Almagesto: Libro XI - Capítulo 10

De Wikisource, la biblioteca libre.
Saltar a: navegación, buscar
Capítulo Anterior Contenidos Capítulo Siguiente

{Método de construcción de las tablas para las Anomalías}[editar]

[1]

No obstante, para evitar siempre [(en forma reiterada)] los cálculos geométricos de las posiciones aparentes (éste es el único método que también brinda una completa solución exacta para tal problema, [siendo] también engorroso para ser el [más] conveniente en las investigaciones [astronómicas]), [por ende] hemos construido para cada uno de los cinco planetas una tabla que es fácil de utilizar tal como podríamos concebir, mientras que al mismo tiempo estar muy próximos de la máxima precisión. [Cada tabla] contiene las Anomalías determinadas individualmente de los planetas, de modo que podemos utilizarlas como una referencia rápida de cálculo para alguna posición aparente en particular, una vez que nos son dados los Movimientos Periódicos desde los respectivos Apogeos.

Nuevamente hemos arreglado cada una de las tablas en 45 líneas en aras [de proveer una] simetría, y las hemos arreglado cada una en 8 columnas. Las primeras 2 columnas contendrán los números de las Posiciones Medias conformadas tanto para el Sol como para la Luna (Libro III Capítulo 6 y Libro V Capítulo 8): en la primer columna los 180 grados comenzando desde el Apogeo, de arriba hacia abajo, y en la segunda los restantes 180 grados del [otro] semicírculo, de abajo hacia arriba, en tal sentido que el número "180" está en la última línea en ambas columnas, y el incremento en los números es de 6º en las 15 primeras líneas (de arriba) [2], pero de 3º en las 30 líneas restantes hacia abajo (las diferencias entre los valores sucesivos de las Anomalías permanece casi constante para los tramos más largos cercanos al Apogeo, mientras que cambian más rápidamente cerca del Perigeo). En cuanto a las dos columnas siguientes, la tercera contendrá las ecuaciones correspondientes a la Posición en Longitud Media (cada una para los argumentos en la misma línea), calculadas para la máximas excentricidades [3], pero bajo la asunción simplificada de que el centro del Epiciclo es transportado sobre la Excéntrica que genera el Movimiento Medio (por ej. de la Ecuante). La cuarta columna contendrá las correcciones a las ecuaciones debidas al hecho que el centro del Epiciclo es transportado, no sobre el círculo anteriormente [descrito], sino sobre otro. El método por el cual cada una de éstas cantidades [de la Ecuación y su corrección], ambas en combinación y separadamente, pueden ser halladas geométricamente habiendo ya sido realizado de manera sencilla por numerosos teoremas precedentes [4]. En este lugar, dado que éste es un tratado [científico], fue apropiado visualizar éste camino de separar la Anomalía zodiacal, y por consiguiente tabularla en dos columnas. Sin embargo, para su uso actual, será suficiente una única columna formada por la combinación de esas dos [5].

Cada una de las siguientes tres columnas contendrán las ecuaciones debidas al Epiciclo. Nuevamente, éstas son calculadas bajo una suposición simplificada, [a saber,] aquella la del Apogeo y la del Perigeo del Epiciclo es vista a lo largo de la línea desde el observador [hasta el centro del Epiciclo] [6]. El camino por el cual este tipo de demostración es realizado, sencillamente ha sido también realizado por los teoremas precedentes. La [columna] del medio de esas tres columnas (que es la sexta desde el principio) contendrá las ecuaciones calculadas para la razón [del radio del Epiciclo con la distancia del centro del Epiciclo] en la distancia media; la quinta contendrá, [para cada argumento], la diferencia entre la ecuación en la máxima distancia [del Epiciclo] con la ecuación para el mismo argumento en la distancia media; la séptima contendrá las diferencias entre las ecuaciones en la mínima distancia con las ecuaciones [correspondientes] en la distancia media. Hemos demostrado esto para los siguientes tamaños de los Epiciclos (a partir de ahora sería mejor listar en orden los planetas desde el más externo):

Saturno Júpiter Marte Venus Mercurio
6;30p 11;30p 39;30p 43;10p 22;30p

la distancia media, por ej. la distancia [equivalente] al radio de la Excéntrica que transporta el Epiciclo, es de 60p en todos los casos; y las máximas distancias (con respecto al centro de la Eclíptica), son:

Saturno Júpiter Marte Venus Mercurio
63;25p 62;45p 66p 61;15p 69p

Las distancias mínimas (definidas similarmente) son:

Saturno Júpiter Marte Venus Mercurio
56;35p 57;15p 54p 58;45p 55;34p [7]

En cuanto a las restantes [columnas], la octava columna, la proporcionamos en orden para que uno pueda encontrar la fracción aplicable de las diferencias anteriores [en las 5° y 7° cols.] cuando el Epiciclo del planeta no está exactamente en la distancia media, máxima o mínima, sino en una posición intermedia ([por ej.] aquella formada por la tangente desde el observador hasta el Epiciclo) en cada distancia intermedia; la [fracción] de la diferencia a ser aplicada por alguna posición en particular [del planeta] en el Epiciclo no es significativamente diferente de aquella para la máxima ecuación.

Pero con el fin de hacer nuestro entendimiento más claro, y para explicar el actual método de cálculo de [fracciones] a ser aplicadas, dibujamos la línea ABGD [ver Fig. 11.24] a través de ambos centros (el centro de la Eclíptica y el centro de la Excéntrica generando el Movimiento Uniforme del Epiciclo). Sea el centro de la Eclíptica tomada en G, y el centro del Movimiento Uniforme del Epiciclo [por ej. el punto de la Ecuante] en B. Prolongar la línea BEZ, describir el Epiciclo ZH alrededor del centro E, y dibujar la tangente a él desde G, [es decir] la línea GH. Unir GE y la perpendicular EH, y supongamos, exempli gratia, que para cada uno de los cinco planetas el centro del Epiciclo está a 30º desde el Apogeo de la Excéntrica en Movimiento Medio.

Fig. 11.24
Fig. 11.24

Entonces (para evitar el alargamiento del cálculo mediante la demostración de la misma cosa una y otra vez), hemos demostrado ampliamente lo que precede, ambas en las hipótesis para Mercurio y en aquellas para los otros planetas [8], así que si el ^ ABE es dado, también es dada la razón de GE sobre el radio del Epiciclo (HE). Por consiguiente, por medio de los cálculos para cada planeta en particular, con el ^ ABE tomado como de 30º, ésta razón viene a ser para:

Saturno Júpiter Marte Venus Mercurio
63;2 / 6;30 62;26 / 11;30 65;24 / 39;30 61;6 [9] / 43;10 66;35 / 22;30.

De este modo, tomaremos para el ^ EGH, que comprende la Máxima Ecuación del Epiciclo en éste punto,

Saturno Júpiter Marte Venus Mercurio
5;55 ½º 10;36 ½º 37;9º 44;56 ½º 19;45º

Y calculamos las Máximas Ecuaciones en la distancia media, de acuerdo a las razones establecidas justamente arriba, como (para evitar repetición, [simplemente las listamos] en un orden correspondiente al orden anterior de los planetas):

Saturno Júpiter Marte Venus Mercurio
6;13º 11;3º 41;10º 46;0º 22;2º

Aquellas [Máximas Ecuaciones] en las máximas distancias como

Saturno Júpiter Marte Venus Mercurio
5;53º 10;34º 36;45º 44;48º 19;2º

y aquellas [Máximas Ecuaciones] en las mínimas distancias como

Saturno Júpiter Marte Venus Mercurio
6;36º 11;35º 41;1º 47;17º 23;53º

Por lo tanto las diferencias entre las ecuaciones en la distancia media y aquellas en la máxima distancia son

Saturno Júpiter Marte Venus Mercurio
0;20º 0;29º 4;25º 1;12º 3;0º

mientras las diferencias entre [aquellas en la distancia media y] aquellas en la mínima distancia son

Saturno Júpiter Marte Venus Mercurio
0;23º 0;32º 5;51º 1;17º 1;51º

Ahora las ecuaciones de las distancias en cuestión [para una Longitud Media de 30º desde el Apogeo] son menores a aquellas para la distancia media, y difieren de este último [cálculo] por las siguientes cantidades:

Saturno Júpiter Marte Venus Mercurio
0;17 ½º 0;26 ½º 4;1ºº 1;3 ½º 2;17º

y esto reciente (expresado en sexagésimas [partes] de las diferencias totales anteriores entre [las ecuaciones de] la distancia media y la máxima distancia) [10] son:

Saturno Júpiter Marte Venus Mercurio
52;30 54;50 54;34 52;55 45;40

Así son los valores, en sexagésimas [partes], que ponemos en la 8 ava. columna de la tabla apropiada, en la línea conteniendo el número "30" para el Movimiento Medio en Longitud.

Aquellas distancias que tienen Máximas Ecuaciones con respecto de aquellas en la distancia media, reducimos nuevamente las diferencias [resultantes] a sexagésimas [partes], pero en éste caso expresado en fracciones, no de las Ecuaciones [correspondientes] en la Máxima distancia, sino de aquellas en la Mínima distancia. Por el mismo camino [como el anterior], realizamos el cálculo para todas otras oposiciones [del Epiciclo] a intervalos de 6º de Longitud Media [11], y las resultantes fracciones tabuladas, expresadas en sexagésimas [partes], opuestas a los argumentos apropiados. Como dijimos, la fracción de la diferencia a ser aplicada es sensiblemente la misma incluso cuando la posición de un planeta no está en la Máxima Ecuación del Epiciclo, sino en algún otro punto sobre el Epiciclo.

Los diseños de las cinco tablas son los siguientes.

Capítulo Anterior Contenidos Capítulo Siguiente
Libro XI
Capítulos
01 02 03
04 05 06
07 08 09
10 11 12

Notas de referencia[editar]

  1. Ver HAMA 183-6, Pedersen 291-4.
  2. Leer  (en los manuscritos D e Is) en cambio de  ("la primera de arriba") en H428,18.
  3. Por ej. las Ecuaciones del centro calculadas para la Excentricidad doble (ZE en la Fig. 11.23, donde la Ecuación es [= al] ^ ZBE).
  4. Por ej. en el Libro XI Capítulo 5 desde la Fig. 11.13 hasta el final del capítulo y en el Libro XI Capítulo 9.
  5. Aquí el propósito didáctico del Almagesto está hecho explícitamente. [La frase el] "Tratado [científico]" es mi traducción de . Ver LSJ s.v. 3 para este significado, que es típico de la prosa helenística, aunque no parece ser clásica. Incluso en las Tablas Manuales, Ptolomeo no combina las dos columnas en una, y [siendo] ésta el modelo de todas las tablas subsecuentes medievales y las más antiguas.
  6. Por ej. la Ecuación de la Anomalía está calculada como una función, no de la Anomalía Media, sino de la Verdadera, que es contada desde el Apogeo Verdadero del Epiciclo.
  7. Para este valor de la mínima distancia del centro del Epiciclo de Mercurio, ver al final del Libro IX Capítulo 9 nota de referencia nro. 8.
  8. Mercurio, en el Libro IX Capítulo 9 desde Fig. 9.6 hasta el final del capítulo; para los otros planetas, Libro X Capítulo 2, Libro X Capítulo 8, Libro XI Capítulo 2 y Libro XI Capítulo 6.
  9. Leer seg.  seg. (en los manuscritos A, D y Ar) en cambio de seg.  seg. (61;26) en H433,4. En H503,5 todos los manuscritos tienen 61;6. Corregido por Manitius.
  10. Por lo tanto, por ej. para Saturno 0;17 ½ / 0;20 = 52 ½ / 60.
  11. Las pasos con los cuales estos valores fueron calculados a intervalos de 6º, incluso donde la función es tabulada a intervalos de 3º, son fácilmente verificados tomando las diferencias entre los valores sucesivos de la 8 ava. columna para Marte.