Almagesto: Libro III - Capítulo 06

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{Sobre la construcción de una tabla para subdivisiones individuales de la Anomalía}[editar]

[1]

En orden de permitirle a uno determinar el Movimiento Anomalístico sobre alguna de las subdivisiones [del círculo], por ambas hipótesis demostraremos nuevamente como podemos calcular las otras [subdivisiones restantes] dado uno de los arcos en cuestión.

[Ver Fig. 3.12.] Primero, sea ABG el círculo con centro en D concéntrico a la Eclíptica, la Excéntrica EZH con centro en Θ, y sea EAΘDH el diámetro a través de ambos centros y del Apogeo E. Cortar el arco EZ, y unir ZD, ZΘ. Primero, sea dado el arco EZ, por ej. de 30º.

Fig. 3.12
Fig. 3.12

Prolongar ZΘ y eliminar DK, la perpendicular a él desde D.
Entonces, dado que el arco EZ es, por hipótesis, de 30º.
^ EΘZ = ^ DΘK = 30º donde 4 ángulos rectos = 360º
^ EΘZ = ^ DΘK = 60ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo DΘK,

Arco DK = 60°
y el arco KΘ = 120° (suplementario).

En consecuencia las cuerdas correspondientes

Arco DK = 60p donde la hipotenusa DΘ = 120p.
y KΘ = 103;55p donde la hipotenusa DΘ = 120p.
Por lo tanto, donde
DΘ = 2;30p y el radio ZΘ = 60p,
DK = 1;15p y ΘK = 2;10p.

Por lo tanto, por adición [de ΘK al radio ZΘ],

KΘZ = 62;10p.
Ahora ya que DK ^2 + KΘZ ^2 = ZD ^2,
la hipotenusa ZD ≈ 62;11p.
Por lo tanto, donde ZD = 120p, DK = 2;25p,

y, en el círculo donde el triángulo rectángulo ZDK,

el Arco DK = 2;18º.
en consecuencia ^ DZK = 2;18ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº
en consecuencia ^ DZK = 1;9º donde 4 ángulos rectos = 360º.

Esto [1;9º] será la cantidad de la ecuación de la anomalía en esa posición.

Y el ^ EΘZ fue tomado como de 30º.

Por lo tanto, por sustracción, el ^ ADB es igual a 28;51º (que es igual al arco AB de la Eclíptica).

Además; si es dado alguno de los otros ángulos [relevantes, en cambio del ^ EΘZ], los ángulos restantes serán dados de inmediato, como es evidente, si en la misma figura [ver Fig. 3.13] eliminamos la perpendicular ΘL desde Θ hasta ZD.

Fig. 3.13
Fig. 3.13

Supongamos primero que es dado el arco AB de la Eclíptica, por ej. el ^ ΘDL. Entonces la razón DΘ / ΘL será dada [2]. Y ya que también es dada [la reazón] DΘ / ΘZ, lo será la ΘZ / ΘL [3]. Por lo tanto el ^ ΘZL, Ecuación de la Anomalía, será dada [4], y también lo será el ^ EΘZ, por ej. el arco EZ de la Excéntrica.

(Segundo) o supongamos que es dada la Ecuación de la Anomalía, por ej. el ^ ΘZD: tomaremos, entonces, los mismos resultados en orden inverso. Desde el ^ ΘZD será dada la razón ΘZ / ΘL, y la [razón] ΘZ / ΘD fue determinada al principio. En consecuencia DΘ / ΘL será dada, y por lo tanto el ^ ΘDL, por ej. del arco AB de la Eclíptica, y [por ende] el ^ EQZ, por ej. del arco EZ de la Excéntrica.

Seguidamente [ver fig. 3.14] sea el círculo ABG con centro en D y diámetro ADG concéntrico con la Eclíptica, y sea el Epiciclo EZHΘ con centro en A (en la misma razón [al círculo ABG como la Excentricidad de la Excéntrica]). Cortar el arco EZ y unir ZBD y ZA. Nuevamente sea el arco EZ tomado por la misma cantidad de 30º. Eliminar la perpendicular ZK desde Z hasta AE.

Fig. 3.14
Fig. 3.14

Dado que el Arco EZ = 30º,
^ EAZ = 30º donde 4 ángulos rectos = 360º
^ EAZ = 60ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo AZK [inscripto]

Arco ZK = 60º
y Arco AK = 120º (suplementario).

En consecuencia, las cuerdas correspondientes

ZK = 60p donde el diámetro AZ = 120p.
Y KA = 103;55p donde el diámetro AZ = 120p.
Por lo tanto donde la hipotenusa AZ = 2;30p y el radio AD = 60p
ZK = 1;15p, KA = 2;10p,
y, por adición, KAD = 62;10p.
Y dado que ZK ^2 + KD ^2 = ZBD ^2,
ZD = 62;11p, donde ZK = 1;15p. Entonces donde la hipotenusa DZ = 120p, ZK = 2;25p, y, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo DZK, Arco ZK = 2;18º.
en consecuencia ^ ZDK = 2;18ºº donde 4 ángulos rectos = 360ºº
en consecuencia ^ ZDK = 1;9º donde 2 ángulos rectos = 360º.

Nuevamente, ésta es la cantidad de la Ecuación de la Anomalía, que está representada por el arco AB.

Y el ^ EAZ fue tomado como de 30º.

Por lo tanto, por sustracción, el ^ AZD, que representa el arco del Movimiento Aparente sobre la Eclíptica, es de 28;51º.

Estas cantidades están de acuerdo con las que hallamos en la Hipótesis de la Excéntrica.

Si aquí también algún otro ángulo es dado [en cambio del ^ EAZ], los ángulos restantes serán dados, [como puede ser visto] en la misma figura [ver Fig. 3.15] si la perpendicular AL es eliminada desde A hasta DZ.

Fig. 3.15
Fig. 3.15

Pero si tomamos primero, como antes, el arco del movimiento aparente sobre la Eclíptica, por ej. dado el ^ AZD, desde éste será dada la rezón ZA / AL. Y ya que [la razón] ZA / AD fue dada al principio, lo será [también] DA / AL. Por lo tanto el ^ ADB será dado, por ej. el arco AB, arco de la Ecuación de la Anomalía, y también lo será el ^ EAZ, por ej. el arco EZ del Epiciclo.

Segundo, si tomamos la Ecuación de la Anomalía, por ej. dado el ^ ADB, entonces, por el mismo camino pero en orden inverso, desde éste [ángulo] será dada [la razón] AD / AL; y ya que DA / AZ fue determinada al principio, lo será también ZA / AL y por lo tanto será dado el ^ AZD, que corresponde al arco del movimiento aparente sobre la Eclíptica, y también será dado el ^ EAZ, ej. desde el arco EZ del Epiciclo.

Tomemos nuevamente la figura anterior de la Excéntrica [ver Fig. 3.16], y cortar desde H, el Perigeo de la Excéntrica, [es decir] el arco HZ que nuevamente tomaremos como de 30º. Unir DZB y ZΘ, y eliminar la perpendicular DK desde D hasta ΘZ.

Fig. 3.16
Fig. 3.16

Luego dado que el arco ZH es = a 30º,
^ ZΘH = 30º donde 4 ángulos rectos = 360º
^ ZΘH = 60º donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto en el círculo alrededor del triángulo rectángulo DΘK,

Arco DK = 60º
y Arco KΘ = 120º (suplemento).

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

DK = 60p donde el diámetro DΘ = 120p.
y KΘ = 103;55p donde el diámetro DΘ = 120p.
Por lo tanto donde la hipotenusa DΘ = 2;30p y el radio ΘZ = 60p,
DK = 1;15p y ΘK = 2;10p,
y KZ = 57;50p por sustracción [de ΘK desde ΘZ]
Y ya que DZ ^ 2 = DK ^ 2 + KZ ^ 2,
DZ ≈ 57;51p donde DK = 1;15p.

Por lo tanto donde la hipotenusa

DZ = 120p, DK = 2;34p. [5]

Y, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo DZK,

Arco DK = 2;27º.
en consecuencia ^ DZK = 2;27ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº
en consecuencia ^ DZK = 1;14º (aproximadamente) donde 4 ángulos rectos = 360º.
Estos [1;14º], son entonces, la Ecuación de la Anomalía.

Y dado que el ^ ZΘH fue tomado como de 30º, por adición, el ^ BDG, por ej. el arco GB de la Eclíptica, es igual a 31;14º.

Aquí también, en el mismo sentido [como antes], [ver Fig. 3.17] prolongamos BD y eliminamos ΘL hacia él.

Fig. 3.17
Fig. 3.17

Entonces, si, primero, tomamos el arco GB de la Eclíptica, por ej. dado el ^ ΘDL, desde éste será dada la razón DΘ / ΘL. Y ya que ΘD / ΘZ fue también determinada en el comienzo, será dada ZΘ / ΘL. Por lo tanto, tendremos dados los ángulos

^ ΘZD, por ej. la Ecuación de la Anomalía y el ^ ZΘD, por ej. el arco HZ de la Excéntrica.

O si, (segundo), tomamos la Ecuación de la Anomalía, por ej. dado el ^ ΘZD, entonces, recíprocamente, desde éste será dada [la razón] ZΘ / ΘL. Y ya que ZΘ / ΘD fue también dada al comienzo, lo será DΘ / ΘL. Por lo tanto tendremos, como ángulos dados,

el ^ ΘDL, que corresponde al arco GB de la Eclíptica y el ^ ZΘH, por ej. el arco HZ de la Excéntrica.

Similarmente, en la figura anterior de la Excéntrica y del Epiciclo [ver Fig. 3.18], cortamos el arco ΘH desde el Perigeo, por la misma cantidad de 30º, [y] unir AH y DHB, y eliminamos la perpendicular HK desde H hasta AD.

Entonces, dado que el arco ΘH es nuevamente de 30º,
^ ΘAH = 30º donde 4 ángulos rectos = 360º
^ ΘAH = 60ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto en el triángulo rectángulo HKA, [inscripto] en el círculo

Arco HK = 60º
y Arco AK = 120º (suplementario).

Fig. 3.18
Fig. 3.18

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

HK = 60p. donde la hipotenusa AH = 120p.
y AK = 103;55p. donde la hipotenusa AH = 120p.
Por lo tanto donde AH = 2;30p y el radio AD = 60p,
HK = 1;15p, AK = 2;10p y KD = 57;50p, por sustracción.
y ya que HK ^ 2 + KD ^ 2 = DH ^ 2,
DH ≈ 57;51p donde KH = 1;15p.
Por lo tanto donde la hipotenusa DH = 120p
HK = 2;34p,
Y, en el círculo siendo DHK, el arco HK = 2;27º.
en consecuencia ^ HDK = 2;27ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº
en consecuencia ^ HDK = 1;14º donde (aproximadamente) 4 ángulos rectos = 360º.

Entonces, aquí también este es el tamaño de la Ecuación de la Anomalía, por ej. el arco AB.

Y ya que el ^ KAH fue tomado como de 30º, por adición, el ^ BHA es de 31;14º, [que] representa el movimiento aparente sobre la Eclíptica [contado desde el Perigeo]. Estas cantidades están de acuerdo con todas aquellas halladas en la [Hipótesis de la Excéntrica].

Aquí también, por el mismo camino [de antes], eliminamos la perpendicular AL hasta DB [ver Fig. 3.19].

Entonces si, primero, tomamos el arco de la Eclíptica, por ej. dado el ^ AHL, desde éste será dada la razón HA / AL. Y ya que HA / AD fue dada al principio, lo será DA / AL. Por consiguiente tendremos como ángulos dados

el ^ ADB, por ej. el arco AB, representando la Ecuación de la Anomalía y ^ ΘAH, por ej. el arco ΘH del Epiciclo.

O si, (segundo), tomamos como dado el arco AB, representando la Ecuación de la Anomalía, por ej. el ^ ADB, entonces, del mismo modo pero en orden inverso, desde éste será dada la razón DA / AL. Y ya que [la razón] DA / AH es dada desde el principio, también será dada HA / AL.

Por lo tanto tendremos dados

el ^ AHL, por ej. el arco de la Eclíptica y el ^ ΘAH, por ej. el arco ΘH de la Eclíptica.

Así, hemos demostrado lo que nos propusimos realizar.

Con el fin de tener convenientemente dispuesta la cantidad de la corrección para cualquier posición dada, [queremos] establecer una tabla, subdividida dentro de secciones [apropiadas], para el cálculo de las posiciones aparentes de la Anomalía. Los teoremas de arriba permitirán una amplia variedad [de éstas posiciones] en el formato de una tabla [6], aunque preferimos la forma donde el argumento es el Movimiento Medio y la función es la Ecuación de la Anomalía [7]. Este formato está muy bien de acuerdo con las teorías presentadas, y brinda también un simple pero muy práctico camino de cálculo para cualquier resultado deseado. Entonces, utilizando el primer conjunto de teoremas [por ej. el de la Hipótesis de la Excéntrica] que hemos utilizado en los ejemplos numéricos anteriores, calculamos geométricamente, por el camino descrito, la Ecuación de la Anomalía correspondiente al arco del Movimiento Medio, para las subdivisiones individuales [del círculo]. En general, ambas [Hipótesis] para el Sol y para otros cuerpos, dividimos los cuadrantes en 15 subdivisiones cerca del Apogeo [8] (por lo tanto en esos cuadrantes el intervalo de tabulación será de 6º), y los cuadrantes cerca del Perigeo dentro de 30 subdivisiones (por ende en ese el intervalo de tabulación será de 3º). El razonamiento es que las diferencias entre las Ecuaciones de las Anomalías [sucesivas], para subdivisiones iguales [del argumento], son mayores cerca del Perigeo que cerca del Apogeo.

Estableceremos la tabla de la Anomalía del Sol, entonces, en 45 líneas, como [lo hicimos] antes, y en 3 columnas. Las primeras dos columnas contendrán los números del Movimiento Medio a través de los 360º: las primeras 15 líneas comprenderán los dos cuadrantes cerca del Apogeo, las 30 siguientes los dos cuadrantes cerca del Perigeo. La tercer columna contendrá los grados de la Ecuación de la Anomalía a ser sumada o restada, correspondientes al Movimiento Medio apropiado. La tabla es la siguiente:

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Notas de referencia[editar]

  1. Leer  en H240,16-17, con el manuscrito D (cf. todo el manuscrito griego en la tabla de contenidos, H190,9-10) en cambio de  (“investigación de la anomalía para extensiones parciales”, que es la lectura en el manuscrito Ar en ambos lugares). En los capítulos 5 y 6 ver HAMA 58-60, Pedersen 149-51.
  2. Euclides Data 40: si los ángulos de un triángulo son dados, sus lados están dados de la forma (por ej. la razón de los lados es dada, cf. DATA 3).
  3. Euclides Data 8: aquellas magnitudes teniendo una razoón dada para la misma magnitud, tienen una razón dada la una para la otra. DQ / QZ está dada como la razón de la Excentricidad.
  4. Euclides Data 43; si, en un triángulo rectángulo, los lados de uno de los ángulos agudos tienen una relación dada, el triángulo se da en forma (cf. nota de referencia anterior nro. 2).
  5. Leer segmento segmento  en cambio de segmento seg.  seg.  (2;34,36) en H247,6, en el manuscrito Ar. Cálculos precisos dan 2;35,34 (cf. leer D^2), pero aquí Ptolomeo sólo da sus resultados en minutos, y 2;34 es correcto, dado que Cuerda 2;27º = 2;33,55p ≈ 2;34p. El número 36 probablemente fue una corrección marginal del número 34 (cf. leer el manuscrito D en H249,20), que fue más tarde erróneamente incorporado como un lugar extra. La misma corrección ha sido realizada en el manuscrito H 249,20 (ambas hechas por Manitius).
  6. Teóricamente lo que quiere decir Ptolomeo es que uno puede tomar como argumento tanto el Movimiento Medio (seg. ), la posición verdadera (), o la Ecuación ().
  7. Literalmente “que contiene la Ecuación de la Anomalía correspondiente a los arcos del Movimiento Medio”.
  8. Leer  (con todos los manuscritos) en cambio de  (error de imprenta en Heiberg) en H251,24. Corregida por Manitius.