Así como, en la Naturaleza, un ser tiene un número indefinido de cualidades ó atributos, en las cuestiones matemáticas, intervienen conceptos varios, correspondientes á diversas teorías. Las categorías matemáticas, cuya concepción primera se debe á Leibnitz, rige los varios modos de concebir los objetos matemáticos y fijan cada teoría.
La distribución de las varias teorías de la Matemática no puede, por lo tanto, ser hoy la misma que hace medio siglo. Aquellas divisiones provisionales y sencillas que hacían consistir esta ciencia en ramas, en cierto modo independientes y de carácter muy distinto, tales como la Aritmética, el Álgebra, la Geometría, etc., se desvanecen en un fondo común que las absorbe, desmenuzándolas, para agrupar nuevamente los restos, formando elementos armónicos de un todo homogéneo. Hoy, solo por un esfuerzo de abstracción, puede separarse el número del fondo ó sustratum de la extensión. El punto se compenetra con el elemento infinitesimal ó es signo de un valor numérico; los números son etiquetas de los puntos ó lugares (Stelle). Un sistema algorítmico ó geométrico, es uno de los estados ó una proyección de los que tiene aquél en su indefinido mudar.
Según el espíritu actual de la ciencia, se hace depender todo sistema de un número finito de elementos fundamentales; pudiéronse, por lo tanto, establecer escalas ó graduaciones de entidades, desde los sistemas de unidades abstractas, hasta los ideales de Dedekind, desde los sistemas puntuales hasta los complejos y variedades.
Los grupos discontinuos, con su estructura propia, son como el esqueleto sobre el que luego se forman variados organismos, cuya materia está dada por números ó elementos geométricos, y permiten representar, tanto las funciones en sus reproducciones periódicas, en las fases de su variación, como figuras geométricas, aptas siempre para servir de sosten á nuevas relaciones algorítmicas. Y así el matemático se encuentra siempre dentro de un mundo de doble aspecto, según el modo de contemplarlo.
Resumen. Tenemos en cuanto al a) (pág. 54). Objeto: Espacio puntual ó analítico, que es el sustratum de la teoría de los números y de las funciones analíticas.
