Almagesto: Libro III - Capítulo 04

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{Sobre la Hipótesis del Movimiento Circular Uniforme}[editar]

[1]

Nuestra próxima tarea es demostrar la Anomalía Aparente del Sol. Pero primero debemos dedicarnos al punto general de que los movimientos hacia atrás de los planetas con respecto a los cielos son justamente, en cada caso, como los movimientos del Universo hacia adelante, de naturaleza uniforme y circular. Es decir, si imaginamos los cuerpos o sus círculos siendo transportados sobre [otro] círculo por líneas rectas [radios], en cada caso la línea recta en cuestión describe absolutamente ángulos iguales en tiempos iguales en el centro de su revolución. La irregularidad [anomalía] aparente en sus movimientos es el resultado de la posición y orden de cada uno de estos círculos en la esfera en medio de los cuales llevan a cabo sus movimientos, y en realidad allí no hay en esencia nada extraño que los fenómenos suponen exhibir como "desordenado" en su naturaleza eterna. La razón por la apariencia de irregularidades puede ser explicada por dos Hipótesis, que son las más básicas y sencillas. Cuando sus movimientos son observados con respecto a un círculo imaginado estando en el plano de la Eclíptica, cuyo centro coincide con el centro del Universo (por lo tanto su centro puede ser considerado coincidir con nuestro punto de vista), entonces podemos suponer, tanto que el Movimiento Uniforme de cada [cuerpo] toma lugar en un círculo que no es concéntrico con el [del] Universo, o tienen un círculo concéntrico, aunque toman lugar sus movimientos uniformes, no realmente sobre éste círculo, sino sobre otro círculo, que es transportado por el primer círculo, y [por lo tanto] es conocido como Epiciclo. Serán demostradas que ambas de éstas hipótesis permitirán [a los planetas], parecer ante nuestros ojos, recorrer arcos desiguales de la Eclíptica (que es concéntrica al Universo) en tiempos iguales.

Fig. 3.1
Fig. 3.1

En las Hipótesis de las Excéntricas: [ver Fig. 3.1.] imaginamos el círculo excéntrico ABGD, sobre el cuál el cuerpo viaja [lo recorre] con un movimiento uniforme, con centro en E, con un diámetro AED, sobre el que el punto Z representa el observador [2]. Por lo tanto A es el apogeo, y D el perigeo. Cortamos arcos iguales AB y DG, y unimos BE, BZ, GE y GZ. Entonces, es inmediatamente obvio que el cuerpo recorrerá los arcos AB y GD en tiempos iguales, pero [en el transcurso de su recorrido] parecerán haber atravesado arcos iguales de un círculo dibujado sobre el centro Z. Entonces

^ BEA = ^ GED.
pero ^ BZA < ^ BEA (o ^ GED),
y ^ GZD = ^ GED (o ^ BEA).

En la Hipótesis del Epiciclo: imaginamos [ver Fig. 3.2] el círculo ABGD concéntrico con la Eclíptica con centro en E, [y] de diámetro AEG, y el epiciclo transportado por él, sobre el cuál el cuerpo se mueve, como [el cículo] ZHΘK con centro en A.

Fig. 3.2
Fig. 3.2

Entonces aquí también es inmediatamente obvio que, como el Epiciclo recorre el círculo ABGD con un Movimiento Uniforme, por decir, desde A hacia B, y como el cuerpo recorre el Epiciclo con un Movimiento Uniforme, entonces cuando el cuerpo está en los puntos Z y Θ, éste parecerá coincidir con A, el centro del Epiciclo, pero cuando éste está en otros puntos no [parecerá coincidir con A]. Entonces, cuando está, por ej. en H, su movimiento parecerá mayor que el Movimiento Uniforme [del Epiciclo] por el arco AH, y similarmente cuando está en K su movimiento parecerá menor que el uniforme por el arco AK.

Ahora, en ésta clase de Hipótesis de las concéntricas [3], la velocidad mínima siempre ocurre en el Apogeo y la mayor en el Perigeo, ya que el ^ AZB [en Fig. 3.1] es siempre menor que el ^ DZG. Pero en la Hipótesis Epicíclica ambas son posibles, ésta y la contraria. El movimiento del Epiciclo es hacia atrás con respecto a los cielos, a saber desde A hacia B (en Fig. 3.2). Ahora, si el movimiento del cuerpo sobre el Epiciclo es tal que éste también se mueve hacia atrás desde el Apogeo, es decir desde Z hasta H, la mayor velocidad ocurrirá en el Apogeo, dado que sobre aquel punto ambos, Epiciclo y el cuerpo, se están moviendo en la misma dirección. Pero si el movimiento del cuerpo desde el Apogeo es hacia adelante sobre el Epiciclo, esto es, desde Z hasta K, entonces la [Hipótesis] contraria ocurrirá: la mínima velocidad ocurrirá en el Apogeo, ya que en aquel punto del cuerpo se está moviendo en dirección opuesta al Epiciclo.

Habiendo establecido esto, próximamente deberemos realizar el punto adicional preliminar para que los cuerpos que exhiben una doble Anomalía, ambas Hipótesis de arriba puedan ser combinadas, tal como probaremos en nuestras discusiones [sobre] tales cuerpos, pero para un cuerpo que visualice una Anomalía invariable sencilla, será suficiente una hipótesis sencilla de las anteriormente [explicadas]; y [en este caso] todo el fenómeno estará representado, sin diferencia, por ambas hipótesis, proveyendo que las mismas relaciones son preservadas en ambas [hipótesis]. Por esto me refiero que la razón, en la Hipótesis Excéntrica, de la distancia entre el centro de visión y el centro de la Excéntrica sobre el radio de la excéntrica, debe ser la misma como la razón, en la Hipótesis de Epiciclo, del radio del epiciclo sobre el radio de la Deferente [4]; y además que el tiempo que toma el cuerpo, viajando hacia atrás, en recorrer la inamovible excéntrica, debe ser el mismo como el tiempo tomado por el Epiciclo, también viajando hacia atrás, en recorrer el círculo con el observador como centro [de la Deferente], mientras el cuerpo se mueve con igual velocidad [angular] alrededor del Epiciclo, pero de manera que su movimiento en el Apogeo [del Epiciclo] es hacia adelante.

Si éstas condiciones son cumplidas, el fenómeno idéntico resultará desde ambas Hipótesis. [Ahora] demostraremos brevemente comparando las relaciones en [forma] abstracta, y más tarde por medio de los presentes números le asignaremos a ellas la Anomalía del Sol [5]. Digo entonces, primero, que en ambas hipótesis, la diferencia más grande entre el Movimiento Uniforme y el aparente, el Movimiento No Uniforme (que es también la posición hipotética de la velocidad media de los cuerpos) [6] ocurre cuando la distancia aparente desde el apogeo comprende un cuadrante, y que el tiempo entre la posición del Apogeo y la posición de la velocidad media antes mencionada es mayor que el tiempo entre la velocidad media y [la posición] del Perigeo. Por lo tanto, siempre, para la Hipótesis de la Excéntrica y para la Hipótesis del Epiciclo, cuando el movimiento en el Apogeo es hacia adelante, el tiempo de la velocidad mínima hasta la media es mayor que el tiempo de la velocidad media hasta la mayor; en ambas Hipótesis el movimiento más lento toma lugar en el Apogeo. Pero [para las Hipótesis del Epiciclo] cuando el sentido de la revolución de un cuerpo es hacia atrás desde el Apogeo sobre el Epiciclo, lo contrario es válido: el tiempo de la velocidad mayor hasta la media es mayor que el tiempo desde la media hasta la menor, ya que en éste caso la velocidad mayor ocurre en el Apogeo.

Primero, entonces, [ver Fig. 3.3.] sea la excéntrica ABGD del cuerpo con centro en E, con diámetro AEG. Sobre éste diámetro tomar el centro de la Eclíptica, esto es, la posición del observador, en Z, y dibujar BZD a través de Z en ángulos rectos hasta AEG. Sean las posiciones del cuerpo B y D, entonces, obviamente, su distancia aparente desde el apogeo A es un cuadrante sobre ambos lados. Tenemos que probar que la diferencia más grande entre el movimiento medio y el anomalístico toma lugar en los puntos B y D.

Unir EB y ED.

Inmediatamente es obvio que la razón del ^ EBZ sobre 4 ángulos rectos [360°] es igual a la razón del arco de la diferencia debido a la anomalía [7] sobre el círculo entero [de 360°]; el ^ AEB subtiende el arco del Movimiento Uniforme, y el ^ AZB subtiende el arco del Movimiento Aparente No Uniforme, y la diferencia entre ellos es el ^ EBZ.

Digo, entonces, que ningún ángulo mayor que esos dos [el ^ EBZ y el ^ EDZ] puede ser construido sobre la línea EZ en la circunferencia del círculo ABGD.

[Demostración:] Construir en los puntos Θ y K los ángulos EΘZ y EKZ, y unir ΘD, [y] KD. Entonces, dado que en cualquier triángulo, el mayor lado subtiende el ángulo mayor [8],

y ΘZ > ZD,
en consecuencia ^ ΘDZ > ^ DΘZ.
pero ^ EDΘ = ^ EΘD,
Ya que EΘ = ED [radio].
Por lo tanto, por adición,
^ EDZ (= ^ EBD) > ^ EΘZ.

Fig. 3.3
Fig. 3.3

nuevamente, dado que DZ > KZ,
^ ZKD > ^ ZDK.
pero ^ EKD = ^ EDK,
ya que EK = ED.
Por lo tanto, por sustracción
^ EDZ (= ^ EBZ) > ^ EKZ.

Por lo tanto es imposible que cualquier otro ángulo mayor que los [ángulos] en los puntos B y D, sea construido por el camino [ya] definido.

Simultáneamente está probado que el arco AB, que representa el tiempo desde la menor velocidad hasta la media, excede [el arco] BG, que representa el tiempo desde la velocidad media a la mayor, por dos veces el arco que comprende la ecuación de la anomalía. El ^ AEB excede un ángulo recto (el ^ EZB) por el ^ EBZ, y el ^ BEG poco menos que un ángulo recto por la misma cantidad.

Nuevamente, probar el mismo teorema para las otras hipótesis, sea [Fig. 3.4] el círculo ABG concéntrico con el Universo, con centro en D y el diámetro ADB, sea el epiciclo EZH sobre el centro A, siendo transportado alrededor de aquel [ABG] sobre el mismo plano. Supongamos el cuerpo estando en H cuando su distancia aparente desde el apogeo es [igual a] un cuadrante. Unir AH y DHG.

Fig. 3.4
Fig. 3.4

Y digo que DHG es tangente al Epiciclo; ésta es la posición en la que la diferencia entre el Movimiento Uniforme y el Anomalístico, es mayor.

[Demostración:] El movimiento medio, contado desde el Apogeo, está representado por el ^ EAH; el cuerpo recorre el Epiciclo con la misma velocidad [angular] tal como el Epiciclo recorre el círculo ABG. Además la diferencia entre el Movimiento Medio y el Aparente está representada por el ^ ADH. Por lo tanto está claro que la cantidad por la que el ^ EAH excede el ^ ADH (a saber el ^ AHD) representa la distancia aparente del cuerpo desde el Apogeo. Aunque ésta distancia es, por Hipótesis, un cuadrante. Por lo tanto el ^ AHD es un ángulo recto, y en consecuencia la línea DHG es tangente al Epiciclo EZH. Por consiguiente, el arco AG es la diferencia mayor posible debido a la Anomalía, dado que éste comprende la distancia entre el centro A y la tangente.

Por el mismo razonamiento, el arco EH, de acuerdo con el sentido de la rotación sobre el Epiciclo aquí asumido, representa el tiempo de la velocidad menor hasta la media, excediendo el arco HZ, que representa el tiempo de la velocidad media hasta la mayor, por dos veces el arco AG. Si prolongamos DH a Θ y dibujamos AKΘ en ángulo recto a EZ,

^ KAH = ^ ADG [9].
y arco KH = arco AG [10].

Y el arco EKH es mayor que un cuadrante por el arco KH, mientras el arco ZH es menor que un cuadrante por el arco KH.

Lo que se ha requerido para examinar.

Fig. 3.5
Fig. 3.5

También es válido que los mismos efectos serán generados por ambas Hipótesis si uno toma un movimiento parcial sobre la misma extensión de tiempo para ambas, [y] si uno considera el Movimiento Medio o el Aparente, o la diferencia entre ellos, siendo la Ecuación de la Anomalía. El mejor camino para ver esto es el siguiente.

[Ver Fig. 3.5.] [11] Sea el círculo ABG con centro en D concéntrico con la Eclíptica, y sea el círculo EZH excéntrico con centro en Θ pero igual al concéntrico ABG. Sea el diámetro en común a través de sus centros D y Θ y el apogeo E en EAΘD. Cortar al azar un arco AB en la concéntrica, y dibujar el Epiciclo KZ con centro en B y radio DΘ. Unir KBD.

Digo que el cuerpo será transportado por ambos tipos de movimientos [por ej. de acuerdo a ambas Hipótesis] hasta el punto Z, la intersección de la Excéntrica y del Epiciclo, en el mismo instante en todos los casos (esto es, los tres arcos, EZ sobre la Excéntrica, AB sobre la concéntrica, y KZ sobre el Epiciclo, son todos similares), y que la diferencia entre los Movimientos Uniformes y Anomalísticos, y las posiciones aparentes del cuerpo, llegarán a ser únicas y las mismas de acuerdo con ambas Hipótesis.

[Demostración:] Unir ZΘ, BZ y DZ.
Dado que, en el cuadrilátero BDΘZ,
los lados opuestos son iguales, ZΘ hacia BD y BZ hacia DΘ,
BDΘZ es un paralelogramo.
Por lo tanto ^ EΘZ = ^ ADB = ^ ZBK.

Por lo tanto, ya que ellos son ángulos [sus vértices] en el centro [de los círculos], son también similares a los arcos subtendidos por ellos, por ej.

Arco EZ de la excéntrica || arco AB de la excéntrica || arco KZ del epiciclo.

Por lo tanto el cuerpo será transportado en el mismo instante por ambos tipos de movimientos hasta el mismo punto Z, y parecerá haber recorrido el mismo arco AL de la Eclíptica desde el Apogeo, y por consiguiente la Ecuación de la Anomalía será la misma en ambas Hipótesis; demostramos que ésta Ecuación está representada por el ^ DZΘ en la Hipótesis de la Excéntrica y por el ^ BDZ en la Hipótesis del Epiciclo, y esos dos ángulos son alternos e iguales, dado que, como hemos demostrado, ZΘ es paralela a BD.

Es obvio que los mismos resultados se mantendrán bien para todas las distancias [del cuerpo desde el Apogeo]. Para el cuadrilátero ΘDZB siempre será un paralelogramo, y [por lo tanto] el movimiento del cuerpo sobre el Epiciclo actualmente [en ese instante] describirá un círculo Excéntrico, siendo similares sus razones dadas [12] y sus miembros iguales en ambas Hipótesis.

Además, si incluso los miembros son en tamaño distintos, sus relaciones provistas son similares, el fenómeno resultará [ser] el mismo. Esto puede ser demostrado del siguiente modo.

Como antes [ver Fig. 3.6] sea el círculo ABG concéntrico representando el Universo con centro en D y el diámetro ADG, sobre el cual el cuerpo alcanza la posición del Apogeo y el Perigeo. Sea el Epiciclo dibujado sobre el punto B, a una distancia arbitraria, [y] el arco AB desde el Apogeo A. Sea el arco EZ recorrido por el cuerpo [sobre el Epiciclo], que es, obviamente, similar a AB, dado que las revoluciones en [ambos] círculos tienen el mismo período. Unir DBE, BZ, DZ.

Fig. 3.6
Fig. 3.6

Ahora, inmediatamente es obvio que, de acuerdo con estas hipótesis [de los Epiciclos], el ^ ADE será siempre igual al ^ ZBE, y el cuerpo parecerá yacer sobre la línea DZ.

Pero digo que el cuerpo también parecerá ubicarse sobre la misma línea DZ de acuerdo con la Hipótesis de la Excéntrica, si la Excéntrica es mayor o menor que la concéntrica ABG, con la única condición de que uno asuma que las razones son similares y que los períodos de revolución son los mismos.

[Demostración:] Sea la excéntrica HΘ con centro en K ([el cuál debe ubicarse] sobre AG), [y] dibujada bajo las condiciones que hemos descrito, [siendo] mayor [que la concéntrica ABG], y LM con centro en N (éste también [debe ubicarse sobre AG]), [siendo] más pequeña [que la concéntrica ABG].

Prolongar DZ como DMZΘ,
y DA como DLAH,
y unir ΘK y [//] MN.
Entonces dado que
DB / BZ = ΘK / KD = MN / ND [por hipótesis],
y ^ BZD = ^ MDN (ya que DA es paralela a BZ);
Los tres triángulos [ZDB, DΘK, DMN] son iguales en ángulos,
y ^ BDZ = ^ DΘK = ^ DMN (ángulos subtendidos por lados correspondientes).
Por lo tanto DB, ΘK y MN son paralelos,
en consecuencia ^ ADB = ^ AKΘ = ^ ANM.

Y dado que esos ángulos están en los centros de sus [respectivos] círculos, también los arcos sobre ellos [(círculos)], AB, HΘ y LM, serán similares.

Entonces es cierto, no sólo que [el cuerpo] en el epiciclo haya recorrido el arco AB en el mismo tiempo como lo ha recorrido el arco EZ, sino que también haya recorrido los arcos HΘ y LM sobre las Excéntricas en ese mismo instante; por lo tanto en cada caso [el cuerpo] será visto a lo largo de la misma línea DMZΘ, de acuerdo con la [Hipótesis] del Epiciclo sobre el punto Z, de acuerdo a la Excéntrica más grande sobre el punto Θ, y de acuerdo con la Excéntrica más pequeña sobre el punto M. Lo mismo será cierto en todas las posiciones.

Una futura consecuencia es aquella donde la distancia aparente del cuerpo desde el apogeo [en un instante dado] es igual a su distancia aparente desde el perigeo [sobre otro], la Ecuación de la Anomalía será la misma en ambas posiciones.

Fig. 3.7
Fig. 3.7

[Demostración:] En la Hipótesis de la Excéntrica [ver Fig. 3.7], dibujamos un círculo Excéntrico ABGD con centro en E y diámetro AEG a través del apogeo A. Supongamos que el observador está ubicado en Z, y dibujamos una [cuerda] arbitraria BZD a través de Z, y unir EB y ED. Entonces las posiciones aparentes [del cuerpo en B y D] serán iguales y opuestas, esto es, el ángulo AZB desde el Apogeo [que] será igual y opuesto al ángulo GZD desde el Perigeo; y la Ecuación de la Anomalía será la misma [en ambos casos], dado que

dado que BE = ED,
y ^ EBZ = ^ EDZ.

Entonces el arco [AB] del Movimiento Medio contado desde el Apogeo A, excederá al arco del movimiento aparente (por ej. el arco subtendido por el ángulo AZB) por la misma Ecuación [igual al ^ EBZ] tal como el arco del Movimiento Medio contado desde el Perigeo G es excedido por el arco del movimiento aparente (por ej. el arco [igual] subtendido por el ^ GZD). Para

^ AEB > ^ AZB,
y ^ GED < ^ GZD.

Fig. 3.8
Fig. 3.8

En la Hipótesis del Epiciclo [ver arriba Fig. 3.8], si dibujamos como antes, la concéntrica ABG con centro en D y el diámetro ADG, y el epiciclo EZH sobre la excéntrica A, dibujamos una línea arbitraria DHBZ, y unimos AZ y AH, entonces el arco AB representando la Ecuación de la Anomalía, será el mismo en ambas posiciones, por ej. si el cuerpo está en Z o en H. Y la distancia del cuerpo desde el punto sobre la Eclíptica correspondiente al Apogeo cuando éste está en Z será igual a su distancia desde el punto correspondiente hasta el Perigeo cuando éste está en H. El arco de su distancia aparente desde el Apogeo está representado por el ^ DZA, dado que, como demostramos, ésta es la diferencia entre el Movimiento Medio y la Ecuación de la Anomalía [13]. Y el arco de su distancia aparente desde el Perigeo está representado por el ^ ZHA (también para esto, es igual al Movimiento Medio desde el Perigeo más la Ecuación de la Anomalía).

pero ^ DZA = ^ ZHA,
y AZ = AH.

Por lo tanto aquí también concluimos que el Movimiento Medio excede al Aparente cerca del Apogeo (por ej. el ^ EAZ excede al ^ AZD) por la misma Ecuación (a saber el ^ ADH) tal como el Movimiento Medio es excedido por el (mismo) Movimiento Aparente (por ej. el ^ HAD por el ^ AHZ) cerca del Perigeo.

Lo que se ha requerido para examinar.

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Notas de referencia[editar]

  1. Ver HAMA 55-7, Pedersen 134-44.
  2. “El observador”; literalmente “nuestro punto de vista”.
  3. Ptolomeo está insinuando sobre la existencia de otro tipo de Hipótesis de las Excéntricas, una de ellas equivalente a la Hipótesis de los Epiciclos en la que el sentido de revolución es el mismo para ambos: planeta y Epiciclo. Aunque [Ptolomeo] no lo discute hasta el Libro XII Capítulo 1, donde aprendemos que tal equivalencia era ya conocida por Apolonio de Perge (c. 200 a. C.). Ver HAMA 149-50.
  4. “deferente”: ver Introducción.
  5. Referencia en éste Libro III Capítulo 4, Fig. 3.11.
  6. Ptolomeo nunca considera [necesario] probar éste enunciado acerca de la posición donde el movimiento aparente es igual al movimiento medio, aunque intuitivamente es visto como válido en el modelo de Epiciclo. Ver HAMA 57, Pedersen 143.
  7. Esta expresión más tarde es utilizada como término técnico, aquí para el correspondiente ángulo EBZ, y usualmente es traducido como la “Ecuación de la Anomalía”. Ver la Introducción.
  8. Precisamente ésta declaración, de que el ángulo mayor es subtendido por el lado mayor, es la enunciación de Euclides I 19 (la cual Heiberg se refiere ad loc.). Pero de hecho, la declaración que sostiene Ptolomeo es que, si el lado a es mayor al lado b, el ángulo A es mayor que el ángulo B, que está [explicada] por Euclides en I 18. Quizás deberíamos adoptar la lectura del manuscrito D,  (“el mayor ángulo subtiende el mayor lado”, y asumir que el texto ha sido asimilado a la (errónea) redacción Euclidiana.
  9. Euclides VI 8.
  10. Para tomar el texto gramatical, he borrado  en H225,4. Este fue introducido (en un período más temprano, dado que es reflejado en las traducciones Árabes) como una corrección de la declaración imprecisa de Ptolomeo (a la mente Escolástica) de que el arco KH es igual al arco AG. Ya que los arcos están sobre los círculos de diferentes tamaños, técnicamente ellos son sólo “similares”. Una corrección alternativa podría ser  (que se encuentra actualmente en el comentario de Teón ad loc., Roma III 868,8, aunque probablemente sea una parafrase, que también parece estar detrás en el manuscrito L).
  11. La figura en Heiberg (p. 225) omite erróneamente la carta correspondiente al manuscrito L (aunque esto es hallado a través de todos los manuscritos). Manitius, engañado por esto, "enmenda” ΑΛ en H226,23 sobre los extravagantes “AB”.
  12. Las razones son e/R y r/R.
  13. ^ DZA = ^ EAZ - ^ ADZ, demostrado en página Fig. 3.3.