Almagesto: Libro IX - Capítulo 10

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{Sobre la corrección de los Movimientos Periódicos de Mercurio}[editar]

[1]

La continuación de lo anterior es el establecimiento de los Movimientos Periódicos de Mercurio y de sus épocas [2]. Ahora el [movimiento y la época] en Longitud, es decir, del Epiciclo en su Movimiento Uniforme alrededor del punto G, inmediatamente están dados desde aquellos del Sol. En cuanto al [movimiento y época] en Anomalía, esto es, del planeta en su Movimiento [Uniforme] sobre el Epiciclo alrededor del centro del Epiciclo, lo hemos derivado de dos observaciones confiables, una entre las registradas en nuestro tiempo, y la otra desde las observaciones [más] antiguas.

[Primero], observamos el planeta Mercurio, por medio del instrumento Astrolabio, en el segundo año de Antonino Pío (que fue en el 886 to. año de Nabonassar, 2/3 de Epiphi [XI] en el calendario Egipcio [17/18 de Mayo de 139]. Éste aún no había alcanzado su Máxima Elongación como estrella de la tarde. Cuando fue avistado con respecto a la estrella en el corazón de Leo, fue observado en una Longitud de Gemini 17 ½º; y en aquel momento éste también estuvo 1 1/6º hacia atrás desde el centro de la Luna. El instante en Alejandría fue 4 ½ horas equinocciales antes de la medianoche del 3 [2/3 de Epiphi] [3], dado que, de acuerdo al astrolabio, los 12 mos. grados de Virgo [ej. Virgo 11º - 12º] estuvieron culminando, mientras el Sol estuvo en alrededor de Taurus 23º. Ahora, en aquel momento, las posiciones de acuerdo a las hipótesis que hemos demostrado fueron las siguientes [4]:

Longitud Media del Sol Taurus 22;34º
Longitud Media de la Luna Gemini 12;14º
Anomalía de la Luna desde el Apogeo del Epiciclo 281;20º
En consecuencia, por cálculo, la Posición Verdadera del centro de la Luna Gemini 17;10º
Posición Aparente del centro de la Luna Gemini 16;20º

Por lo tanto desde este [cálculo] también encontramos que la Longitud de Mercurio fue de Gemini 17 ½º (dado que este estuvo 1 1/6º hacia atrás desde el centro de la Luna).

Con esto como dato, sea ABGDE [Fig. 9.9] el diámetro a través del Apogeo y del Perigeo [5], sobre el cuál el punto A es tomado como el Apogeo, B como el punto alrededor del cual el centro del Epiciclo realiza su movimiento [uniforme] hacia atrás, y D el centro de la Eclíptica. Sea Z el centro del Epiciclo, habiendo sido transportado por la línea GZ alrededor del punto G a través del ángulo AGZ, y sea H el centro de la Excéntrica, habiendo sido transportado por la línea BH alrededor del punto B a través del ángulo ABH, que será, obviamente, igual al ^ AGZ debido a la misma velocidad de los movimientos. Dibujar ΘKL, el Epiciclo con centro en Z, y sea ubicado el planeta en L. Unir GH, HZ, DZ, ZL y DL, prolongar GZΘ y eliminar las perpendiculares HM y DN hasta él desde H y D, y eliminar la perpendicular ZX desde Z hasta DL.

Fig. 9.9
Fig. 9.9

Consideremos el problema, de encontrar el arco del Epiciclo entre Θ, el Apogeo [del Epiciclo], y el planeta en L.

Ahora, en aquel instante, la Longitud Media del Sol fue de Taurus 22;34º, y el Perigeo del planeta estuvo cerca de Aries 10º [6].

Por lo tanto su distancia desde el Perigeo en Longitud Media fue de 42;34º.

En consecuencia ^ GBH = 42;34º donde los 4 ángulos rectos = 360º
En consecuencia ^ GBH = 85;8ºº donde los 2 ángulos rectos = 360ºº.

Y dado que BG es siempre igual a BH

^ BHG = ^ BGH = 137;26ºº en las mismas unidades.

Entonces, en el círculo alrededor del triángulo BGH [7]

Arco HG = 85;8º
y Arco BG = 137;26º.

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

GH = 81;10p donde el diámetro del círculo es de 120p.
y BG = 111;49p donde el diámetro del circulo es de 120p.
Por lo tanto donde BG = 3p, GH = 2;11p.
Nuevamente, dado que ^ BGH = 137;26ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,
y ^ BGM = 85;8ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,
por sustracción, ^ HGM = 52;18ºº en las mismas unidades.

Por lo tanto en el círculo alrededor del triángulo rectángulo GHM

Arco HM = 52;18º
y Arco GM = 127;42º (suplementario).

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

HM = 52;53p donde la hipotenusa GH = 120p
y GM = 107;43p donde la hipotenusa GH = 120p.
Por lo tanto donde GH = 2;11p,

y HZ, el radio de la Excéntrica transportando el Epiciclo, es de 60p,

HM = 0;58p
y GM = 1;58p.

Por ende MZ, siendo una cantidad insignificantemente menor que HZ, la Hipotenusa [del triángulo HMZ], es la misma, 60p, y por sustracción [de GM desde MZ], GZ = 58;2p.

Similarmente, desde que ^ DGN = 85;8ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,

en el círculo alrededor del triángulo rectángulo GDN

Arco DN = 85;8º
y Arco GN = 94;52º (suplementario).

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

DN = 81;10p donde la hipotenusa GD = 120p
y DN = 88;23p donde la hipotenusa GD = 120p.

Por lo tanto donde GD = 3p y, como fue demostrado, GZ = 58;2p,

DN = 2;2p
y GN = 2;13p;

Y, por sustracción [de GN desde GZ], NZ = 55;49p.

Por lo tanto la hipotenusa DZ [= (DN² + NZ²) ^ 0,5] ≈ 55;51p donde el radio del Epiciclo = 22;30p.

Por lo tanto en el círculo alrededor del triángulo rectángulo DZN,

donde la hipotenusa DZ = 120p,
DN = 4;22p
y Arco DN = 4;11º.
En consecuencia ^ DZN = 4;11ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,
y, por adición [de ^ DZN y ^ DGN], ^ EDZ = 89;19ºº. Y el ángulo total EDL = 135ºº en las mismas unidades, dado que el planeta fue observado en 67;30º desde el Perigeo.

Por lo tanto por sustracción [del ^ EDZ desde el ^ EDL], ^ ZDL = 45;41ºº. Por lo tanto en el círculo alrededor del triángulo rectángulo DZX,

Arco ZX = 45;41º
y ZX = 46;35p donde la hipotenusa DZ = 120p.

Por lo tanto donde La hipotenusa DZ = 55;51p y el radio del Epiciclo, ZL = 22;30p,

ZX = 21;41p. Y, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo ZLX, donde la Hipotenusa ZL = 120p,
ZX = 115;39p.
En consecuencia Arco ZX = 149;2º [8]
y ^ ZLX = 149;2ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Pero demostramos que el ^ ZDL = 45;41ºº en las mismas unidades.

[En consecuencia ^ LZK = ^ ZLX + ^ ZDL = 194;43ºº.]
E igualmente ^ ΘZK [= ^ DZN] = 4;11ºº.

Por lo tanto, por adición [de ^ ΘZK + ^ LZK],

^ ΘZL = 198;54ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº
^ ΘZL = 99;27º donde 4 ángulos rectos = 360º.

Por lo tanto el arco ΘKL del Epiciclo, que fue en aquella observación la distancia del planeta Mercurio desde el Apogeo Θ, es de 99;27º.

Lo que se ha requerido para examinar.

[Segundo], en el 21 er. año del calendario de Dionysius (que fue en el 484 to. año desde [la era de] Nabonassar), 22 de Scorpion, [que es el] 18/19 de Thoth [I] en el calendario Egipcio [14/15 de Noviembre de -264], en el amanecer, Stilbon [por ej. Mercurio] estuvo a 1 Luna hacia atrás de la línea recta [que va] a través de la [estrella] Norte en la frente de Scorpius y [pasando por] la [estrella] del medio [en la frente], y estuvo 2 Lunas hacia el Norte de la [estrella] Norte en la frente. Ahora, de acuerdo con nuestras coordenadas en aquel instante la del medio de esas estrellas en la frente de Scorpius tuvo una Longitud de Scorpius 1 ⅔º, y la misma cantidad [de 1 ⅔º] de la Eclíptica, mientras la estrella de más al Norte tuvo una Longitud de Scorpius 2 ⅓º y está 1 ⅓º al Norte de la Eclíptica [9]. Entonces el planeta Mercurio tuvo una Longitud de alrededor de Scorpius 3 ⅓º [10]. Además está claro que [Mercurio] no había alcanzado aún su Máxima Elongación como estrella de la mañana, ya que 4 días más tarde, el 26 de Scorpion, se registra que su distancia desde la misma línea recta hacia atrás fue de 1 ½ Lunas; [en éste instante] su Elongación llegó a la Máxima, el Sol se ha movido por alrededor de 4 grados, pero el planeta [sólo] mitad de una Luna. Y en el amanecer del 29 de Thoth la Longitud Media del Sol, de acuerdo con nuestras tablas, fue de Libra 6º, dado que los más o menos 400 años entre las observaciones generan un desplazamiento del Apogeo por alrededor de 4º.

Con los datos de arriba, entonces, dibujemos una figura [Fig. 9.10] similar a la precedente [Fig. 9.9], pero en la cual, [y] debido a la diferencia en sus posiciones, los ángulos hacia el Apogeo A [por ej. el ^ AGZ y el ^ ABH] han de estar dibujados como agudos, las líneas rectas uniendo [los puntos] del planeta [por ej. la ZL y la DL], hacia delante del [centro] del Epiciclo, y la perpendicular ZX más allá de ZL, el radio del Epiciclo [11].

Entonces, dado que la Posición Media del planeta fue de (Scorpius 20 5/6º - Libra 6º =) 44;50º desde el Apogeo.

^ ABH = 44;50º donde 4 ángulos rectos = 360º
^ ABH = 89;40ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto su suplementario, el ^ GBH = 270;20ºº y el ^ BGH = ^ BHG = 44;50ºº en las mismas unidades.

Fig. 9.10
Fig. 9.10

Y, por el mismo razonamiento [como antes] en el círculo alrededor del triángulo BGH las cuerdas correspondientes

GH = 84;36p donde el diámetro es de 120p
y BG = BH = 45;46p donde el diámetro es de 120p.
Por lo tanto donde BG = BH = 3p,
GH = 5;33p.

Nuevamente, por Hipótesis,

el ^ AGZ = 89;40ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº
y el ^ BGH = 44;50ºº en las mismas unidades,
Entonces, por adición, el ^ ZGH = 134;30ºº,

Y, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo GHM

Arco HM = 134;30º
y Arco GM = 45;30º (suplemento).

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

MH = 110;40p donde la hipotenusa GH = 120p
y GM = 46;24p donde la hipotenusa GH = 120p.

Por lo tanto donde GH = 5;33p (por ej. donde ZH, el radio de la Excéntrica, es de 60p),

HM = 5;7p
y GM = 2;10p [12].

En consecuencia calculamos ZM [= (ZH² - HM²) ^ 0,5] como 59;47p, y, por adición [de MG a ZM], ZMG como 62;57p en las mismas unidades.

Similarmente, dado que ^ DGN [= ^ AGZ] = 89;40ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo GDN,

Arco DN = 89;40º
y Arco GN = 90;20º (suplementario).

Entonces las cuerdas correspondientes

DN = 84;36p donde la hipotenusa GD = 120p
y GN = 85;6p donde la hipotenusa GD = 120p.
Por lo tanto donde GD = 3p,
DN = 2;7p
y GN = 2;8p,
y, por adición [de ZG a GN], ZGN = 64;5p.

Por lo tanto la hipotenusa ZD [= (ZN² + DN²) ^ 0,5] = 64;7p en las mismas unidades. Por lo tanto, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo ZDN,

donde ZD = 120p,
DN = 3;58p
y Arco DN = 3;48º [13].
En consecuencia ^ DZN = 3;48ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº, y, por sustracción [del ^ DZN desde el ^ AGZ],
^ ADZ = 85;52ºº en las mismas unidades.
Pero ^ ADL está dado como de 54;40ºº en las mismas unidades (el planeta estuvo en (Scorpius 3 ⅓ - Libra 6º =) 27;20º desde el Apogeo en la observación).

Por consiguiente, por sustracción, el ^ ZDL = 31;12ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto en el círculo alrededor del triángulo rectángulo ZDX, Arco ZX = 31;12º
y ZX = 32;16p donde la hipotenusa DZ = 120p.

Por lo tanto donde DZ = 64;7p (por ej. donde ZL, el radio del Epiciclo, es de 22;30p),

XZ = 17;15p. Y, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo ZLX, donde La hipotenusa ZL = 120p,
ZX ≈ 92p.
En consecuencia Arco ZX = 100;8º, [14]
y ^ ZLX = 100;8ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Y demostramos que, en las mismas unidades, ^ ZDL = 31;12ºº,

[por consiguiente ^ ΘZL = ^ ZLX - ^ ZDL = 68;56ºº], y que ^ ΘZK = 3;48ºº.

Por lo tanto, por sustracción [del ^ ΘZK desde el ^ ΘZL],

^ KZL = 65;8 donde 2 ángulos rectos = 360ºº
^ KZL = 32;34 donde 4 ángulos rectos = 360º.

En esta observación, entonces, el planeta estuvo a 32;34º desde K el Perigeo del Epiciclo, y, obviamente, a 212;34º desde el Apogeo. Pero demostramos que en el instante de nuestra observación estuvo a 99;27º desde el Apogeo del Epiciclo. Ahora el intervalo entre las dos observaciones es aproximadamente de

402 años Egipcios 283 días y 13 ½ horas.

Este intervalo contiene 1268 vueltas completas del planeta en Anomalía (20 años Egipcios generan bastante cerca de 63 vueltas, entonces 400 años generan 1260 [vueltas], y los 2 años restantes más los días adicionales otras 8 vueltas completas). Por lo tanto hemos demostrado que en 402 años Egipcios 283 días 13 ½ horas el planeta Mercurio se movió en Anomalía, mucho más de 1268 revoluciones completas, [es decir] 246;53º, que es la cantidad por la cual la posición, en nuestra observación, está mas allá de la previa. Y justo alrededor del mismo incremento [en Anomalía] resultante de las tablas que hemos establecido anteriormente: pues fue [calculado] sobre la base de aquellos cálculos muy similares donde hicimos nuestra corrección a los movimientos periódicos de Mercurio, reduciendo a días el intervalo arriba [expresado], y a los grados de las revoluciones en Anomalía anteriores más el incremento. Cuando el total de grados es dividido por el total de días, resulta el Movimiento Medio Diario en Anomalía que establecimos para Mercurio en nuestra previa discusión (Libro IX Capítulo 3) [15].

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Notas de referencia[editar]

  1. Ver HAMA 165-8.
  2. Leer  (en los manuscritos D y L) en cambio de  ("su época") en H283,4.
  3. Literalmente "de la medianoche hacia la 3 er." [hora].
    Fecha y horas calculadas con un programa de computación desde la observación realizada por Ptolomeo (actual Alejandría) de la siguiente:
    Elongación de Mercurio en el día de la observación realizada por Ptolomeo
    Fecha Hora Longitud del Sol Longitud de Mercurio Latitud de Mercurio Elongación Mercurio en Carta
    17 de Mayo de 139 d. C. (139) 19:30 hs. Turus 54° 16' 07" Gemini 78° 29' 05" +01° 47' 20" E 24° 17' 14" Gemini
    Almagesto Observación  17.05.139 d. C.

    Hora Puesta del Sol (17/05/139): 18:45:21 hs. Azimut: 112° 57'.
    En el atardecer Mercurio se lo puede observar ya a simple vista desde 15 a 30 minutos luego de la puesta del Sol.

    Mercurio el 17/05/139 19:30 hs. (Alejandría)
    Magnitud Fracción Iluminada Altura Azimut
    +0,3 45,9 % 13° 37' 57" 111° 11' 02"

    El 17/05/139 a las 19:30 hs. Mercurio se encontraba a 32' 15" (NNE) de Omega Gemini (Mag. +5,18).

    Conjunción Luna-Mercurio en el instante de la observación de Ptolomeo (17.05.139 a las 19:30 hs.)
    Longitud Lunar Latitud Lunar Altura Azimut Fase - Fracción Iluminada Distancia Luna-Mercurio (centro a centro) Luna en Carta
    Gemini 79° 00' 33" -02° 40' 43" 11° 24' 106° 47' Hacia Cuarto Creciente - 5 % 4° 29' 53" (N) Gemini
    Almagesto Observación  17.05.139 d. C.

    La máxima elongación de Mercurio ocurrió el 21 de Mayo de 139 d. C. (139) a las 16:08:11 hora local y con una distancia al Este del Sol de 24° 41' 46".

    Nota del traductor al español: cartas y datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico".

  4. Esas posiciones son calculadas para las 19:42 hs. en Alejandría, por ej. Ptolomeo ha aplicado la Ecuación del Tiempo (Yo encuentro -25 mins. con respecto a la era de Nabonassar). Para éste instante los cálculos son muy precisos (encuentro una Paralaje Longitudinal de -53' donde Ptolomeo aplica -50').
  5. "Perigeo" () aquí y en H285,12 y 14 es tomado, un poco de manera imprecisa, como el punto de 180º desde el Apogeo, y no como el punto donde el centro de Mercurio que está más cerca de la Tierra. Para esto último Ptolomeo siempre utiliza la forma superlativa  (H273,11, al.).
  6. Cf. Libro IX Capítulo 7 Observaciones [4] y [5] y Libro IX Capítulo 8 Observaciones [Primero] y [Segundo].
  7. Este es uno de los casos más raros donde Ptolomeo aplica el equivalente al Teorema de los Senos en un triángulo no siendo uno rectángulo. Ver Introducción "(c) Trigonometría", nota de referencia nro. 10.
  8. El arco correspondiente a 115;39p es de hecho 149;3º. Pero si uno toma la cuerda como de 115;38,40 (que es una transformación muy precisa de 46;35 * 55;51 / 120), uno lo encuentra como el arco de 149;1,56º. A menudo, Ptolomeo calcula con mayor precisión [respecto] de lo que muestra.
  9. Ver el catálogo Constelación XXIX Estrellas 1 y 2. Ptolomeo allí ha sustraído 4º en las Longitudes para considerar con la Precesión.
    Fecha y horas calculadas con un programa de computación desde la observación realizada por Dionysius (actual Atenas) de la siguiente:
    Elongación de Mercurio en el día de la observación realizada por Dionysius
    Fecha Hora Longitud del Sol Longitud de Mercurio Latitud de Mercurio Elongación Mercurio en Carta
    14 de Noviembre de 265 a. C. (-265) 06:35 hs. Scorpius (Ophiuchus) 228° 45' 19" Scorpius 213° 04' 45" +02° 42' 57" W 15° 54' 18" Scorpius
    Almagesto Observación  14.11.265 a. C.

    Hora Salida del Sol (14/11/-265): 07:05:40 hs. Azimut: 291° 54'.
    En el amanecer Mercurio se lo puede observar ya a simple vista desde 15 a 30 minutos antes de la salida del Sol.

    Mercurio el 14/11/-265 06:35 hs. (Atenas)
    Magnitud Fracción Iluminada Altura Azimut
    +0,9 22,1 % 9° 08' 44" 290° 32' 05"

    El 14/11/-265 a las 06:35 hs. Mercurio se encontraba a 51' 26" (NNE) de Nu Scorpius (Jabbah, del árabe "la corona en la frente", Mag. +4,01). También en ese instante se encontraba a 2° 04' 43" (ENE) de Beta 1 Scorpius (Acrab 1, "el alacrán", Mag. +2,62), a 2° 27' 52" (NE) de Omega 1 Scorpius (Jabhat al 'Acrab 1, "la frente (del escorpión)", Mag. +3,96) y a 4° 55' 38" (NE) de Delta Scorpius (Dschubba, "la (estrella) delantera de la frente", Mag. +2,3).
    La máxima elongación de Mercurio ocurrió el 25 de Noviembre de 265 a. C. (-265) a las 16:37:59 hora local y con una distancia al Oeste del Sol de 22° 14' 14".

    Nota del traductor al español: carta y datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico".

  10. Es muy dificultoso observar como Ptolomeo llega a ésta posición desde sus propios datos: ver la discusión en HAMA 166, Fig. 151. Ésta fue una observación de una [Posición] Estacionaria [de Mercurio]. Cf. Ver al comienzo del Libro IX Capítulo 2 por la descripción de Ptolomeo acerca de las antiguas observaciones.
  11. Existe una diferencia adicional (notada por Manitius) de que los significados de los puntos Θ y K han sido intercambiados: en la Fig. 9.9, Θ fue el Apogeo Medio y K el Verdadero, mientras en la Fig. 9.10, K es el Perigeo Medio y Θ el Verdadero.
  12. 2;9p podría ser más preciso por cualquier otro método de cálculo.
  13. 3;47º podría ser más preciso por cualquier otro método de cálculo.
  14. El [valor] más cercano al que uno puede llegar por cualquier método de cálculo es 100;7º. Cálculos más precisos dan 100;4º.
  15. La derivación actual del Movimiento en Anomalía ver Cálculos, Ejemplo 16. En la derivación de las dos posiciones en anomalía en las que el Movimiento Medio, según se basa Ptolomeo, se ha cometido un número de pequeños cálculos y redondeos erróneos. Esto resulta en un error compuesto que no es despreciable, ya que cálculos exactos de sus valores iniciales revelan:
    Ptolomeo Cálculos
    Observación I 212;34º 212;29,18º
    Observación II 99;27º 99;33,31º
    Incremento 246;53º 247;4,13º

    La diferencia de +11', distribuida en aproximadamente 400 años, llega a los +0;0,0,0,16 º/d en el Movimiento Medio.