Por otra parte, el empleo de las desigualdades que rigen la continuidad de las funciones, permitiendo la prolongación analítica y seguirlas en sus desarrollos, por series, productos infinitos, integra les definidas y, cuantas maneras de expresarlas se conocen, completan desde el punto de vista numérico, aquellas determinaciones geométricas que rigen su multiplicidad, sus singularidades, su periodicidad, etc. Todo lo que hoy conduce á dar su representación, por medio de sus ceros, sus polos y sus puntos esenciales.
Pero estos problemas, á pesar del inmenso avance de la Matemática en el siglo xix, aún presentan dificultades, y dejan amplísimo campo á la investigación, justificando ese incremento de la Matemática por intus-susception, por desarrollo interno de ciertos conceptos ó puntos especiales que la dilatan de dentro á fuera, á pesar de su carácter eminentemente sintético y deductivo; lo que resulta de la identificación de los dos procesos analítico y sintético en todo el curso del encadenamiento ideal.
No hay más que recorrer las conferencias dadas por M. Picard, bajo el título, Sur le développement de l'Analyse, para formarse una idea del trabajo titánico que requiere el ir conquistando las posiciones que el campo de la Matemática ofrece á la inteligencia. Pues si el mundo de la materia ofrece variedad de hechos sin cuento, las relaciones del número y la extensión tan solo, se mueven en el campo de la inteligencia, y originan un mundo ideal, no menos extenso que el contemplado al través de nuestros sentidos.
M. Picard recorre algunos de los puntos culminantes de la teoría desde que Cauchy comenzó la serie de investigaciones que se han sucedido, para establecer el teorema de la existencia de las integrales de las ecuaciones diferenciales, señalando algunos resultados paradojales que habían sorprendido á los matemáticos, cuyos esfuerzos han contribuido lentamente á disiparlos y hacer brotar de ellos la luz. Los conceptos de la integral de las ecuaciones de derivadas parciales se han depurado por las investigaciones de varios de los actuales matemáticos, especialmente de M. Darboux, el más caracterizado representante de aquella evolución clásica y M. Goursat; y aun debe citarse al mismo M. Picard, cuyo método de las aproximaciones sucesivas es hoy uno de los fundamentos capitales
