Y sobre ellas está la Geometría sistemática, aplicación de la teoría de los grupos, y que estudia las especies de grupos, proyectivo, de rotación, traslación, de los movimientos euclídeos etc.
La Algoritmia tiene la determinación elemental: suma, multiplicación, potenciación, con sus inversas, correspondiendo á la segunda la radicación y logaritmación, que originan las cantidades irracionales y trascendentes.
La Aritmética trata de los Algoritmos elementales, desde el punto de vista práctico. Es como un tratado de resolución de problemas ó ejecución, que lleva á la realidad del número el Tratado general de la Algoritmia finita ó el Álgebra.
El Álgebra resuelve, en su totalidad, el problema del Cálculo, correspondiente á la determinación geométrica, en sus dos fases, que constituyen el problema directo ó generación de las cantidades, por medio de los algoritmos elementales, y el problema inverso, ó resolución de ecuaciones. Como la Geometría, está subordinada á la teoría de los grupos, en la que se funda la resolubilidad de las ecuaciones.
Los sistemas de ecuaciones no deben considerarse como for mando sección aparte con el estudio de una sola ecuación. En Geometría se dan varias figuras, que determinan otras. En Álgebra lo mismo, respecto al número.
El problema general de la Matemática se reduce á determinar una cantidad ó varias por medio de otras dadas, ó establecer la coexistencia de elementos dados arbitrariamente, con otros determinados por los primeros.
La determinación es siempre posible (cuando no hay contradición), mediante la adjunción de nuevos elementos (imaginarios ó infinitos), cuya definición y determinación es objeto de los sistemas de Algebra que originan.
Pero en Geometría, como en la Algoritmia, la influencia de unos elementos en otros se deja sentir de varias maneras. Unos fluyen ó varían, determinando, al variar, objetos diversos, ya sean cantidades numéricas, ya líneas, superficies, etc.; y otros permanecen invariantes; de lo que resultan las relaciones expresadas por los invariantes y covariantes de diversas especies.
