de la moderna teoría, á la que han contribuido actualmente los señores Poincaré, Painlevé, en Francia, Mittag-Leffler, en Suecia, y Forsyth, en Inglaterra, etc.
Hay que seguir, por otra parte los resultados que comienzan en Puiseux, Briot y Bouquet, y que se desarrollan por Herr Fuchs, bajo la influencia de Weierstrass, al fundarse en las singularidades de las ecuaciones diferenciales lineales. Y bastará citar la representación asintótica de M. Poincaré, sus trabajos sobre las soluciones periódicas y sus numerosos procedimientos de integración, publicados en Les méthodes nouvelles de Mécanique céleste y Legons de Mecanique celeste.
Constituído el mundo de la Algoritmia, ya solo queda establecer las armonías y correspondencias con el de la Geometría, á que concurren, en diverso grado, la geometría elemental, proyectiva, analítica é infinitesimal, con la varia eficacia que les dan sus métodos respectivos.
Vemos ya constituido el inmenso organismo del mundo matemático, las cantidades numéricas y geométricas, generadas y conocidas por sus propiedades y en sus relaciones con las demás; pero esto no basta. Es necesario relacionarlas con un lazo común. Este es la noción de grupo.
El estudio de los grupos, en toda su generalidad, es el de todos los casos posibles en sistemas dados de elementos.
Dicho estudio se reduce á investigar el modo de hallarse constituído el grupo total de combinaciones de varios objetos, mediante los diversos grupos parciales. Y esta teoría, por su generalidad, es aplicable á todas las ramas de la Matemática.
Los grupos ya tienen un carácter aritmético, siendo discretos y discontinuos; ó, teniendo un carácter analítico, se refieren á la variación continua posible de la cantidad abstracta ó geométrica.
Sin embargo, la teoría de los grupos, que domina en la Algoritmia como en la Geometría, no constituye más que un capítulo, el más importante, en verdad, de la rama esencialmente formal llamada Combinatoria.
La Algoritmia y la Geometría se edifican sobre cada uno de sus dos objetos propios: el número y la extensión. Y desde este
