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CAPÍTULO I.

NÚMEROS REALES

§ 1. — Números racionales positivos.

La aritmética de los números enteros positivos [cuyo estudio resuelve completamente el problema de contar] considera los números fraccionarios positivos, que junto con los números enteros en algunos casos resuelven el problema de la medida. ^[1]. Si nosotros, para fijar la idea nos referimos a los segmentos, y elegimos uno determinado $M$ como unidad de medida (podríamos decirle metro) decimos que otro segmento $N$ es igual a $\textstyle {\frac {n}{m}}$ de $M$ , o también que $N$ tiene por medida $\textstyle {\frac {n}{m}}$ , o también que la proporción de $N$ a $M$ vale $\textstyle {\frac {n}{m}}$

↑ En las ciencias más variadas surge el problema de la medida de la cantidad de una determinada clase $G$ . Para que este problema tenga sentido, es necesario que, dadas dos cantidades $a$ , $b$ distintas o no de $G$ , se puede decir siempre cuando $a>b$ ,o $a=b$ o $a<b$ . Y estos símbolos $>$ , $=$ , $<$ tendrán que definirse de tal manera que $a=a$ ; que, si $a>b$ , sea $b<a$ ; que, si $a=b$ , $b=c$ sea $a=c$ , etc.
Dadas dos o más cantidades distintas o no distintas de $G$ , se debe poder definir su suma de tal manera que $a+b=b+a$ ; $a+(b+c)=a+b+c$ . De este modo será posible definir múltiplos de cualquier cantidad $a$ ; y deberá valer el postulado de Arquímides que, si $b$ es otra cualquier cantidad de $G$ , existe un múltiplo de $a$ que sea mayor a $b$ . Y también deberán existir todos los submúltiplos de una cantidad cuyalquiera de $G$ . La suma de más cantidades de $G$ no debe ser menor que cualquiera de sus sumandos, etc. etc.
Si una clase $G$ de cantidades goza de las propiedades anteriores, puede surgir el problema de la medida. Tales son, por ejemplo, la clase de longitudes de segmentos, la clase de magnitudes de ángulos; y estas clases son especialmente simples, porque la igualdad de las longitudes de dos segmentos, o de la amplitud de dos ángulos, se reduce a la superposición de tales segmentos o de tales ángulos. Otras clases de cantidades son más complejas (áreas de figuras planas, volúmenes o pesos de

1 — G. Fubini, Análisis matemático.

[nota1-1] En las ciencias más variadas surge el problema de la medida de la cantidad de una determinada clase $G$ . Para que este problema tenga sentido, es necesario que, dadas dos cantidades $a$ , $b$ distintas o no de $G$ , se puede decir siempre cuando $a>b$ ,o $a=b$ o $a<b$ . Y estos símbolos $>$ , $=$ , $<$ tendrán que definirse de tal manera que $a=a$ ; que, si $a>b$ , sea $b<a$ ; que, si $a=b$ , $b=c$ sea $a=c$ , etc.
Dadas dos o más cantidades distintas o no distintas de $G$ , se debe poder definir su suma de tal manera que $a+b=b+a$ ; $a+(b+c)=a+b+c$ . De este modo será posible definir múltiplos de cualquier cantidad $a$ ; y deberá valer el postulado de Arquímides que, si $b$ es otra cualquier cantidad de $G$ , existe un múltiplo de $a$ que sea mayor a $b$ . Y también deberán existir todos los submúltiplos de una cantidad cuyalquiera de $G$ . La suma de más cantidades de $G$ no debe ser menor que cualquiera de sus sumandos, etc. etc.
Si una clase $G$ de cantidades goza de las propiedades anteriores, puede surgir el problema de la medida. Tales son, por ejemplo, la clase de longitudes de segmentos, la clase de magnitudes de ángulos; y estas clases son especialmente simples, porque la igualdad de las longitudes de dos segmentos, o de la amplitud de dos ángulos, se reduce a la superposición de tales segmentos o de tales ángulos. Otras clases de cantidades son más complejas (áreas de figuras planas, volúmenes o pesos de

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