Almagesto: Libro III - Capítulo 05

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{Sobre la Anomalía Aparente del Sol}[editar]

[1]

Habiendo establecido anteriormente los teoremas preliminares, debemos agregar una futura tesis preliminar concerniente a la Anomalía Aparente del Sol. Ésta tiene que ser sólo una Anomalía, de tal tipo en donde el tiempo tomado desde la velocidad mínima hasta la media siempre será mayor que el tiempo desde la velocidad media hasta la mayor, para ello encontramos que ella está de acuerdo con el fenómeno. Ahora, esto podría representar ambas de las Hipótesis descritas anteriormente, aunque en el caso de la Hipótesis del Epiciclo el Movimiento del Sol sobre el arco del Apogeo del Epiciclo tendría que estar después [de lo siguiente].

Sin embargo, podría verse más razonable, asociarlo con la Hipótesis de la Excéntrica ya que ésta es más simple y se realiza por medio de un movimiento en cambio de dos [2].

Nuestra primera tarea es encontrar la razón de la Excentricidad del círculo [órbita] del Sol, esto es, la razón en la que la distancia entre el centro de la Excéntrica y el centro de la Eclíptica (localizada en el [lugar del] observador) da [como resultado] el radio de la Excéntrica. Debemos también hallar el grado de la Eclíptica sobre el cuál se ubica el Apogeo de la Excéntrica.

Estos problemas han sido resueltos por Hiparco con gran cuidado [3]. Él asume que el intervalo desde el Equinoccio de primavera hasta el Solsticio de verano es de 94 ½ días, y que el intervalo desde el Solsticio de verano hasta el equinoccio de otoño es de 92 ½ días, y entonces, con esas observaciones como sus únicos datos [que él posee], demuestra que la línea del segmento entre los centros arriba mencionados [de la Excéntrica y la Eclíptica] es de aproximadamente 1/24 partes del radio de la Excéntrica, y que el apogeo está aproximadamente a 24 ½º (donde la Eclíptica está dividida por 360º) por delante del Solsticio de verano. Nosotros también, en nuestro (propio) tiempo [(por el de Ptolomeo)], encontramos aproximadamente los mismos valores para los tiempos [que toma el Sol en recorrer] los cuadrantes arriba mencionados, y para aquellas relaciones. Por lo tanto, está claro para nosotros que la Excéntrica del Sol siempre mantiene la misma posición relativa en los puntos Solsticiales y Equinocciales [4].

En orden de no obviar éste tema, sino más bien mostrar el teorema trabajado de acuerdo con nuestra propia solución numérica, también resolveremos el problema para la excéntrica, utilizando los mismos datos observados, a saber, como los ya establecidos, en los que el intervalo desde el Equinoccio de primavera hasta el Solsticio de verano comprende 94 ½ días, y que desde el Solsticio de verano hasta el Equinoccio de otoño, 92 ½ días. Nuestras observaciones muy precisas de [un] Equinoccio y de [un] Solsticio en el 463 er. año desde la muerte de Alejandro, se confirman los totales de los días en esos intervalos: tal como hemos dicho Libro III Capítulo 2, el Equinoccio de otoño ocurrió el 9 de Athyr [III] [26 Septiembre del 139], después de la salida del Sol, el Equinoccio de primavera el 7 de Pachon [IX] [22 de Marzo del 140], después del mediodía (por lo tanto el intervalo [entre ellos] es 178 ¼ días), y el Solsticio de verano entre el 11/12 de Mesore [XII], [24/25 de Junio del 140], después de medianoche. Por lo tanto éste intervalo, desde el Equinoccio de primavera hasta el Solsticio de verano, comprende 94 ½ días, lo que deja aproximadamente 92 ½ días para completar el año; éste número representa el intervalo desde el Solsticio de verano hasta el siguiente Equinoccio otoñal [5].

[Ver Fig. 3.9] Sea la eclíptica ABGD con centro en E. En ella dibujamos dos diámetros, AG y BD, cada uno en ángulos rectos, a través de los puntos Solsticiales y Equinocciales. Sea A que representa el [Equinoccio] de primavera, B el [Solsticio] de verano, y así sucesivamente en orden.

Fig. 3.9
Fig. 3.9

Ahora es claro que el centro de la Excéntrica estará ubicado entre las líneas EA y EB. El semicírculo ABG comprende más de la mitad de la longitud de un año, y por lo tanto corta más que un semicírculo de la Excéntrica; y el cuadrante AB también comprende un tiempo más largo y corta un arco mayor de la Excéntrica que el cuadrante BG. Siendo esto así, sea Z el punto que representa el centro de la Excéntrica, (y) dibujar el diámetro a través de ambos centros y el apogeo EZH. Con centro en Z y un radio arbitrario dibujar la Excéntrica del Sol ΘKLM, y dibujar a través de Z las líneas NXO paralela a AG y la PRS paralela a BD. Dibujar la perpendicular ΘTY desde Θ a NXO y la perpendicular KFQ desde K hacia PRS.

Ahora dado que el Sol atraviesa el círculo ΘKLM con movimiento uniforme, éste recorrerá el arco ΘK en 94 ½ días, y el arco KL en 92 ½ días. En 94 ½ días su Movimiento Medio es de aproximadamente 93;9º, y en 92 ½ días 91;11º.

Por lo tanto, Arco ΘKL = 184;20º
y, por sustracción del semicírculo NPO [del arco ΘKL],
Arco NΘ + arco LO [= 184;20º - 180º] = 4;20º
Entonces Arco ΘNY = 2 * arco ΘN = 4;20º también,
en consecuencia ΘY = cuerda arco ΘNY ≈ 4;32p (*)
y EX = ΘT = ½ ΘY = 2;16p (*)

(*) donde el diámetro de la excéntrica es = 120p,

Ahora ya que Arco ΘNPK = 93;9º,
y Arco ΘN = 2;10º
y cuadrante NP = 90º,
por sustracción, Arco PK = 0;59º,
y Arco KPQ = 2 * arco PK = 1;58º.
en consecuencia KFQ = cuerda arco KPQ = 2;4p, (*)
y ZX = KF = ½ KFQ = 1;2p (*)

(*) donde el diámetro de la excéntrica = 120p.

Y hemos demostrado que

EX = 2;16p en las mismas unidades.
Ahora dado que EZ ^ 2 = ZX ^ 2 + EX ^ 2,
EZ ≈ 2;29 1/2p
Donde el radio de la excéntrica es = 60p.

Por lo tanto el radio de la Excéntrica es aproximadamente 24 veces la distancia entre los centros de la Excéntrica y de la Eclíptica.

Ahora, ya que EZ / ZX = 2;29 ½ / 1;2,
ZX será alrededor de 49;46p donde la hipotenusa EZ es = 120p.

Por lo tanto, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo EZX,

Arco ZX ≈ 49º.
en consecuencia ^ ZEX = 49ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº
en consecuencia ^ ZEX = 24;30º donde 4 ángulos rectos = 360º.

Entonces, dado que el ^ ZEX es un ángulo en el centro de la Eclíptica [(ADGB)], el arco BH es también de 24;30º, que es la cantidad por la que el Apogeo en H, está por delante del Solsticio de verano B.

Además, dado que los cuadrantes OS y SN son cada uno de 90º,

y Arco OL = arco ΘN = 2;10º,
y Arco MS = 0;59º,
en consecuencia Arco LM = 86;51º,
y Arco MΘ = 88;49º.

pero el Sol viaja en su Movimiento Uniforme recorriendo

86;51º cerca 88 1/8 días,
y 88;49º cerca de 90 1/8 días.

Por lo tanto está claro que el Sol recorrerá el arco GD, que se extiende desde el Equinoccio hasta el Solsticio de invierno, por alrededor de 88 1/8 días, y el arco DA, que se extiende desde el Solsticio de invierno hasta el Equinoccio de primavera, cerca de 90 1/8 días. Las conclusiones anteriores están de acuerdo con lo que decía Hiparco.

Utilizando esas cantidades, entonces, permitámonos ver primero que la mayor diferencia entre los Movimientos Medio y Anomalístico exista, y en qué puntos ocurrirá.

[Ver Fig. 3.10] Sea el círculo Excéntrico ABG con centro en D y el diámetro ADG a través del Apogeo A, sobre el cual E representa el centro de la Eclíptica.

Dibujar EB en los ángulo recto hasta AG, y unir DB.

Ahora dado que, donde BD, [es] el radio, [e] igual a 60p, DE, la Excentricidad, igual a 2;30p (de acuerdo a la razón 24 / 1), [entonces] en el círculo alrededor del triángulo rectángulo BDE,

DE = 5p donde la hipotenusa BD = 120p,
y Arco DE ≈ 4;46º.

Por lo tanto el ^ DBE, que representa la Mayor Ecuación de la Anomalía,

= 4;46ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº
= 2;23º donde 4 ángulos rectos = 360º.

En las mismas unidades, el ángulo recto BED = 90º,

y ^ BDA = ^ DBE + ^ BED = 92;23º.

Fig. 3.10
Fig. 3.10

Por lo tanto, dado que el ^ BDA está en el centro de la Excéntrica y el ^ BED está en el centro de la Eclíptica, concluimos que la Mayor Ecuación de la Anomalía es de 2;23º, y la posición donde ésta ocurre es a 92;23º desde el Apogeo, medido a lo largo de la Excéntrica con Movimiento Uniforme, y (como probamos en un principio) un cuadrante, o 90º [desde el apogeo], medido a lo largo de la Eclíptica en Movimiento Anomalístico. Es obvio desde nuestros previos resultados que en el semicírculo opuesto [6], la velocidad media y la Mayor Ecuación de la Anomalía ocurrirá en los 270º del Movimiento Aparente, y en los 267;37º del Movimiento Medio sobre la Excéntrica.

Ahora queremos utilizar los cálculos numéricos, como prometimos en el Libro III Capítulo 4 (Fig. 3.2 y 3.3), y demostrar que uno también deriva las mismas cantidades desde las Hipótesis del Epiciclo, y dadas las mismas razones, éstas se mantienen [iguales] según el camino que [ya] explicamos.

[Ver Fig. 3.11] Sea el círculo ABG con centro en D y diámetro ADG, concéntrico a la Eclíptica, y el círculo del Epiciclo EZH sobre el centro A. Desde D dibujar una tangente hasta el Epiciclo, DZB, y unir AZ. Entonces, como antes, en el triángulo rectángulo ADZ, AD es 24 veces AZ, de modo que, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo ADZ, AZ es, nuevamente, de 5p donde la hipotenusa AD es de 120p, y el arco sobre AZ es de 4;46º.

en consecuencia ^ ADZ = 4;46ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.
en consecuencia ^ ADZ = 2;23º donde 4 ángulos rectos = 360º.

Fig. 3.11
Fig. 3.11

Por lo tanto, la Mayor Ecuación de la Anomalía, a saber el arco AB, ha sido hallada ser de 2;23º, también aquí de acuerdo con [el previo resultado], y el arco del Movimiento Anomalístico es de 90º, dado que representado por el ángulo recto AZD, mientras el arco del Movimiento Medio, que está representado por el ^ EAZ, es nuevamente de 92;23º.

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Notas de referencia[editar]

  1. Ver HAMA 57-8, Pedersen 144-9.
  2. Por conveniencia en la simplicidad de las hipótesis ver el Libro III Capítulo 2 nota de referencia nro. 15.
  3. Leer μετα  (en los manuscritos D y Ar) en H233,1-2 en cambio de μετα  (“con cuidado”).
  4. De acuerdo con Ptolomeo el Apogeo del Sol (no como [sucede con] aquellos de los cinco planetas, que estos más tarde se trasladan, Libro IX Capítulo 9) éste no comparte el movimiento de la precesión. Los reproches que han sido apuntados a Ptolomeo son injustificados (por ej. los de Manitius en I 428-9) por el error en descubrir que el apogeo del Sol también tiene un movimiento a través de la Eclíptica. Para hacer esto él podría haber necesitado observaciones mucho más precisas en el instante del Equinoccio y del Solsticio que aquellas disponibles ([con una precisión] al más próximo ¼ de día), y no sólo para su propia época sino también para una más antigua. Ver los papeles de Rome [3] y Pedersen y los de Schmidt para una demostración matemática de ello.
  5. En Libro III Capítulo 2, los instantes precisos dados del día son: “1 hora después de la salida”, “1 hora después del mediodía” y “2 horas después de la medianoche”. Por lo tanto los intervalos precisos son de 178 ¼ días y de 94 días 13 horas, principalmente en las figuras corregidas de 94 días 13 horas y de 92 días 11 horas para los intervalos utilizados en los cálculos. Pero ver en el Libro III Capítulo 2 la nota de referencia nro. 21, por la posibilidad de que el tiempo del Solsticio ocurra en las “2 horas de estación” (≈ 1 2/3 horas equinocciales). Incluso un cambio tan pequeño como el de una hora en un intervalo tiene un efecto cerca de 1º en la ubicación del Apogeo (cf. Petersen y Schmidt 80-3 y Rome [3] 13-15).
  6. Leer  (en los manuscritos D y Ar.) en cambio de  (“segmento”) en H239,12.