto, podrá expresarse con sola la letra puesta en aquel punto, como el ángulo en E."

X.
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Quando una linea reƈta insistiendo sobre otra forma los ángulos contiguos iguales entre sí, son reƈtos ambos, y la reƈta, que insiste, se llama perpendicular á la otra.


XI.

Angulo obtuso es el mayor que un reƈto.

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XII.

Angulo agudo es el menor que un reƈto.

XIII.

"Término es el extremo de algo."

XIV.

Figura es la que está contenida por alguno, ó algunos términos.

XV.
Círculo es una figura plana contenida por una sola linea llamada circunferencia, á la qual todas las reƈtas tiradas de un punto, que está dentro de la figura, son iguales entre sí.


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XVI.

Este punto se llama centro del círculo.

XVII.
Diámetro del círculo es una reƈta tirada por el centro, y de ambas partes terminada en la circunferencia.


XVIII.
Semicírculo es la figura contenida por el diámetro, y el arco del círculo cortado por este.


XIX.
"Segmento del círculo es la figura contenida por una reƈta, y por un arco de círculo."


XX.

Figuras reƈtilineas son las contenidas por lineas reƈtas.

XXI.

Triláteras las contenidas por tres reƈtas.

XXII.

Quadriláteras las contenidas por quatro.

XXIII.

Multiláteras son las contenidas por mas de quatro reƈtas.

XXIV.
De las figuras triláteras, triángulo equilátero es el que tiene todos sus lados iguales.


XXV.

Isósceles el que tiene solamente dos lados iguales.

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XXVI.

Escaleno el que tiene los tres lados desiguales.

XXVII.
Demas de esto entre las figuras triláteras, triángulo reƈtángulo es el que tiene un ángulo reƈto.


XXVIII.

Obtusángulo el que tiene un ángulo obtuso.

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XXIX.

Acutángulo el que tiene los tres ángulos agudos.

XXX.
De las figuras quadriláteras, quadrado es la equilátera, y reƈtángula. (Esto es, la que tiene todos los lados iguales, y todos los ángulos reƈtos.)


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XXXI.
Quadrilongo es la que tiene los quatro ángulos reƈtos, pero no todos los lados iguales.


XXXII.
Rombo es la que tiene todos los lados iguales, pero no los ángulos reƈtos.


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XXXIII.
Romboyde es la que tiene los lados opuestos iguales; pero sin ser equilátera, ni reƈtángula.


XXXIV.
Qualquiera otra figura quadrilátera fuera de estas se llama trapecio.


XXXV.
Paralelas, ó equidistantes son las reƈtas que estando en un mismo plano, prolongadas por ambas partes al infinito, jamás se encontrarán.








POSTULADOS.
I.

TIrar una reƈta de qualquier punto á qualquier otro punto.

II.

Prolongar al infinito , y direƈtamente una reƈta terminada.

III.

Con qualquier centro , é intervalo describir un círculo.

AXIOMAS.
I.

LAS cantidades iguales á una misma son iguales entre sí.

II.
Si á cantidades iguales se añaden cantidades iguales, los todos serán iguales.


III.
Si de cantidades iguales se quitan cantidades iguales, los residuos serán iguales.


IV.
Si á cantidades desiguales se añaden cantidades iguales, los todos serán desiguales.


V.
Si de cantidades desiguales se quitan cantidades iguales, los residuos serán desiguales.


VI.
Las cantidades que son duplas de una misma, son iguales entre sí.


VII.
Las que son mitades de una misma, son iguales entre sí.


VIII.
Las cantidades que mutuamente se ajustan, son iguales entre sí.


IX.
El todo es mayor que su parte.


X.
Dos lineas reƈtas no encierran espacio.


XI.
Todos los ángulos reƈtos son iguales entre sí.


XII.
"Si una reƈta cayendo sobre otras dos forma los ángulos internos á la misma parte menores que dos reƈtos; prolongadas concurrirán ácia aquella parte, donde hacen los ángulos menores que dos reƈtos. Véanse las notas á la Proposicion 29 del Libro I."


PROPOSICION I. PROBLEMA.

SObre una reƈta [1] dada terminada construir un triángulo equilátero.

Sea la reƈta dada terminada AB; y háyase de construir sobre ella un triángulo equilátero.

Con centro A, é intervalo AB descríbase un círculo a BCD; a Postulado 3. asimismo con centro B, é intervalo BA descríbase el círculo ACE; y desde el punto C, donde se cortan mutuamente las circunferencias de los círculos, tírense las reƈtas b b Post. 1. CA, CB á los puntos A, B; y resultará el triángulo equilátero ABC.

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Porque siendo el punto A centro del círculo BCD, será igual cc Definicion 15 la reƈta AC á la AB: asimismo siendo el punto B centro del círculo CAE, será la recta BC igual á la reƈta BA: y yá está demostrado, que la reƈta CA es igual á la AB; luego ambas reƈtas CA, y CB son iguales á AB: es así que las cantidades iguales á una misma son iguales entre sí d:d Axioma 1. luego la reƈta CA es igual á la CB. Luego las tres reƈtas CA, AB, BC son iguales entre sí. Por consiguiente será ABC un triángulo equilátero, y estará construido sobre la reƈta dada terminada AB. Lo que debia hacerse.


PROP. II. PROBL.

DE un punto dado tirar una reƈta igual á otra dada.

Sea el punto dado A, y la reƈta dada BC, y háyase de tirar desde dicho punto una reƈta igual á la BC.

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Tírese desde el punto A al punto B la reƈta AB aa Post. 1., y constrúyase sobre ella un triángulo equilátero DAB bb 1. 1.
c Post. 2.
: prolónguense DA, y DB c; y con centro B, é intervalo BC descríbase el círculo
d Post. 3. CGH d. Descríbase también con centro D, é intervalo DG el círculo GKL, y será AL la reƈta que se pide.

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Porque siendo el punto B centro del círculo CGH, será la reƈta BC e Def. 15.

f Axi. 3.
igual á la BG e. Y siendo del mismo modo D centro del círculo GKL, será la reƈta DL igual á la DG, de las quales la parte DA es igual á la parte DB; luego la restante AL será igual á la restante BG f: pero ya queda demostrado, que la BC es igual á la BG: luego una y otra AL, y BC son iguales á la reda BG: es así que las cantidades iguales á una misma son iguales entre sí: luego tambien la reƈta AL es igual á la BC. Por consiguiente se ha tirado del punto dado A la reƈta AL igual á la reƈta dada BC: L. Q. D. H.

PROP. III. PROBL.

DAdas dos rectas desiguales; cortar de la mayor una parte igual á la menor.

Sean las dos reƈtas desiguales: AB la mayor, y C la menor; y háyase de cortar de la AB una parte igual á C.

a 2. 1.Tírese del punto A la reƈta AD a igual á la reƈta C, y con centro A, é intervalo AD descríbase un círculo DEF b, y será AE la parte que se pedia.

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b Post. 3.Porque siendo A centro del círculo DEF, será igual la reƈta AE á la AD: tambien la reƈta C es igual á la AD: luego las dos AE, y C son iguales á la AD 5 por lo qual la reƈta AE es igual á la C. Dadas pues las dos reƈtas desiguales AB, y C, se ha cortado de la mayor AB una parte igual á la menor C. L. Q. D. H.
PROP. IV. TEOREMA.

SI dos triángulos tienen dos lados del uno respeƈtivamente iguales á dos lados del otro, é iguales los ángulos contenidos por estos lados, tendrán las bases iguales: el un triángulo será igual al otro; y los demas ángulos opuestos á lados iguales serán tambien iguales.

Sean dos triángulos ABC, DEF, que tengan los dos lados AB, AC respeƈtivamente iguales á los dos DE, DF 5 es á saber el lado AB igual al DE, y el AC al DF 5 y el ángulo BAC igual al EDF. Digo, que tambien la base BC será igual á la base EF, el triángulo ABC igual al triángulo DEF, é iguales los demás ángulos opuestos á lados iguales; esto es, que el ángulo ABC será igual al DEF, y el ACB al DFE.

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Porque sobrepuesto el triángulo ABC al DEF, y colocado el punto A sobre el D, y la reƈta AB sobre la DE, caerá tambien el punto B sobre el E, por ser la linea AB igual á la DE; y por consiguiente caerá del mismo modo la reƈta AC sobre la DF, pues el ángulo BAC es igual al EDF; por cuya razon el punto C caerá sobre el F, siendo la reƈta AC igual á la DF: ademas de esto el punto B coincide con el E: consiguientemente la base BC cae sobre la base EF 5 porque si cayendo el punto B sobre el E, y el C sobre el F, no cayera la base BC sobre la EF, dos reƈtas encerrarian espacio, lo qual es imposible a Axi. 10.: por conseqüencia todo el triángulo ABC se ajustará al triángulo DEF, y será igual á él; y los ángulos restantes se ajustarán á los restantes, siendo al mismo tiempo iguales á ellos: es á saber el ángulo ABC al DEF, y el ACB al DFE. Luego si dos triángulos tuvieren &c. Lo que debia demostrarse.

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  1. * N. T. Usamos promiscuamente de las voces linea, y reƈta para expresar la linea reƈta.