Almagesto: Libro IX - Capítulo 09

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{Sobre la proporción y la cantidad de las Anomalías de Mercurio}[editar]

[1]

Habiendo completado la anterior investigación preliminar, aún hemos de demostrar la posición del punto sobre la línea AB alrededor del cual toma lugar la revolución anual del Epiciclo en Movimiento Uniforme hacia atrás con respecto de los signos, y la distancia desde Z, siendo el centro de ésta Excéntrica que realiza su revolución hacia adelante por el mismo período [como lo hace el Epiciclo]. Para ésta investigación utilizamos dos observaciones de las Máximas Elongaciones, una como estrella de la mañana y una como estrella de la tarde, pero en ambas, la Posición Media estuvo a un cuadrante desde el Apogeo sobre el mismo lado: ésta es, aproximadamente, la ubicación en la que ocurre la Máxima Ecuación de la Anomalía Eclíptica.

[1] En el decimocuarto año de Adriano, 18 de Mesore [XII] en el calendario Egipcio [4 de Julio de 130], por la tarde, encontramos desde las observaciones que otuvimos de Teón de Esmirna [2], [donde] él dice que [Mercurio] estuvo, en su Máxima distancia desde el Sol, [y a] 3 5/6º por detrás [por ej. hacia atrás] de la estrella [ubicada] en el corazón de Leo. Por lo tanto, de acuerdo con nuestras coordenadas, su Longitud fue de alrededor de Leo 6 ⅓º, mientras la Longitud Media del Sol en aquel instante fue de alrededor de Cancer 10 1/12º. Por lo tanto la Máxima Elongación de la tarde fue de 26 ¼º.

[2] En el segundo año de Antonino Pío, [20]/21 Mesore [XII] [3] en el calendario Egipcio [4/5 de Julio de 139], en el amanecer, observamos su Máxima distancia por medio del Astrolabio: avistándolo con respecto a la estrella [más] brillante en las Híades, encontramos su Longitud como de Gemini 20 1/12º. La [Posición Media del] Sol estuvo, nuevamente, por alrededor de Cancer 10 ⅓º. Por lo tanto la Máxima Elongación de la mañana fue de 20 ¼º.

Fig. 9.6
Fig. 9.6

Con los datos anteriores, sea nuevamente AZBG [Fig. 9.6] el diámetro a través de Libra 10º y de Aries 10º, y, como en la figura previa [9.5], sea A tomado como el punto en el cual se encuentra el centro del Epiciclo cuando su Longitud es [igual a] Libra 10º, G es el punto sobre el cual [el centro] es encontrado cuando su Longitud es de Aries 10º, B como el centro de la Eclíptica, y Z como el punto alrededor del cual gira hacia adelante el centro de la Excéntrica.

Sea el primer problema encontrar la distancia desde el punto central B alrededor del cuál decimos que toma lugar el Movimiento Uniforme del Epiciclo hacia atrás.

Sea H éste centro, y dibujar una línea recta a través de H en ángulos rectos hasta AG, entonces su distancia [angular] desde el Apogeo es [igual a] un cuadrante. Sobre ésta línea tomar Θ, [siendo] el centro del Epiciclo [según] las observaciones anteriores (aquellas observaciones [donde] la Longitud Media del Sol fue de un cuadrante desde el Apogeo, dado que éste estuvo alrededor de Cancer 10º). Dibujar el Epiciclo KL con centro en Θ, y dibujar desde B las tangentes BK y BL hasta él [Θ]. Unir ΘK, ΘL y BΘ.

Entonces, dado que en la Posición Media en cuestión, la Máxima Elongación de la mañana desde la Media está dada como de 20 ¼º, y la Máxima Elongación de la mañana como de 26 ¼º,

El ^ KBL = [20 ¼º + 26 ¼º =] 46;30º donde 4 ángulos rectos = 360º.
Por lo tanto su mitad, ^ KBΘ = 46;30ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº [4].
Por lo tanto en el círculo alrededor del triángulo rectángulo BΘK
arco ΘK = 46;30º
y su cuerda, ΘK = 47;22p donde la hipotenusa BΘ = 120p.
Por lo tanto donde ΘK, el radio del Epiciclo, es de 39;9p
y, como fue mostrado, BZ = 10;25p,
BΘ = 99;9p.

Nuevamente, la diferencia entre las Máximas Elongaciones de arriba, 6º, comprende el doble de la Ecuación de la Anomalía de la Eclíptica; y lo último está representado por el ^ BΘH, como probamos previamente [5].

Por lo tanto el ^ BΘH = 3º donde 4 ángulos rectos = 360º
Por lo tanto el ^ BΘH = 6ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.
Por lo tanto el circulo alrededor del triángulo rectángulo BHΘ
El Arco BH = 6º
y BH = 6;17p donde la hipotenusa BΘ = 120p.
Por lo tanto dónde BΘ = 99;9º, y asimismo BZ = 10;25p,
BH = 5;12p.

En consecuencia BH es aproximadamente la mitad de BZ, y BH ≈ HZ ≈ 5;12p, donde el radio del Epiciclo es de 39;9p.

Nuevamente, en la misma figura [Fig. 9.7], dibujar la línea ZMN a través de Z en ángulos rectos hasta AG, pero en el lado opuesto a HΘ. Dado que las líneas HΘ y ZN realizan sus vueltas al mismo punto en el mismo período, pero en sentido opuesto, el centro de ésta Excéntrica sobre el cual se ubica el centro del Epiciclo Θ, obviamente, en ese instante se ubicará en ZMN .

Fig. 9.7
Fig. 9.7

Sea ZN igual a ZA: por lo tanto ZN, igual que AZ, es la suma de los radios de la Excéntrica y la distancia entre los centros ([por ej.] entre el centro de la Excéntrica y el punto Z). Tomar M, el centro de la excéntrica, en ZN, y unir ZΘ.

Ahora el ^ MZH es recto, y el ^ ΘZH es prácticamente un ángulo recto (por lo tanto NZΘ, también, es prácticamente una línea recta) [6]; y ha sido demostrado que donde el radio del Epiciclo es de 39;9p

NZ = AZ = 109;34p
Y ZΘ = BΘ = 99;9p [7].
Por lo tanto, por adición, NZΘ = 208;43p

Y su mitad, NM, el radio de la Excéntrica, es de alrededor de 104;22p, y por sustracción [de NM desde NZ], ZM, la distancia entre los centros, es de 5;12p.

Pero mostramos que ambas BH y HZ eran por la misma cantidad, 5;12p.

Por lo tanto hemos calculado que

donde el radio de la Excéntrica es de 104;22p
cada una de las distancias entre los centros [BH, HZ, ZM] son de 5;12p
y el radio del Epiciclo es de 39;9p.
Por lo tanto donde el radio de la Excéntrica es de 60p,
cada una de las distancias entre los centros son de 3;0p
y el radio del Epiciclo es de 22;30p.

Lo que se ha requerido para examinar.

Con los [elementos] dados anteriormente, las Máximas Elongaciones [calculadas] en los puntos más cercanos a la Tierra están de acuerdo con aquellas observadas (por ej. cuando la Posición Media está en Aquarius 10º o en Gemini 10º, y [por lo tanto] su distancia desde el Apogeo es el lado del triángulo [inscripto, por ej. de 120º], el ángulo subtendido por el Epiciclo sobre el ojo es alrededor de 47 ¾º, tal como podemos deducir de lo siguiente.

Fig. 9.8
Fig. 9.8

Sea ABGDE [Fig. 9.8] el diámetro a través del Apogeo, en el cuál el punto A es tomado como el Apogeo, B como el punto alrededor del cual el centro de la Excéntrica realiza su movimiento hacia delante, G como el punto alrededor del cual el centro del Epiciclo realiza su Movimiento [Uniforme] hacia atrás, y D como el centro de la Eclíptica.

Cada uno de los movimientos anteriores han pasado por el lado del triángulo [inscripto, por ej. de 120º] ([y estos movimientos] realizados uniformemente y con igual velocidad alrededor de su propio centro), desde el apogeo A sobre los lados opuestos a él. Sea GZ la línea recta girando [con] el Epiciclo, y BH aquella girando [alrededor] del centro de la Excéntrica, y sea H el centro de la Excéntrica y Z el centro del Epiciclo. Con esto último como centro [que] describe el Epiciclo, dibujar tangentes al Epiciclo, DΘ y DK, unir GH, DZ, ZΘ y ZK, y eliminar la perpendicular DL desde D hasta GZ.

Tenemos que demostrar que

^ ΘDK = 47 ¾º donde los ángulos rectos = 360º.

Ahora ambos el ^ ABH y el ^ AGL subtienden el lado del triángulo [inscripto] y son iguales a 120º donde 2 ángulos rectos = 180º;

entonces el ^ GBH = ^ DGL = 60º;
y el ^ BHG = ^ BGH (BG = BH, por Hipótesis).
Pero ^ BHG + ^ BGH = 120º (suplementario [para el ^ GBH = 60º]).
En consecuencia ^ BHG = ^ BGH = 60º.

Entonces el triángulo BGH es de ángulos iguales (equiangular) y equilátero.

Y el ^ DGL = ^ BGH.

Entonces los puntos H, G y Z se ubican en una línea recta.

Por lo tanto HZ, el radio de la Excéntrica = 60p donde GH (que es igual a GD) = 3p, [siendo] la distancia entre los centros. Por lo tanto, por sustracción [de GH desde HZ], GZ = 57p en las mismas unidades.

Nuevamente, dado que

^ DGL = 60º donde 4 ángulos rectos = 360º
^ DGL = 120ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,

En el círculo alrededor del triángulo rectángulo GDL

Arco DL = 120º
y Arco GL = 60º (suplementario).

Por lo tanto las cuerdas correspondientes

DL = 103;55p donde la hipotenusa GD = 120p.
y GL = 60p donde la hipotenusa GD = 120p.
Por lo tanto donde DG = 3p y GZ = 57p
DL = 2;36p
y GL = 1;30p;

y, por sustracción [de GL desde GZ], LZ = 55;30p.

y dado que LZ² + DL² = DZ²,
DZ = 55;34p [8]

Donde el radio del epiciclo (ej. ZΘ y ZK) = 22;30p, por Hipótesis.

Por lo tanto donde la hipotenusa DZ = 120p
ΘZ = ZK = 48;35p;
y ^ ZDΘ = ^ ZDK = 47;46ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.

Por lo tanto, por adición [de ^ ZDΘ al ^ ZDK], ^ ΘDK = 47;46º donde 4 ángulos rectos = 360º.

Lo que se ha requerido para examinar.

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Notas de referencia[editar]

  1. HAMA 161-2, Pedersen, 318-19.
  2. Otras observaciones [realizadas] por este hombre son utilizadas por Ptolomeo en el Libro X Capítulo 1 y en el Libro X Capítulo 2. Allí (en el comienzo del Libro X Capítulo 1) Ptolomeo dice que ellas fueron "dadas a nosotros por el matemático Teón", implicando contacto personal. A menudo él ha sido identificado como Teón de Esmirna. Esto es cronológicamente posible, pero dada la frecuencia del nombre, especialmente en el Egipto romano, la identificación es altamente incierta.
    Fecha y horas calculadas con un programa de computación desde la observación realizada por Teón de Esmirna (actual Alejandría) de la siguiente:
    Elongación de Mercurio en el día de la observación realizada por Teón de Esmirna
    Fecha Hora Longitud del Sol Longitud de Mercurio Latitud de Mercurio Elongación Mercurio en Carta
    4 de Julio de 130 d. C. (130) 19:35 hs. Cancer 100° 11' 14" Leo 127° 25' 14" -00° 54' 57" E 27° 14' 51" Leo
    Almagesto Observación 04.07.130 a. C.

    Hora Puesta del Sol (04/07/130): 19:04:50 hs. Azimut: 118° 07'.
    En el atardecer Mercurio se lo puede observar ya a simple vista desde 15 a 30 minutos luego de la puesta del Sol.

    Mercurio el 04/07/130 19:35 hs. (Alejandría)
    Magnitud Fracción Iluminada Altura Azimut
    +0,4 47,3 % 13° 05' 52" 103° 00' 27"

    El 04/07/130 a las 19:30 hs. Mercurio se encontraba a 3° 02' 33" (W) de Rho Leo (Maru Sha Arkat Sharru, del acadio "el cuarto hijo", Mag. +3,85) y a 3° 46' 11" (ESE) de Alfa Leo (Regulus, del latín diminutivo de rey (Rex) "príncipe", Mag. +1,35).
    La máxima elongación de Mercurio ocurrió el 4 de Julio de 130 d. C. (130) a las 22:18:20 hora local y con una distancia al Este del Sol de 27° 14' 51".

    Nota del traductor al español: carta y datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico".

  3. Leer ' (en los manuscritos D y Ar) en cambio de ' (24 ta.) en H275,13. La fecha está determinada por la Longitud Media del Sol (calculado en 100;19º para el año 886 de [la era de] Nabonassar, 20/21 de Mesore [XII], 06:00 hs.). Neugebauer (HAMA 162 n. 3) sugiere leer (') ', pero para la forma anterior cf. (ver Libro IX Capítulo 7 nota de referencia nro. 11).
    Fecha y horas calculadas con un programa de computación desde la observación realizada por Ptolomeo (actual Alejandría) de la siguiente:
    Elongación de Mercurio en el día de la observación realizada por Ptolomeo
    Fecha Hora Longitud del Sol Longitud de Mercurio Latitud de Mercurio Elongación Mercurio en Carta
    4 de Julio de 139 d. C. (139) 04:25 hs. Cancer 99° 24' 45" Gemini 80° 59' 38" -02° 51' 40" W 18° 37' 38" Gemini
    Almagesto Observación  04.07.139 d. C.

    Hora Salida del Sol (04/07/139): 04:54:45 hs. Azimut: 241° 49'.
    En el amanecer Mercurio se lo puede observar ya a simple vista desde 15 a 30 minutos antes de la salida del Sol.

    Mercurio el 04/07/139 04:25 hs. (Alejandría)
    Magnitud Fracción Iluminada Altura Azimut
    -0,7 65,8 % 7° 28' 11" 250° 25' 28"

    El 04/07/139 a las 04:25 hs. Mercurio se encontraba a 2° 02' 39" (ESE) de Zeta Gemini (Mekbuda, del árabe "la pata replegada del León", Mag. +3,79)".
    La máxima elongación de Mercurio ocurrió el 8 de Julio de 139 d. C. (139) a las 00:11:31 hora local y con una distancia al Oeste del Sol de 19° 20' 01".

    Nota del traductor al español: carta y datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico".

  4. Notar que éste es exactamente igual al ^ GBE en los cálculos del Libro IX Capítulo 8, que implica que la distancia del Epiciclo desde el observador es la misma (aquí) en la cuadratura y en los 180º desde el Apogeo (allí).
  5. Final del Libro IX Capítulo 6. Pero se supone más que "probado".
  6. Ésta simplificación es necesaria con el fin de resolver el problema en su totalidad: uno no conoce a priori donde el punto M se ubica en ZM, solamente que se ubica en un círculo con centro Z.
  7. Ver cálculos del Libro IX Capítulo 8.
  8. De acuerdo con Ptolomeo, ésta es la Mínima Distancia del centro del Epiciclo de Mercurio (cf. cálculos en el Libro XI Capítulo 10 primer tabla). Esto fue demostrado por Hartner. Con los parámetros del modelo de Ptolomeo, el "Horóscopo de Mercurio" págs. 109-17 (cf. Pedersen 321-4), la menor distancia ocurre actualmente alrededor de los 120 ½º desde el Apogeo, y es menor que 55;34 (cerca de 55;33,38). Éstas diferencias son enteramente insignificantes para los fines prácticos.