Almagesto: Libro XII - Capítulo 01

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{Sobre las preliminares para los [Movimientos] Retrógrados}[editar]

[1]

Ahora que hemos demostrado lo anterior, la secuela apropiada sería examinar los [Movimientos Retrógrados] Máximos y Mínimos asociados con cada uno de los 5 planetas, y demostrar que los tamaños de ellos, [calculados] desde las Hipótesis anteriormente [descritas], se encuentren en tan estrecho acuerdo como fuera posible con aquellos hallados [a partir] de las observaciones.

En la determinación de este tipo de problema, hay un lema preliminar (para una única Anomalía, que se relaciona con el Sol), demostrado en los siguientes términos por un número de matemáticos, en particular por Apolonio de Perge.

[1] Si [la Anomalía Sinódica] está representada por la Hipótesis del Epiciclo, en la que el Epiciclo realiza el Movimiento [Medio] en Longitud, sobre el círculo concéntrico con la Eclíptica, hacia atrás [por ej. en orden] de los signos, y el planeta realiza [uniformemente] el Movimiento en Anomalía sobre el Epiciclo con respecto a su centro, hacia atrás a lo largo del arco cerca del Apogeo, y si una línea es dibujada desde nuestro punto de vista intersectando el Epiciclo en tal sentido que la razón de la mitad del segmento de la línea interceptada dentro del Epiciclo hasta el segmento interceptado entre el observador y el punto donde la línea intersecta el Epiciclo más cercano a su Perigeo, es igual a la razón de la velocidad del Epiciclo sobre la velocidad del planeta, entonces el punto sobre el arco del Epiciclo más cerca del Perigeo determinado por la línea entonces dibujada, es el límite entre el movimiento hacia adelante y el [movimiento] retrógrado, así que cuando el planeta alcanza éste punto crea la apariencia de estacionario.

[2] Si la Anomalía relacionada con el Sol está representada por la Hipótesis de la Excéntrica (que es una hipótesis viable sólo para los tres planetas [exteriores] los cuales pueden alcanzar alguna elongación desde el Sol) [2], en la que el centro de la Excéntrica se mueve [uniformemente] alrededor del centro del Epiciclo con la Velocidad Media del Sol hacia atrás [por ej. en orden] de los signos, mientras los planetas se mueven sobre la Excéntrica hacia adelante [por ej. en el orden inverso] de los signos con una velocidad [uniforme] con respecto al centro de la Excéntrica e igual al Movimiento [Medio] en Anomalía, y si una línea es dibujada en la Excéntrica a través del centro de la Eclíptica (por ej. del observador) en tal sentido que la razón de la mitad de toda la línea sobre el más pequeño de los dos segmentos de la línea formada por [la posición del] observador es igual a la razón de la velocidad de la Excéntrica sobre la velocidad del planeta, entonces cuando el planeta llega al punto en el que la línea anterior corta el arco de la Excéntrica cerca del Perigeo, [se] producirá la apariencia de estacionario.

También conseguimos el resultado requerido por un método que, no obstante, pensado [de manera] resumida es el más conveniente: empleamos una demostración que contiene ambas hipótesis combinadas en una [figura en] común, para demostrar también su conformidad y similitud con aquellas propias proporciones. [3].

Sea ABGD [Fig. 12.1] el Epiciclo sobre el centro E y diámetro AEG que está prolongado hasta Z, el centro del Epiciclo (por ej. nuestro punto de vista). Cortar arcos iguales, GH, GΘ, a ambos lados del Perigeo G, y dibujar ZHB y ZΘD desde Z a través de los punto H y Θ. Unir DH y BΘ hasta cortarse cada uno de los otros en el punto K, que se ubicará, obviamente, sobre el diámetro AG.

Decimos, primero, que

AZ / ZG = AK / KG.

[Demostración:] Unir AD, DG, y dibujar LGM a través de G paralelo a AD. Entonces LGM será, obviamente, perpendicular a DG (siendo el ^ ADG recto).

Entonceso, dado que el ^ GDH = ^ GDΘ [en arcos iguales, Euclides III 27],
GL = GM [en triángulos congruentes LDG y MDG].

Fig. 12.1
Fig. 12.1

En consecuencia AD / GL = AD / GM.
Pero AD / GM = AZ / ZG [triángulo ADZ ||| triángulo GMZ]
y AD / LG = AK / KG [triángulo ADK ||| triángulo GLK].
En consecuencia AZ / ZG = AK / KG.

Así que, si imaginamos el Epiciclo ABGD como la actual Excéntrica en la Hipótesis de la Excéntrica, el punto K será el centro de la Eclíptica, y el diámetro AG estará dividido por él por la misma razón como [las cantidades correspondientes] en las Hipótesis Epicíclica. Para ello hemos demostrado que la razón de la máxima distancia AZ en la Hipótesis Epicíclica, sobre ZG la mínima distancia, es la misma como la [razón] de la máxima distancia AK en la [Hipótesis de la] Excéntrica, sobre la mínima distancia, KG.

También decimos, [segundo], que

DZ / ZΘ = BK / KΘ.

[Demostración:] En el diagrama similar [Fig. 12.2] unir la línea BND (obviamente, será perpendicular al diámetro AG), y dibujar desde Θ, ΘX, paralela a ella [BND]. Entonces, dado que

Fig. 12.2
Fig. 12.2

BN = ND,
BN / XΘ = ND / XΘ.
Pero ND / XΘ = DZ / ZΘ [triángulo ZND ||| triángulo ZXΘ]
y BN / XΘ = BK / KΘ [triángulo BNK ||| triángulo ΘXK].
En consecuencia DZ / ZΘ = BK / KΘ.

Entonces, componendo,

(DZ + ZΘ) / ZΘ = BΘ / ΘK.

Y, eliminando las perpendiculares EO y EP, y dividendo, [tomamos],

OZ / ZΘ = PΘ / KΘ [4].

Y, dividendo una vez más,

OΘ / ZΘ = PK / KΘ.

Por lo tanto, si, en la Hipótesis de la Epiciclo, DZ es dibujado en tal sentido que la razón OΘ sobre ZΘ es igual a la razón de la velocidad del Epiciclo sobre la velocidad del planeta, en la Hipótesis de la Excéntrica PK / KΘ tendrá aquella misma razón.

El razonamiento es que, en éste caso [por ej. en la Hipótesis de la Excéntrica], no utilizamos aquella razón obtenida dividendo (a saber, PK / KΘ) para tomar las [posiciones] estacionarias, sino más bien la razón indivisible (a saber, PΘ / KΘ), que es aquella [donde] la velocidad del Epiciclo está en la misma razón sobre la del planeta como el movimiento medio (sólo) en Longitud sobre el Movimiento [Medio] en Anomalía, mientras la razón de la velocidad de la Excéntrica sobre la del planeta es la misma como aquella la del Movimiento Medio del Sol (por ej. la suma del Movimiento [Medio] del planeta en Longitud y en Anomalía) sobre el Movimiento en Anomalía. Por lo tanto, por ej. para Marte,

(velocidad del Epiciclo / velocidad del planeta) ≈ 42 / 37

(aproximadamente para ello la razón es la que, como demostramos, [se] mantiene entre los Movimientos [Medios] en Longitud y en Anomalía) [5].

Por lo tanto ésta también es la razón de OΘ / ΘZ.

Pero la (velocidad de la Excéntrica / velocidad del planeta) ≈ [42 + 37 =] (79 / 37), por ej. es la misma como la razón obtenida componendo, PΘ / ΘK, dado que encontramos que relación dividida, PK / KΘ, es igual a OΘ / ΘZ (por ej. 42 / 37).

Sea lo anterior lo suficiente para nosotros como teoremas preliminares. Resta probar que cuando uno toma las líneas [correspondientes a ZD y a BΘ] divididas en la razón descrita, entonces en ambas Hipótesis, H y Θ representan los puntos en los cuáles [las posiciones] estacionarias parecen tomar lugar, y [por lo tanto] el arco HGΘ debe ser retrógrado, y el resto [del círculo] poseyendo un movimiento hacia adelante. [Para éste propósito] Apolonio de Perge propone el siguiente lema preliminar.

[Ver Fig. 12.3] En el triángulo ABG, en el que

BG > AG,
Si cortamos [en GB] GD >= AG [6], entonces
GD / BD > (^ ABG / ^ BGA).

Su demostración es la siguiente.

(Él dice), completar el paralelogramo ADGE, y sean BA y GE prolongadas para encontrarse en Z. Entonces, dado que

AE [= GD] >= AG,

el círculo dibujado en el centro A con radio AE pasará tanto a través de G o más allá de G. Sea HEG dibujado para pasar a través de G. Entonces, dado que

triángulo AEZ > sector AEH
y triángulo AEG < sector AEG,
(triángulo AEZ / triángulo AEG) > (sector AEH / sector AEG).
Pero (sector AEH / sector AEG) = (^ EAZ / ^ EAG)

Fig. 12.3
Fig. 12.3

y ((base del) triángulo AEZ / (base del) triángulo AEG) = (ZE / EG) [7].
En consecuencia ZE / EG > (^ ZAE / ^ EAG).
Pero ZE / EG = [ZA / AB =] GD / DB.
Y el ^ ZAE = ^ ABG
y el ^ EAG = ^ BGA.
En consecuencia GD / DB > (^ ABG / ^ AGB).

Y es obvio que si es espectado GD (= AE), no es igual a AG, sino mayor, la diferencia en las razones incluso [también] será mayor.

Ahora que hemos establecido este lema preliminar, sea ABGD [Fig. 12.4] el Epiciclo con centro en E y diámetro AEG. Prolongar AEG hasta Z, [representando] nuestro punto de vista, así que

EG / GZ > (velocidad del Epiciclo / velocidad del planeta) [8].

En consecuencia, será posible dibujar una línea ZHB [9] en tal sentido que

½ * (BH / HZ) = (velocidad del Epiciclo / velocidad del planeta).

Entonces, por lo que hemos provisto previamente, si cortamos el arco AD igual al arco AB, y unimos DΘH, el punto Θ representará nuestro punto de vista en la Hipótesis de la Excéntrica, y

½ * (DH / ΘH) = (velocidad del Epiciclo / velocidad del planeta).

Decimos, entonces, que en ambas hipótesis, cuando el planeta alcanza el punto H, éste producirá la apariencia de estacionario, y si cortamos los arcos, no obstante muy pequeños, sobre ambos lados de H, encontraremos que el arco interceptado hacia el Apogeo será un arco de movimiento hacia adelante, y el arco hacia el Perigeo será retrógrado.

[Demostrar:] Primero, cortar arbitrariamente un arco KH hacia el Apogeo, dibujar ZKL y KΘM, y unir BK y DK, y también EK y EH.

Entonces dado que, en el triángulo BKZ,
BH > BK ([10],
BH / HZ > (^ HZK / ^ HBK) [cf. anteriormente].

Fig. 12.4
Fig. 12.4

En consecuencia ½ * (BH / HZ) > (^ HZK / (2 * ^ KBH)) = (^ HZK / ^ KEH)
Pero ½ * (BH / HZ) = (velocidad del Epiciclo / velocidad del planeta).
En consecuencia (^ HZK / ^ KEH) < (velocidad del Epiciclo / velocidad del planeta).

Por lo tanto el ángulo que tiene la misma razón para el ^ KEH tal como la razón (velocidad del Epiciclo / velocidad del planeta) es mayor que el ^ HZK. Sea éste el ángulo ^ HZN. Entonces, el tiempo que el planeta toma recorrer el arco KH del Epiciclo, el centro del Epiciclo se ha movido en dirección opuesta por una cantidad igual a la distancia [angular] desde ZH hasta ZN. Por lo tanto está claro que el arco KH del Epiciclo ha movido el planeta hacia delante a través de un ángulo (el ^ HZK) en su ojo que es menor que el ángulo (el ^ HZN) a través del cual [el movimiento mismo del] Epiciclo lo ha movido hacia atrás durante el mismo espacio de tiempo. Por lo tanto el planeta ha experimentado un movimiento hacia delante [por la cantidad] del ^ KZN.

Similarmente, para realizar el razonamiento como si el círculo [ABGD] fuese una Excéntrica [11]:

Dado que BH / HZ > (^ HZK / ^ HBK),
componendo, BZ / ZH > [^ HZK + ^ HBK =] (^ BKL / ^ HBK).
Pero BZ / ZH = DΘ / ΘH [12].
Y el ^ BKL = ^ DKM [13]
y el ^ HBK = ^ HDK.
En consecuencia DΘ / ΘH > (^ DKM / ^ HDK).
Entonces, componendo, DH / HΘ > [^ DKM + ^ HDK =] (^ HΘK / ^ HDK).
Por lo tanto, dividendo, ½ * (DH / HΘ) > ^ (HΘK / (2 * ^ HDK)) = (^ HΘK / ^ HEK).
Pero ½ * (DH / ΘH) = (velocidad de la excéntrica / velocidad del planeta).
En consecuencia (^ HΘK / ^ HEK) < (velocidad de la Excéntrica / velocidad del planeta).

Por lo tanto, el ángulo que mantiene la misma razón para el ^ HEK tal como la velocidad de la Excéntrica mantiene la velocidad del planeta, es mayor que el ^ HΘK. Sea, nuevamente, el ^ HΘN. Entonces, dado que el planeta, en su movimiento propio a lo largo de KH, ha recorrido hacia adelante a través del ^ KEH, y en el mismo espacio de tiempo ha sido transportado por el movimiento de la Excéntrica hacia atrás a través del ^ HΘN, que es mayor que el ^ KΘH, está claro que, por ésta [hipótesis] también, el planeta parecerá haber experimentado un movimiento hacia delante [por la cantidad] del ^ KΘN.

Es fácil ver que, por el mismo método, puede ser utilizado para probar el caso opuesto [14], si en la misma figura [Fig. 12.5] suponemos que

½ * (LK / KZ) = (velocidad del Epiciclo / velocidad del planeta)
y por consiguiente ½ * (MK / ΘK) = (velocidad de la Excéntrica / velocidad del planeta);

Así que, si unimos LH para producir [(crear)] el triángulo LZH, en el que allí es cortado ZK > ZH, entonces

LK / KZ < (^ HZK / ^ HLK).
En consecuencia ½ * (LK / KZ) < (^ HZK / (2 * ^ HLK)) = (^ HZK / ^ KEH),

que es lo opuesto de lo que anteriormente fue probado [15].

Y, por el mismo razonamiento, uno llegará a una conclusión opuesta [según lo anterior, a saber] que

(^ KEH / ^ HZK) < (velocidad del planeta / velocidad del Epiciclo)
y (^ KEH / ^ HΘK) < (velocidad del planeta / velocidad de la Excéntrica).

Entonces, el ángulo que tiene la misma razón [para el ^ HZK o para el ^ HΘK como la velocidad del planeta lo tiene para la velocidad del Epiciclo o de la Excéntrica] resulta a ser mayor que el ^ KEH, y el [componente del] movimiento retrógrado resultante es mayor que el de hacia adelante [(delantero)].

Además, está claro que para las distancias en las que

EG / GZ <= (velocidad del Epiciclo / velocidad del planeta)

será imposible dibujar otra línea [en el círculo la cuál sea cortada] en una razón igual a aquella [de las velocidades del Epiciclo y del planeta], y el planeta no parecerá estacionario o retrógrado.

Fig. 12.5
Fig. 12.5

Porque dado que, en el triángulo EKZ, EG ha sido cortado y es [igual a, por ej. ] no menor que EK,

(^ GZK / ^ GEK) < EG / GZ.
Pero EG / GZ <= (velocidad del Epiciclo / velocidad del planeta).
En consecuencia (^ GZK / ^ GEK) < (velocidad del Epiciclo / velocidad del planeta).

Por lo tanto, ya que hemos demostrado [Fig. 12.4] que, donde esto ocurre, el planeta ha experimentado un movimiento hacia adelante, [y] no encontraremos un arco, ya sea en el Epiciclo o en la Excéntrica, sobre los cuales parecerá retrógrado.

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Notas de referencia[editar]

  1. Acerca de los capítulos del 1 al 6 [de éste libro] ver HAMA 190-201, Pedersen 331-49.
  2. De hecho, éste tipo de modelo de Excéntrica, es aplicable a los planetas interiores tanto que, siendo provisto para la velocidad del centro de la Excéntrica, uno utiliza, no la Velocidad Media del Sol, sino la suma de la Velocidad Media del Sol con la Anomalía del planeta (cuya suma es la misma como aquella del Movimiento Medio heliocéntrico moderno). No entiendo porque Ptolomeo no reconoce esto.
  3. "también ... en esos" se refiere a las demostraciones más antiguas de la equivalencia de las Hipótesis en el Libro III Capítulo 3 y Libro IV Capítulo 5. Notar que Ptolomeo opone su demostración () a aquellas de los primeros matemáticos, notablemente [como la] de Apolonio de Perge (, H450,9). Esto cuenta en contra de la suposición de Neugebauer (HAMA 264) de que Ptolomeo ha tomado de Apolonio de Perge éste elegante teorema equivalente, a pesar de sus relaciones con [sus obras:] Cónicas III 37-40 y con Plane Loci II 8 ("Círculo de Apolonio").
  4. DZ + ZQ = 2 * OZ, y BΘ = 2 * PΘ (Euclides III 3). En consecuencia (2 * OZ) / ZQ = (2 * PΘ) / ΘK. En consecuencia (OZ / ZΘ) = (PΘ / ΘK). Éste es el último paso que es descrito como dividendo (). Ver Introducción "(i) Geométricos" para los dos sentidos de éste término.
  5. Al principio del Libro IX Capítulo 3. 37 vueltas en Anomalía corresponden alrededor de 42 vueltas en Longitud y 79 años.
  6. Literalmente "no menor que AG".
  7. Euclides VI 1: los triángulos con la misma altura son proporcionales a sus bases.
  8. La situación donde (EG / GZ) = (velocidad del Epiciclo / velocidad del planeta), es la situación límite para que el [movimiento] retrógrado ocurra: ver en éste capítulo luego de la Fig. 12.4.
  9. Debido a Euclides III 8, que prueba que todas las líneas dibujadas hacia un círculo desde un punto fuera de él, aquella [que pasa] a través del centro [del círculo] es la menor [en longitud hasta el círculo].
  10. Euclides III 15.
  11. Leer  (en el manuscrito C² y en el D) en cambio de  ("sobre el círculo de la Excéntrica") en H460,13.
  12. Esto fue probado en éste capítulo [en Fig. 12.2 (DZ / ZΘ) = (BK / KΘ)].
  13. Euclides III 27: ángulos que subtienden arcos iguales son iguales. Por ej. Ptolomeo asume que el arco BL = arco DM. Esto se deduce del hecho que Θ es un punto fijo para un Z dado (cf. HAMA 264-5). Cf. Fig. 12.1, donde es demostrado que (AZ / ZG) = (AK / KG), por consiguiente K (aquí correspondiente a Θ) es un punto fijo.
  14. Por ej. el planeta estará en [movimiento] retrógrado en el otro lado del punto definido por la razón de las velocidades.
  15. Fig. 12.4, donde ½ * (BH / HZ) > (^ HZK / ^ KEH).