Almagesto: Libro IX - Capítulo 06

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{Sobre el tipo y diferencias entre las Hipótesis}[editar]

Uno más fácilmente puede comprender el tipo de Hipótesis que infiere sobre la base del [fenómeno] precedente según la siguiente descripción.

En primer lugar [elegir] alguno de los [cuatro planetas] distintos de Mercurio, imaginar ABG [Fig. 9.1] la Excéntrica alrededor del centro D, con ADG como diámetro a través de D y [por] el centro de la Eclíptica; sobre ésta sea E [el punto] tomado como centro de la Eclíptica, por ej. el punto de vista del observador, marcando A el Apogeo y G el Perigeo. Sea DE dividido en dos en Z, y con centro Z y radio D dibujar un círculo HΘK, que debe ser, claramente, igual a ABG. Luego sobre el centro Θ dibujar el Epiciclo LM, y unir LΘMD.

Primero, entonces, asumimos también que el plano de los círculos excéntricos están inclinados al plano de la Eclíptica, y también que el plano del Epiciclo está inclinado al plano de las Excéntricas, para tener en cuenta el Movimiento Latitudinal de los planetas, de acuerdo con lo que hemos de demostrar en relación con éste tema, sin embargo, para los Movimientos en Longitud, en aras de la conveniencia, nos permita [también] imaginar que todos [estos planetas] se ubican en un único [plano], aquel de la Eclíptica, dado que no habrá una diferencia longitudinal notable, no al menos cuando las inclinaciones sean tan pequeñas como aquellas que serán aportadas [(observadas)] para iluminar cada uno de los planetas.

Fig. 9.1
Fig. 9.1

Seguido, decimos que el plano total [de la Excéntrica] se mueve uniformemente alrededor del centro E hacia atrás [por ej. del orden] de los signos, cambiando la posición del Apogeo y del Perigeo 1º cada 100 años, y que el diámetro LΘM del Epiciclo gira uniformemente alrededor del centro D, nuevamente hacia atrás [por ej. del orden] de los signos, con una velocidad correspondiente a la revolución del planeta en Longitud, y que transporta con él los puntos L y M del Epiciclo, y el centro Θ del Epiciclo (que siempre se mueve en la excéntrica HΘK), y también transporta con él el planeta; el planeta, por su parte, se mueve con Movimiento Uniforme en el Epiciclo LM y realiza su vuelta siempre con respecto a aquel diámetro [del Epiciclo] cuyos puntos hacia el centro D, con una velocidad correspondiente al período medio de la Anomalía sinódica, y [un sentido de rotación] tal que su movimiento en el apogeo L tome lugar hacia atrás.

Podemos visualizar las características peculiares de las Hipótesis para Mercurio de la siguiente manera. Sea ABG [Fig. 9.2] la Excéntrica produciendo la Anomalía cerca del centro D, y sea ADEG el diámetro a través de D y el centro E de la Eclíptica, [pasando] a través del Apogeo en A. Sobre AG tomar DZ hasta el Apogeo A, [siendo] igual a DE. Entonces todo lo demás sigue siendo lo mismo, a saber todo el plano, [girando] alrededor del centro E, desplaza el Apogeo hacia atrás por la misma cantidad como para los otros planetas, el Epiciclo gira uniformemente alrededor del centro D hacia atrás, como [en este caso] por la línea DB, y además el planeta se mueve sobre el Epiciclo en el mismo sentido como los otros. Pero en éste caso el centro de la otra Excéntrica, que es, nuevamente, igual en tamaño a la primer Excéntrica, y sobre la cual el centro del Epiciclo está siempre ubicado, es transportado alrededor del punto Z en sentido contrario al movimiento del Epiciclo, a saber hacia adelante [por ej. del orden contrario al] de los signos, pero [de manera] uniforme y con la misma velocidad como el del Epiciclo, como [en este caso] por la línea ZHΘ.

Fig. 9.2
Fig. 9.2

Por lo tanto en un año cada una de las líneas DB y ZHΘ realizan una vuelta con respecto a un punto [dado] de la Eclíptica, pero, obviamente, dos vueltas con respecto a cada uno de los otros. Y [el centro de ésta Excéntrica] estará siempre a una distancia constante desde el punto Z, y la distancia también será igual a ambas ED y DZ ([aquí] ZH). En consecuencia el pequeño círculo descrito por su movimiento hacia delante, con [su] centro Z y radio ZH, también siempre tiene en su límite el punto D (el centro de la primer, Excéntrica fija); y la Excéntrica moviéndose, en cualquier momento dado, puede ser descrita con centro H y radio HΘ igual a DA (aquí ΘK), el Epiciclo siempre tendrá su centro sobre él (aquí en el punto K).

Incluso tendremos una comprensión más clara de éstas Hipótesis desde las demostraciones que haremos [para determinar] los parámetros individualmente para cada planeta. Frecuentemente en éstas demostraciones también nos llegarán [a ser] claros, [al menos] a grandes rasgos, los motivos que de alguna manera nos han llevado a adoptar éstas Hipótesis.

Sin embargo, uno debe realizar la observación preliminar en la que los períodos longitudinales no llevan al planeta a la misma posición tanto con respecto a un punto sobre la Eclíptica o [como simultáneamente] con respecto al Apogeo o al Perigeo de la Excéntrica; esto se debe al cambio de posición que asignamos a [éste] último. Por lo tanto los Movimientos Medios en Longitud que anteriormente hemos tabulado, representan, no las vueltas [de los planetas] definidos con respecto a los Apogeos de las Excéntricas, sino a las vueltas definidas con respecto a los puntos Solsticiales y Equinocciales, de acuerdo con la Longitud del año tal como lo hemos determinado [1].

Ahora, primero debemos probar que a partir de estas Hipótesis también continúa que, para iguales distancias del planeta en Movimientos Medios Longitudinales sobre lados opuestos del Apogeo y del Perigeo, la Ecuación de la Anomalía Eclíptica sobre un lado [del Apogeo o del Perigeo] es igual a aquella sobre el otro lado, y la Máxima Elongación sobre el Epiciclo desde la posición media [sobre un lado es igual a aquella] en la misma dirección [sobre el otro lado] [2].

Sea ABGD [Fig. 9.3] el círculo Excéntrico, sobre el cuál se mueve el centro del Epiciclo, con centro en E, con un diámetro AEG, sobre el cual Z es tomado como centro de la Eclíptica, y H como el centro de la Excéntrica produciendo la Anomalía, por ej. el punto alrededor del cual decimos que toma lugar el Movimiento Uniforme del Epiciclo. Dibujamos BHΘ y DHK a distancias iguales desde el apogeo A (entonces el ^ AHB = ^ AHD), dibujar sobre los puntos B y D los Epiciclos de igual tamaño, y unimos BZ y DZ. Desde Z, [siendo] el observador, dibujar ZL y ZM como tangentes a los [2] Epiciclos en la misma dirección [por ej. ambos hacia el Perigeo].

Fig. 9.3
Fig. 9.3

Digo [1] que los ángulos de la Ecuación de la Anomalía Eclíptica

^ ZBH = ^ HDZ

[2] similarmente, que la Máxima Elongación sobre el Epiciclo

^ BZL = ^ DZM.

(Dado que, [si esas sentencias son verdaderas], las cantidades de las Máximas Elongaciones desde la [posición] Media resultante desde la combinación [de las Hipótesis] también serán iguales [sobre los lados opuestos de los Ápsides) [3].

[Demostrar:] Eliminar las perpendiculares BL y DM desde B y D hasta ZL y ZM, y las perpendiculares EN y EX desde E hasta DK y BΘ.

Entonces, dado que el ^ XHE = ^ NHE [4]
y los ángulos en N y X son rectos
y EH es común a los triángulos rectángulos [NHE, XHE],
NH = XH
y la perpendicular EN = perpendicular EX.

Por lo tanto las líneas BΘ y DK son equidistantes desde el centro E.
Por lo tanto ellas son iguales a otra [5],
y sus mitades son iguales una con la otra [por ej. BX = DN].
Por lo tanto, por sustracción [de XH desde BX y NH desde DN],

BH = DH

Pero HZ es común [a los triángulos BHZ, DHZ]

Y el ^ BHZ = ^ DHZ [6].
Por lo tanto Base BZ = base DZ
y el ^ HBZ = ^ HDZ.
Pero también BL = DM (radio del Epiciclo),
Y los ángulos en L y M son rectos.
En consecuencia ^ BZL = ^ DZM.

Lo que se ha requerido para examinar.

Nuevamente para representar la Hipótesis de Mercurio, sea ABG [Fig. 9.4] el diámetro a través de los centros y del Apogeo de los círculos [Excéntricos], y sea A tomado como el centro de la Eclíptica, B como el centro de la Excéntrica produciendo la Anomalía, y G como el punto alrededor del cual gira el centro de la Excéntrica transportando el Epiciclo. Dibujar, nuevamente sobre ambos lados [del Apogeo], las líneas BD y BE, representando el Movimiento Uniforme del Epiciclo hacia atrás, y las líneas GZ y GH representando la revolución de la Excéntrica hacia delante con una velocidad igual [a la del Epiciclo].

Fig. 9.4
Fig. 9.4

(Entonces es claro que los ángulos en G y B deben ser iguales, y BD debe ser paralelo a GZ, y BE a GH). En GZ y GH tomar los centros de la Excéntrica [en movimiento] - sean ellos Θ y K - y sean las Excéntricas dibujadas sobre estos centros (sobre los cuales están localizados los Epiciclos), [que] pasan a través de los puntos D y E. Sobre los puntos D y E dibujar Epiciclos (nuevamente iguales), unir AD y AE, y dibujar AL y AM tangente a los Epiciclos sobre el mismo lado [de los Epiciclos].

Luego debemos probar que en ésta situación también los ángulos de la Ecuación [7] de la Anomalía Eclíptica

^ ADB = ^ AEB,

Y que los ángulos de la Máxima Elongación sobre el Epiciclo

^ DAL = ^ EAM.

[Probar:] Unir BΘ, BK, ΘD y KE,

y eliminar las perpendiculares GN y GX desde G hasta BD y BE,
las perpendiculares DZ y EH desde D y E hasta GZ y GH,
y las perpendiculares DL y EM desde D y E hasta AL y AM.
Entonces, dado que el ^ GBN = ^ GBX [por hipótesis]
y los ángulos en N y X son rectos
y la línea GB es común [a los triángulos GBN, GBX],
GN = GX
por ej. DZ = EH [8].
Y también ΘD = KE [9]
Y los ángulos en Z y H son rectos.
Entonces ^ DΘZ = ^ EKH.

Y porque [en los triángulos GΘB, GKB]

ΘG = GK (por hipótesis)
y GB es común
y ^ ΘGB = ^ KGB,
en consecuencia ^ GΘB = ^ GKB.

Por lo tanto, por sustracción, el ^ BΘD = ^ BKE [10],

y base BD = base BE [11].
Pero nuevamente [en los triángulos BAD, BAE]
BA es común
y ^ DBA = ^ EBA [por Hipótesis].
Entonces Base AD = Base AE
y ^ ADB = ^ AEB.
Por el mismo razonamiento [como el anterior]
ya que DL = EM [radio del Epiciclo]
y los ángulos en L y en M son rectos
^ DAL = ^ EAM.

Lo que se ha requerido para examinar.

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Notas de referencia[editar]

  1. En otras palabras, los Movimientos Medios tabulados por Ptolomeo son tropicales, no son Movimientos Medios siderales, y dado que los Apogeos son, por su definición, sideralmente fijos, una vuelta en longitud (al mismo punto sobre la Eclíptica) debe variar ligeramente [luego] de una vuelta al Apogeo.
  2. "en la misma dirección" significa "ambos hacia el Apogeo" o "ambos hacia el Perigeo". Esto es explicado por [medio de] la Fig. 9.3. Ptolomeo está llevando a cabo la prueba de simetría análoga a aquella realizada por los modelos del Sol y de la Luna (Libro III Capítulo 3 Fig. 3.7 y Fig. 3.8).
  3. El ^ BZL etc., son las Máximas Elongaciones verdaderas (vistas desde la Tierra). En lo que sigue, Ptolomeo está yendo a comparar las Máximas Elongaciones medias, y esto es esencial para probar que también sean simétricas con respecto de la línea de los Ápsides. Dado que lo último difiere de los ángulos BZL etc. por un ángulo igual a la Ecuación del centro, o al ^ ZBH etc., la simetría está garantizada por las ecuaciones [1] y [2].
  4. Porque ellos están verticalmente opuestos a los ángulos iguales AHB y AHD.
  5. Euclides III 14.
  6. Eliminar  en H259, 4-5. Heiberg enmendó en  ([siendo] normal la expresión). Ésta [frase] podría significar "los ángulos incluidos por lados iguales", y fue probablemente interpolada para hacer explícita la condición de Euclides en I 4, "Si dos triángulos tienen dos lados iguales respectivamente a [otros] dos lados, y tienen los ángulos iguales contenidos por líneas rectas iguales, entonces ellos también tendrán sus bases iguales". La razón por la igualdad de los ángulos es que ellos son [ángulos] suplementarios de los ángulos iguales ^ AHB y ^ AHD.
  7. Leer    en H260,8, Heiberg, siguiendo el manuscrito Griego, omite la última palabra, que fue restaurada en HALMA (seguido por Manitius), aparentemente sin autoridad. De hecho fue leído en el manuscrito Is.
  8. GZDN y GHEX son paralelogramos.
  9. Aunque se pueda observar que esto debe ser así por simetría, la prueba es verdaderamente intrincada. El radio de la Deferente en sus dos posiciones no son ΘD y KE, sino KD y ΘE. Cf. Manitius p. 435.
  10. El ^ BΘD = 180º - (^ DΘZ + ^ GΘB). El ^ BKE = 180º - (^ EKH + ^ GKB).
  11. En los triángulos congruentes BΘD y BKE.