Almagesto: Libro XII - Capítulo 03

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{Demostración de los [Movimientos] Retrógrados de Júpiter}

Para Júpiter [ver Fig. 12.9] en la distancia media, de acuerdo a nuestros cálculos

ΘZ / GZ = 1 / 10;51,29 [1],
y EG / ZG = 12;51,29 / 10;51,29,

Fig. 12.9
Fig. 12.9

entonces EG * ZG = 139;37,39 [2].
Además GA / AD = 60 / 11;30
y GD / GH = 71;30 / 48;30,
entonces GD * GH = 3467;45.

Dividiendo [3467;45 por 139;37,39] tenemos 24;50,0, cuya raíz cuadrada [es], 4;59,1, [éste valor lo] multiplicamos por la razón anterior de ΘZ / GZ, y tomamos, en términos de los tamaños dados de GA y AZ [por ej. 60 y 11;30],

ΘZ = 4;59,1p
y GZ = 54;6,44p en las mismas unidades,
y, por suma, GΘ = 59;5,45p.

Por consiguiente, expresado en unidades donde las hipotenusas AZ y AG son de 120p [respectivamente].

ΘZ = 52;0,10p
y GΘ = 118;11,30p,

y los arcos correspondientes [3] son:

Arco ZΘ = 51;21,41º
y arco Arco GΘ = 160;4,55º.
Por consiguiente calculamos el ^ ZAΘ ≈ 25;40,50º
y el ^ GAΘ ≈ 80;2,28º,

y, por sustracción [del ^ GAΘ de los 90º], el ^ ZGA, que representa el [Movimiento] Retrógrado debido a la velocidad del planeta, es de 9;57,32º, el ^ ZAH, que representa el [Movimiento] Aparente en Anomalía, es [^ GAΘ - ^ ZAΘ =] 54;21,38º. A esto último le corresponden 5;1,24º en Movimiento Longitudinal, de acuerdo a la razón de arriba [de 1 / 10;51,29] [4]. Así

la mitad del [Movimiento] Retrógrado es de 4;56,8º y alrededor de 60 ½ días,
y el [Movimiento] Retrógrado total es de 9;52,16º y 121 días.

La distancia en una elongación de alrededor de 5º desde el Apogeo o desde el Perigeo [respectivamente] es insignificantemente más pequeña que la máxima distancia e insignificantemente mayor que la mínima distancia.

De acuerdo a nuestros cálculos en la máxima distancia, la Ecuación [correspondiente a 1º] para la corrección [de las velocidades] es de 5 1/6 minutos [5]. Por lo tanto

ΘZ / GZ = 0;54,50 / 10;56,39
y EG / GZ = 12;46,19 / 10;56,39,
y EG * GZ = 139;46,42.
Además, GA / AD = 62;45 / 11;30,
DG / GH = 74;15 / 51;15,
y DG * GH = 3805;18,15.

Dividiendo [3805;18,45 por 139;46,42], tomamos 27;13,26, cuya raíz cuadrada [es], 5;13,4, cuando multiplicado por de la razón de ΘZ / GZ, da, en términos de los tamaños dados de GA y AZ [por ej. 62;45 y 11;30]

ZΘ = 4;46,6p,
GZ = 57;6,19p [6],
y, por suma, GΘ = 61;52,25p.

Por consiguiente, expresado en unidades donde las hipotenusas AZ y AG son 120p [respectivamente],

ZΘ = 49;45,23p
y GΘ = 118;19,27p,

y los arcos correspondientes son:

Arco ZΘ = 48;59,34º
Arco GΘ = 160;49,36º.
Por consiguiente, el ^ ZAΘ = 24;29,47º
y el ^ GAΘ = 80;24,48º.

Y, por sustracción, el ^ ZGA, que representa el [movimiento] retrógrado debido a la velocidad del planeta, es de [90º - ^ GAΘ =] 9;35,12º, y el ^ ZAH, que representa el [Movimiento] Aparente en Anomalía, es de [^ GAΘ - ^ ZAΘ =] 55;55,1º. A esto último le corresponden 4;40,35º en Movimiento Longitudinal corregido [7], y 5;6,35° en Movimiento [Longitudinal] Medio, de acuerdo a la razón [de las velocidades] en el Apogeo. Por lo tanto

la mitad del [Movimiento] Retrógrado es de [9;35,12º - 4;40,35º =] 4;54,37º y alrededor de 61 ½ días,
y el [Movimiento] Retrógrado total es de 9;49,14º y 123 días.

De acuerdo con nuestros cálculos en la Mínima Distancia la ecuación [correspondiente al 1º] para la corrección [de las velocidades] es hallada ser de 5 ⅔ minutos [8]. Por lo tanto

ΘZ / ZG = 1;5,40 / 10;45,49,
EG / GZ = 12;57,9 / 10;45,49,
y EG * GZ = 139;24,56.
Además, GA / AD = 57;15 / 11;30,
DG / GH = 68;45 / 45;45,
y DG * GH = 3145;18,45.

Dividiendo [lo último por 139;24,56], tomamos 22;33,39, cuya raíz cuadrada [es], 4;45, multiplicado por la razón de arriba de ΘZ / GZ, da, en términos de los tamaños de arriba de GA y AZ [por ej. 57;15 y 11;30],

ΘZ = 5;11,55p,
ZG = 51;7,38p,
y, por suma, GΘ = 56;19,33p.

Por lo tanto, expresado en unidades donde las hipotenusas ZA y AG son de 120p [respectivamente],

ZΘ = 54;14,47p
y GΘ = 118;3,46p,

y los arcos correspondientes

Arco ZΘ = 53;45,4º
y Arco GΘ = 159;22,40º.
Por consiguiente el ^ ZAΘ = 26;52,32º
y el ^ GAΘ = 79;41,20º.

Y, por sustracción, el ^ ZGA, que representa el [Movimiento] Retrógrado debido a la velocidad del planeta, es de [90º - ^ GAΘ =] 10;18,40º, y el ^ ZAH, que representa el [Movimiento] Aparente en Anomalía, es de [^ GAΘ - ^ ZAΘ =] 52;48,48º. A lo reciente le corresponden 5;21,20º en Movimiento Longitudinal corregido [9], y 4;54,20º en Movimiento Medio [Longitudinal], de acuerdo a la razón [de las velocidades] en el Perigeo. Por lo tanto

la mitad del [Movimiento] Retrógrado es de [10;18,40º - 5;21,20º =] 4;57,20º y alrededor de 59 días,
y el [Movimiento] Retrógrado total es de 9;54,40º y 118 días.
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Notas de referencia

  1. Tomando los tres primeros lugares (redondeados) de los Movimientos Medios Diarios desde Libro IX Capítulo 4 (cf. Libro XII Capítulo 2 nota de referencia nro. 4), uno toma 0;54,9,3 / 0;4,59,14 = 10;51,28,29...
  2. Ptolomeo ha cometido un error de cálculo: el [valor] correcto es 139;36,48, e incluso éste es hallado en el manuscrito de Gerardo de Cremona, sin dudas derivado del tipo de corrección marginal encontrada en el manuscrito D² (139;36,48,32). Éste error es el de Ptolomeo demostrado por cálculos subsecuentes (en H474,5 (en el manuscrito de) Gerardo de Cremona se lee 24;50,17), nuevamente de acuerdo con el manuscrito D² y con la cantidad anterior, aunque la raíz cuadrada debería ser 4;59,2, mientras que en toda la tradición está de acuerdo con 4;59,1, que es confirmado por los siguientes cálculos).
  3. Leer '  en H474,16 (en todos los manuscritos) en cambio de la corrección de Heiberg ' . También el genitivo es normal en el Almagesto en las expresiones del tipo , el dativo (nombre y pronombre) después de  es perfectamente bueno del [manuscrito] Griego, y es explicable aquí como para evitar la ambigüedad de los dos plurales genitivos referidos a diferentes cosas. He restaurado las lecturas de los manuscritos en pasajes similares H476,9 y H477,18.
  4. De hecho 54;21,38 / 10;51,29 = 5;0,23º. Pero el número en el texto está confirmado por los cálculos siguientes.
  5. Leer seg. ' (en los manuscritos L y Gerardo de Cremona) en H475,14 en cambio de seg.  seg.  (5;6). La corrección fue hecha por Manitius, quien señala que, en la tabla de la Anomalía, para un argumento de 6º le corresponde una Ecuación del Centro de 0;31º, por lo tanto, para 1º, 0;5,10º.
  6. Más exacto podría ser 57;6,15, que es la lectura en el manuscrito D y está dada como una alternativa en los manuscritos A, B y C. Pero el texto está garantizado por los siguientes cálculos.
  7. Cf. Libro XII Capítulo 2 nota de referencia nro. 16. Cálculo: 55;55,1º * 1 / 10;56,39 = 5;6,33º, que le corresponde una ecuación de 0;26,24º ≈ 26'. [Cálculo] 55;55,1º - 0;26º = 55;29,1º. Esto multiplicado por 1 / 10;51,29 = 5;6,35º [por lo tanto en el texto; [es] exactamente 5;6,36]. [Cálculo] 5;6,35º - 0;26 = 4;40,35º.
  8. En la Tabla de la Anomalía, para un argumento de [180º - 3º =] 177º le corresponde una ecuación de 0;17º, por consiguiente para 1º cerca del Perigeo le corresponde 5 ⅔'.
  9. Libro XII Capítulo 2 nota de referencia nro. 16. Cálculo: 52;48,48º * 1 / 10;45,49 = 4;54,24º, que le corresponde una ecuación de 27' [entonces en el texto: el [valor] preciso podría ser 29']. [Cálculo] 52;48,48º + 0;27º = 53;15,48º, que multiplicado por 1 / 10;51,29 da 4;54,20º [de manera precisa 4;54,19º]. [Cálculo] 4;54,20º + 0;27º = 5,21,20º.