Los axiomas. La inteligencia solo conoce de las cosas los estados que, en ella suscitan las ideas que adquiere ó que pueden formarse, en virtud de su naturaleza, sobre los datos de la conciencia y de los sentidos. Pero, ante estos objetos, el espíritu reacciona y constituye las ideas, sobre el fondo que le ofrecen las series de sensaciones, las intuiciones ó imágenes, que desfilan ante la conciencia. Define los objetos formando, como por decreto, según la expresión de M. Milhaud, los conceptos (Essai sur la cert. logique).
Además de las definiciones, el desarrollo científico exige los postulados para encabezar ú originar el subsiguiente encadena miento de las proposiciones científicas.
Para efectuar las construcciones que constituyen los objetos matemáticos, se ha procedido generalmente eligiendo elementos de nuestras imágenes ó intuiciones; pero actualmente, como se ha indicado, se prescinde de la intuición, en lo posible, para proceder por decreto, dando preferencia al procedimiento lógico, lo que ha conducido á la moderna tendencia de estudiar preferentemente los postulados y establecer su clasificación más perfecta, que corresponde á las leyes empíricas de las ciencias físicas y naturales.
La ciencia de la demostración no es el todo, y la intuición como complemento, debe ser un contraveneno de la lógica. Sin ella, las inteligencias juveniles no podrían iniciarse en el conocimiento de la Matemática, viendo en ella tan solo una vana logomaquia. La lógica y la intuición tienen, cada una, su papel necesario. Las dos son indispensables. Por la lógica se demuestra, por la intuición se dilata el campo de la ciencia. Pero la lógica ha dado un considerable avance. La idea vaga de continuidad se resuelve hoy en un sistema de desigualdades, referentes á números enteros. La Matemática se ha aritmetizado, según expresión de M. Poincaré, que desarrolla extensamente los conceptos arriba extractados, en sus trabajos: Les définitions mathématiques (L'Enseignement math. t. VI) y Du role de l'Intuition et de la logique en Mathématiques (Compte rendu du deuxième Congrès intern. des Mathématiciens, 1902).
En este trabajo se ha distinguido el profesor Herr Moritz Pasch, como puede verse en sus Vorl. ü neuere Geometrie (1882), puesto que funda su exposición geométrica en la adopción de dos exten-
