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La teoría de la relatividad de Einstein.

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que pone en evidencia la equivalencia de los sistemas de referencia S y S'. Si ahora despreciamos los miembros de más del orden segundo, podemos substituir ${\sqrt {1+\beta }}$ por $1+{\tfrac {1}{2}}\beta$ y ${\sqrt {1-\beta }}$ por $1-{\tfrac {1}{2}}\beta$; obtiénese, pues:

${\begin{aligned}\nu '\left(1+{\tfrac {1}{2}}\beta \right)&=\nu \left(1-{\tfrac {1}{2}}\beta \right)\\\nu '&=\nu {\frac {1-{\tfrac {1}{2}}\beta }{1+{\tfrac {1}{2}}\beta }};\end{aligned}}$

ahora bien, con igual exactitud es

${\frac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}\beta }}=1-{\tfrac {1}{2}}\beta$,

por lo cual

$\nu '=\nu \left(1-{\tfrac {1}{2}}\beta \right)^{2}=\nu \left(1-\beta +{\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}\right)$,

y, despreciando β²:

$\nu '=\nu \left(1-{\frac {v}{c}}\right)$,

en completa concordancia con la fórmula [36] (pág. 143).

Para deducir por el mismo método la aberración de la luz, debemos considerar un tren de ondas que se propaga perpendicularmente a la dirección x del movimiento de los sistemas S y S' uno con respecto del otro; pero debemos añadir si la dirección perpendicular se refiere a S o a S' pues si el rayo es perpendicular al eje x relativamente a S no lo es relativamente a S'. Vamos a admitir que la dirección de propagación es el eje y' del sistema S'; en tal caso hay que poner s' = y' y para el vacío regirá (c₁ = c'₁ = c):

$\nu \left(t-{\frac {s}{c}}\right)=\nu '\left(t'-{\frac {y'}{c}}\right)$,

Si se ponen aquí los valores dados por la transformación de Lorentz [65] (pág. 261) se obtiene: