Almagesto: Libro XII - Capítulo 07

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{Construcción de una tabla para las [Posiciones] Estacionarias}

[1]

Por otra parte, para que podamos investigar convenientemente en qué punto sobre el Epiciclo está cada planeta cuando estos presentan la apariencia de estar estacionarios, [y] también para las distancias en el intervalo entre la distancia media y la Máxima o la Mínima, hemos construido [2] para tal propósito una tabla con 31 líneas y 12 columnas. Las dos primeras de éstas columnas contendrán los números de la Longitud Media a intervalos de 6º (correspondientes al arreglo de otras tablas). Las siguientes 10 columnas contendrán las distancias en Anomalía corregida desde el Apogeo aparente del Epiciclo para cada uno de los 5 planetas: en cada caso la primera columna [del par para un planeta (dado)] contendrá la cantidad para la primera [posición] estacionaria, y la segunda columna la cantidad para la segunda [posición] estacionaria. Obtenemos las cantidades para esas [entradas] también desde los [números] demostrados anteriormente por [medio de] la distancia media, mínima y máxima, y desde los incrementos en las distancias entre ellas, lo cual ya nos ha tocado determinar los minutos en [nuestros cálculos] a ser tabulados en la octava columna en las Tablas de las Anomalías [3]. Para demostrar la cantidad de la Máxima Ecuación de la Anomalía correspondiente a cada entrada en Movimiento Medio, uno demuestra simultáneamente la distancia del Epiciclo, que es el factor principal afectando la diferencia en [las posiciones] estacionarias.

Pero, primero, dado que los [Movimientos] Retrógrados que demostramos para el Apogeo y el Perigeo cercano representa, no las [posiciones] estacionarias que ocurren cuando el centro del Epiciclo está precisamente en el Apogeo y el Perigeo, sino aquellas cuando éste está a una cierta distancia especificada [desde ellas], utilizamos esto último para determinar, para cada planeta, la cantidad correspondiente al Apogeo y al Perigeo, de la siguiente manera.

En el caso de Saturno y de Júpiter, dado que las distancias del Epiciclo en el actual Apogeo y Perigeo no difieren significativamente de aquellas en las elongaciones desde el Apogeo y el Perigeo anteriormente utilizadas, entramos las cantidades de la Anomalía (contadas desde el Apogeo aparente del Epiciclo) derivado para aquellas elongaciones sobre las líneas apropiadas, por ej. entramos la cantidad para el Apogeo sobre la línea con el argumento '360', y la cantidad para el Perigeo en la línea con el argumento '180'. Demostramos para Saturno (desde la mitad hasta el final del Libro XII Capítulo 2) que la distancia [en anomalía] desde el Perigeo del Epiciclo [ubicado] en el Apogeo de la Excéntrica es alrededor de 67;15º, y en el Perigeo de la Excéntrica es de alrededor de 64;31º; y para Júpiter (desde la mitad hasta el final del Libro XII Capítulo 3) ésta es de 55;55º en el Apogeo y 52;49º en el Perigeo. Por conveniencia en su uso, entramos las cantidades [en Anomalía] correspondientes a esas [distancias], contadas desde el Apogeo del Epiciclo, sobre las líneas apropiadas en las 4 columnas siguiendo el [argumento de las columnas en] Longitud: (para el Apogeo) sobre la línea con el argumento '360', para la primera [posición] estacionaria de Saturno, [entramos] en la tercer columna, '112;45º', y para su segunda [posición] estacionaria, en la cuarta columna, '247;15º'; similarmente, para la primera [posición] estacionaria de Júpiter, en la quinta columna, '124;5º', y para su segunda [posición] estacionaria, en la sexta columna, '235;55º'. Y (para el perigeo) sobre la línea con el argumento '180' [entramos], siguiendo el mismo orden, '115;29º' y '244;31º', y similarmente '127;11º' y '232;49º'.

En el caso de Marte, demostramos (Libro XII Capítulo 4) que cuando el centro del Epiciclo está a 20;58º en Longitud [Media] desde el Apogeo de la Excéntrica, el planeta realiza [(establece)] sus [posiciones] estacionarias a una distancia de 22;13º [en Anomalía] desde el Perigeo aparente del Epiciclo; y la cantidad [correspondiente en Anomalía] es de 16;51º en la distancia media, entonces la diferencia es de 5;22º. Además, donde la distancia Media es de 60p, la Máxima distancia es de 66p y la diferencia entre la Máxima y la Media es de 6p, mientras en la distancia anterior desde el Apogeo [hay 20;58º] la distancia es de 65;40p [4] y la diferencia entre ésta y la Media es de 5;40p. Entonces, multiplicando 6 por 5;22 y dividiendo el resultado por 5;40, encontramos que la diferencia con respecto a la distancia media en el actual Apogeo es de alrededor de 5;41º. Así, calculamos la distancia [en Anomalía] desde el Perigeo aparente del Epiciclo como de [16;51º + 5;41º =] 22;32º, y desde el Apogeo como de 157;28º, para la primera [posición] estacionaria, con la cual entramos en la séptima columna en la línea con '360', y 202;32º, para la segunda [posición] estacionaria, con la cual entramos en la octava columna sobre la misma línea.

Similarmente (ver final del Libro XII Capítulo 4), cuando el centro del Epiciclo está [en] 16;53º en [Longitud] Media desde el Perigeo [de la Excéntrica], [Marte] establece su [posición] estacionaria a una distancia de 11;11º [en Anomalía] desde el Perigeo aparente del Epiciclo, entonces la diferencia [en Anomalía] desde ésta para la distancia media es de [16;51º - 11;11º =] 5;40º. Y, en las mismas unidades [como antes], la Mínima distancia es de 54p (con una diferencia de la media de 6p), y en la elongación anterior desde el Perigeo de la Excéntrica es de 54;20p, con una diferencia desde la Media de 5;40p. En consecuencia, en el actual Perigeo tomamos la diferencia total [en Anomalía desde la Media] como de [5;40º * 6 / 5;40 =] 6º. Por lo tanto la cantidad [de Anomalía] desde el Perigeo Aparente del Epiciclo es de [16;51º - 6º =] 10;51º, y desde el Apogeo 169;9º, para la primera [posición] estacionaria, y 190;51º para la segunda, con la cual entramos en las columnas apropiadas sobre la línea con [número] '180'.

En el caso de Venus, demostramos (Libro XII Capítulo 5) que cuando éste está a 21;9º en Longitud Media desde el Apogeo [de la Excéntrica], el planeta establece sus [posiciones] estacionarias a una distancia de 14;4º [en Anomalía] desde el Perigeo Aparente del Epiciclo, mientras la cantidad [correspondiente] a la distancia media es de 12;52º, así que la diferencia es de 1;12º. Y, donde la distancia Media es de 60p, la Máxima distancia es de 61;15p, y la diferencia desde la Media es de 1;15p, mientras en la elongación anterior desde el Apogeo la distancia es de 61;10p y la diferencia desde la Media [es de] 1;10p. Entonces, nuevamente, multiplicando 1;15 por 1;12 y dividiendo el resultado por 1;10, encontramos la diferencia [en Anomalía] en el actual Apogeo con respecto a aquella para la distancia Media como de 1;17º. Por lo tanto calculamos la distancia [en Anomalía] desde el Perigeo Aparente del Epiciclo como de [12;52º + 1;17º =] 14;9º, y desde el Apogeo como de 165;51º, para la primera [posición] estacionaria, con la que entramos en la novena columna sobre la línea con '360', y para la segunda [posición] estacionaria, 194;9º, con la que entramos en la décima columna sobre la misma línea.

Similarmente (al final del Libro XII Capítulo 5), cuando el Epiciclo está a alrededor de 20º en Longitud Media desde el Perigeo de la Excéntrica, [Venus] realiza sus [posiciones] estacionarias a una distancia [en Anomalía] de 11;44º desde el Perigeo Aparente del Epiciclo, entonces la diferencia con respecto a [aquella para] la distancia Media es de [12;52º - 11;44º =] 1;8º. Y la Mínima distancia es de 58;45p donde la Media es de 60p, y su diferencia es de 1;15p, mientras la distancia en la elongación de arriba desde el Perigeo es de 58;50p en las mismas unidades, y la diferencia desde la Media [es de] 1;10p. Entonces, multiplicando 1;15 por 1;8 y dividiendo el resultado por 1;10, encontramos la diferencia [en Anomalía] como de 1;13º en el actual Perigeo con respecto a la distancia Media. Por consiguiente la cantidad de la Anomalía desde el Perigeo aparente del Epiciclo es de [12;52º - 1;13º =] 11;39º, y desde el Apogeo 168;21º, para la primera [posición] estacionaria, y 191;39º, para la segunda [posición] estacionaria, con la cual entramos en las mismas columnas [por ej. la novena y la décima respectivamente] opuesta al número [5] '180'.

En el caso del planeta Mercurio, demostramos (desde el principio hasta la mitad del Libro XII Capítulo 6) que cuando el Epiciclo está a 10;17º en Longitud Media desde el Apogeo de la Excéntrica, el planeta establece sus [posiciones] estacionarias a una distancia [en Anomalía] de 32;52º desde el Perigeo aparente del Epiciclo, mientras la cantidad [correspondiente] a la distancia Media es de 34;56º, entonces la diferencia es 2;4º. Además, donde la distancia Media es de 60p, la distancia Máxima es de 69p y la diferencia entre ellas es de 9p, mientras la elongación de arriba desde el Apogeo la distancia es de 68;36p [6], y la diferencia desde la media [es de] 8;36p. Por el mismo procedimiento como el anterior, multiplicando 9 por 2;4 y dividiendo el resultado por 8;36, encontramos la diferencia [en anomalía] como alrededor de 2;10º en el actual Apogeo con respecto a la de la distancia Media. Así calculamos la distancia [en Anomalía] desde el Perigeo aparente del Epiciclo como de [34;56º - 2;10º =] 32;46º, y desde el Apogeo como de 147;14º, para la primera [posición] estacionaria, con la cual entramos en la decimoprimer columna opuesta el número '360', y para la segunda [posición] estacionaria 212;46º, con la cual entramos en la duodécima columna sobre la misma línea.

Similarmente (desde la mitad hasta el final del Libro XII Capítulo 6), cuando el Epiciclo está a 11;22º en [Longitud] Media desde el Perigeo, el planeta establece sus [posiciones] estacionarias a una distancia [en Anomalía] de 35;30º desde el Perigeo Aparente del Epiciclo, entonces la diferencia desde ésta en la distancia Media es de [35;30º - 34;56º =] 34'. Y la Mínima distancia es de 55;34p donde la Media es de 60p, y su diferencia es de 4;26p, mientras en la elongación anterior desde el Perigeo la distancia es de alrededor de 55;42p, y la diferencia desde la Media 4;18p. Entonces, nuevamente, multiplicando 4;26 por 0;34 y dividiendo el resultado por 4;18, encontramos la diferencia [en Anomalía] en el actual Perigeo con respecto a aquella para la distancia Media como de 0;35º. Por consiguiente la distancia en Anomalía desde el Perigeo aparente del Epiciclo es de [34;56º + 0;35º =] 35;31º, y desde el Apogeo 144;29º, para la primera [posición] estacionaria, y 215;31º para la segunda [posición] estacionaria. Entramos éstos últimos en las mismas columnas [por ej. en la decimoprimer y en la duodécima], en éste caso, sin embargo, no opuesto al número '180' de Longitud, sino opuesto al '120' y al '240', dado que hemos demostrado que los puntos de la Excéntrica del planeta Mercurio más cercanos a la Tierra están en aquellas posiciones.

Ahora que se ha sido establecido lo anterior, los incrementos para las posiciones entre [el Apogeo y el Perigeo] pueden ser obtenidos utilizando los mismos métodos.

Para tomar un ejemplo, permitámonos establecer la tarea de encontrar las entradas (en Anomalía aparente) para la primer [posición] estacionaria cuando la Posición Media en Longitud es de 30º desde el Apogeo. En ésta situación la distancia del Epiciclo, para una distancia Media en cada caso de 60p, calculadas por el método explicado previamente, es (como hemos dicho antes) [7] la siguiente:

Saturno Júpiter Marte Venus Mercurio
63;2p 62;26p 65;24p 61;6p 66;35p

Por consiguiente las diferencias de cada uno con respecto a la Media son (utilizando el orden de arriba, para evitar repetición):

Saturno Júpiter Marte Venus Mercurio
3;2p 2;26p 5;24p 1;6p 6;35p

Pero las diferencias entre la distancia en el actual Apogeo y la [distancia] Media, dado que las cantidades anteriores para la distancia son en todos los casos mayores que la Media, [entonces] son, en las mismas unidades,

Saturno Júpiter Marte Venus Mercurio
3;25p 2;45p 6;0p 1;15p 9;0p

Ahora las diferencias totales en la Anomalía aparente, entre el Apogeo y la distancia Media, vienen a [ser] (utilizando el mismo orden) [8]

Saturno Júpiter Marte Venus Mercurio
1;23º 1;33º 5;41º 1;17º 2;10º

Se multiplican a su vez cada uno de éstos por la diferencia entre la distancia en aquel punto y la Media, para el planeta en cuestión (por ej. [para Saturno multiplicamos] 1;23 por 3;2), y dividimos el resultado por la diferencia entre la Máxima distancia [y la Media], (por ej. [para Saturno] por 3;25), y así tomamos para la posición en Longitud anterior, [y] para cada planeta, las siguientes cantidades de diferencia en Anomalía con respecto a aquella para la distancia Media:

Saturno Júpiter Marte Venus Mercurio
1;14º 1;22º 5;7º 1;8º 1;35º

Las distancias [en Anomalía] desde el Apogeo aparente del Epiciclo en las distancias medias son [9]:

Saturno Júpiter Marte Venus Mercurio
114;8º 125;38º 163;9º 167;8º 145;4º

La [cantidad correspondiente] en la Máxima distancia es mayor que la anterior para Mercurio, pero menor para los otros planetas. Entonces para Mercurio sumamos la diferencia que encontramos para la distancia en cuestión con aquella de la distancia Media, pero para los otros planetas la restamos, y tomamos las siguientes cantidades, en Anomalía Aparente del Apogeo del Epiciclo, las cuáles son entradas en las columnas para la primer [posición] estacionaria opuesta a 30º en Longitud Media:

Saturno Júpiter Marte Venus Mercurio
112;54º 124;16º 158;2º 166;0º 146;39º

Inmediatamente podemos completar las columnas para la segunda [posición] estacionaria, entrando, para cada [planeta] [10], la diferencia desde los 360º de la cantidad para la primera [posición] estacionaria, [colocando el resultado] en la columna para la segunda [posición] estacionaria sobre la misma línea. Por lo tanto [entramos] en la posición anterior

Saturno Júpiter Marte Venus Mercurio
247;6º 235;44º 201;58º 194;0º 213;21º

Es fácil ver que si, en aras de una mayor comodidad, deberíamos elegir entrar, no la Anomalía, tomada con respecto al Apogeo aparente del Epiciclo, sino la Anomalía no corregida, tomada con respecto al [Apogeo Medio Epicíclico], inmediatamente derivamos esto también, tomando en la Tabla de la Anomalía la ecuación (combinada [desde la 3 era. y la 4 ta. columna]) correspondiente a cada uno de los argumentos de Longitud Media, y restándola de la cantidad que encontramos para la Anomalía Aparente en los 180º de la Excéntrica contada desde el Apogeo, pero sumándola a [las Longitudes desde el Apogeo] mayores a 180º.

El diseño de las tablas es siguiente.

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Notas de referencia

  1. Ver HAMA 202-06, Pedersen 349-51.
  2. Leer  (en los manuscritos D y Ar) en H494,20 en cambio de  ("construimos").
  3. Cf. Libro XI Capítulo 10 Fig. 11.24. Para Ptolomeo le fue necesario calcular las distancias del centro del Epiciclo todas alrededor de la órbita con el fin de calcular los "minutos de interpolación" en las Tablas de las Anomalías planetarias.
  4. Cf. Libro XII Capítulo 04 nota de referencia nro. 3. Probablemente uno debería leer  (en el manuscrito D) en H497,21 (cf. H499,11) Corregido por Manitius.
  5.  seg. . Uno podría esperar por  seg.  (cf. ej. H499, 1-2, 22), y esto ocurre (al menos como lectura alternativa) en los manuscritos L, Gerardo de Cremona. Pero la misma expresión ocurre en H501,14 y en 502,12.
  6. Cf. Libro XII Capítulo 06 nota de referencia nro. 4.
  7. Libro XI Capítulo 10 Fig. 11.24. Ver éste capítulo para el método de cálculo de esas cantidades.
  8. Saturno (Libro XII Capítulo 02 Fig. 12.8) Apogeo 67;15º, media 65;52º, diferencia 1;23º. Júpiter (mitad y final del Libro XII Capítulo 03) Apogeo 55;55º media 54;22º, diferencia 1;33º. Para las otras cantidades ver todo éste capítulo hasta el ejemplo. Ptolomeo no lo dice explícitamente, lógicas demandas, y las tablas confirman, que para las posiciones del Epiciclo entre las distancias Media y el Perigeo uno toma las diferencias correspondientes en Anomalía entre la distancia Media y el Perigeo (a saber 1;21, 1;33, 6;0, 1;13 y 0;35) e interpola consecuentemente. Cf. HAMA 204 abajo.
  9. Por las siguientes cantidades ver el ^ ZAH: en la mitad del Libro XII Capítulo 02, en el Libro XII Capítulo 03 luego de la Fig. 12.9, en el Libro XII Capítulo 04 luego de la Fig. 12.10, en el Libro XII Capítulo 05 luego de la Fig. 12.11, y en el Libro XII Capítulo 06 luego de la Fig. 12.12, donde en cada caso son dados los [ángulos] suplementarios (por ej. las distancias desde el Perigeo Aparente).
  10. Eliminando la palabra  en H504,20. Si se conserva, significaría "en cada línea". Pero Ptolomeo, primero, no utiliza  en ese sentido, sino [como] ; segundo, es engorrosamente torpe continuar [con] '  [¿cambiar?] por ; y tercero uno necesita una referencia para cada planeta (exactamente tal como en H504,1). Es una interpolación muy antigua, dado que está en todos los manuscritos.