Almagesto: Libro XI - Capítulo 06

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{Demostración del tamaño del Epiciclo de Saturno}[editar]

A continuación, una vez más, con el fin de demostrar el tamaño del Epiciclo, tomamos una observación que hicimos en el segundo año de Antonino Pío, 6/7 de Mechir [VI] en el calendario Egipcio [22/23 de Diciembre de 138]. Esto fue 4 horas equinocciales antes de la medianoche, de acuerdo con el astrolabio el último grado de Aries estaba culminando, mientras la Longitud Media del Sol fue de Sagittarius 28;41º. En éste instante el planeta Saturno, avistado con respecto a la estrella más brillante en las Híades (catálogo XXIII 14), fue observado tener una Longitud de Aquarius 9 1/15º, y estuvo alrededor de ½º hacia atrás del centro de la Luna (tal fue su distancia desde el cuerno Norte de la Luna) [1]. Ahora, en este instante las posiciones de la Luna fueron las siguientes:

Longitud Media Aquarius 8;55º
Anomalía desde el Apogeo del Epiciclo 174;15º

Por consiguiente su

Longitud Verdadera debe haber sido Aquarius 9;40º
y su Longitud Aparente en Alejandría Aquarius 8;34º [2]

Por lo tanto, desde éstas consideraciones, el planeta Saturno debe haber tendido también una Longitud de Aquarius 9 1/15º (dado que estuvo alrededor de ½º hacia atrás del centro de la Luna).

Y su distancia desde el Apogeo de la Excéntrica (que estuvo [en] la misma [posición como en la tercera oposición], ya que su desplazamiento en un intervalo es insignificante), fue de 76;4º.

Ahora, el intervalo desde la tercera oposición hasta ésta observación es de

2 años Egipcios 167 días y 8 horas.

Y los Movimientos [Medios] de Saturno en éste intervalo, más o menos calculados [(de manera imprecisa)] [3], son

en Longitud: 30;3º
en Anomalía: 134;24º

Si sumamos esto último a las posiciones en la tercera oposición como las halladas anteriormente (al final del Libro XI Capítulo 5), tomamos, para el instante de la observación en cuestión:

en Longitud [Media] desde el Apogeo de la Excéntrica 86;33º
en Anomalía desde el Apogeo del Epiciclo 309;8º

Con lo anterior como dato, nuevamente dibujemos el diagrama [Fig. 11.21] tal como en la prueba similar [para Marte y Júpiter, Fig. 10.17 y 11.10], pero con el Epiciclo situado hacia atrás del Apogeo de la Excéntrica, y el planeta hacia adelante del Apogeo del Epiciclo, de acuerdo con sus posiciones dadas. [Entonces,] dado que

Fig. 11.21
Fig. 11.21

el ^ AZB (= ^ DZM) = 86;33º donde 4 ángulos rectos = 360º (dados)
el ^ AZB (= ^ DZM) = 173;6ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,

en el círculo alrededor del triángulo rectángulo DZM,

Arco DM = 173;6º
y Arco ZM = 6;54º (suplementario).
Por lo tanto las cuerdas correspondientes
DM = 119;47p donde la hipotenusa DZ = 120p
y ZM = 7;13p donde la hipotenusa DZ = 120p.

Por lo tanto, donde la distancia entre los centros, DZ = 3;25p,

y el radio de la Excéntrica, DB = 60p,
DM ≈ 3;25p
y ZM = 0;12p.
Y dado que DB² - DM² = BM²,
BM = 59;54p en las mismas unidades.
Similarmente, dado que ZM = ML, y EL = 2 * DM,
por suma, BL = 60;6p donde EL es calculado como de 6;50p.

Por lo tanto la hipotenusa [del triángulo rectángulo BEL]

EB = 60;29p en las mismas unidades.
Por lo tanto, donde la hipotenusa EB = 120p, EL = 13;33p,

y, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo BEL,

Arco EL = 12;58º
en consecuencia el ^ EBZ = 12;58ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.
Pero el ^ AZB fue dado [4] como de 173;6º1C en las mismas unidades.

Por lo tanto, por sustracción, el ^ AEB = 160;8ºº en las mismas unidades.

Pero el ángulo representando la distancia aparente del planeta desde el Apogeo,

el ^ AEK fue dado como de 76;4º donde 4 ángulos rectos = 360º
el ^ AEK fue dado como 152;8º donde 2 ángulos rectos = 360ºº.
Por lo tanto, por sustracción, el ^ KEB = 8;0ºº en las mismas unidades.

Por lo tanto, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo BEN,

Arco BN = 8º
y BN = 8;22p donde la hipotenusa EB = 120p.
Por lo tanto, donde EB = 60;29p, y el radio de la Excéntrica es de 60p,
BN = 4;13p.

Además, dado que la distancia del planeta desde H, el Apogeo del Epiciclo, fue de 309;8º, por sustracción [desde los 360º], arco HK = 50;52º.

En consecuencia el ^ HBK = 50;52º donde 4 ángulos rectos = 360º
En consecuencia el ^ HBK = 101;44ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº.
Pero encontramos que el ^ EBZ (= ^ HBΘ) = 12;58ºº.

Por lo tanto, por sustracción, el ^ ΘBK = 88;46ºº donde el ^ KEB fue demostrado ser de 8ºº.
Por lo tanto, por sustracción, el ^ BKN = 80;46ºº en las mismas unidades.

Por lo tanto, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo BKN,
Arco BN = 80;46º
y BN = 77;45p donde la hipotenusa BK = 120p.

Por lo tanto, donde BN fue hallado como de 4;13p, y el radio de la Excéntrica es de 60p, el radio del Epiciclo, BK ≈ 6 ½p.

De este modo hemos calculado lo siguiente:

Alrededor del comienzo del reinado de Antonino Pío la Longitud del Apogeo de Saturno fue de Scorpius 23º;
donde el radio de la Excéntrica transportando el Epiciclo es de 60p,
la distancia entre los centros del Epiciclo y la Excéntrica, que produce el movimiento uniforme, es de 6;50p,
y el radio del Epiciclo es de 6;30p.

Lo que se ha requerido para examinar.

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Notas de referencia[editar]

  1. Efeméride calculada con un programa de computación desde la observación realizada por Ptolomeo (actual Alejandría) de la siguiente:
    Conjunción de Saturno con la Luna en el día de la observación de Ptolomeo
    Fecha Hora Longitud del Sol Longitud de Saturno Latitud de Saturno Elongación Altura Azimut Magnitud Saturno en Carta
    22 de Diciembre de 138 d. C. (138) 19:50 hs. Sagittarius 270° 26' 43,77" Aquarius 310° 07' 20,84" -01° 24' 38,70" E 39° 42' 35,66" 3° 03' 19,44" 65° 26' 14,41" +0,9 Aquarius
    Almagesto Observación 22.12.138 d. C.

    En ese instante, Saturno se encontraba a: 46' 14,89" (E) de Sigma Aquarius y a 05° 36' 19 (WSW) de Lambda Aquarius (CATABHISHAJ, del hindú "los cien científicos").
    Hora de Puesta de Saturno: 20:07:13 hs., azimut: 67º 42'.

    Conjunción Luna-Saturno en el instante de la observación de Ptolomeo (22.12.138 a las 19:50 hs.)
    Longitud Lunar Latitud Lunar Altura Azimut Fase - Fracción Iluminada Distancia Luna-Saturno (centro a centro) Luna en Carta
    Aquarius 311° 17' 13,39" -01° 09' 42,77" 3° 14' 65° 18' Hacia Cuarto Creciente - 12 % 1° 11' 26,17" (S) Aquarius
    Almagesto Observación 22.12.138 d. C.

    Hora de Puesta de la Luna: 20:10:21 hs., azimut: 67º 56'.
    Semidiámetro de la Luna: 16' 28,81".
    Distancia desde el limbo lunar (1° 11' 26,17" - 0° 16' 28,81") = 0° 54' 57,36".

    Nota del traductor al español: cartas y datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico".

  2. Está lejos de ser claro para qué instante fueron calculadas éstas cantidades. La Ecuación del Tiempo con respecto a la época es de alrededor de -13 3/4 minutos, e incluso las posiciones medias parecen estar calculadas para las 19:50 hs. más bien que para las 20:00 hs.; aunque para entonces la longitud verdadera de Ptolomeo es demasiado grande. Yo encuentro:
    Para las 19:50 hs. Para las 20:00 hs. Observado por Ptolomeo
    Seg. λ 308;52º 308;58º 308;55º
    Seg. α 174;15º 174;20º 174;15º
    λ 309;29º 309;35º 309;40º

    Dado que la Luna también estuvo sobre el horizonte, la paralaje fue grande: en las tablas de Ptolomeo encuentro una paralaje longitudinal de alrededor de -1 1/4º (en el texto -1;6º), llegando a una discrepancia [(diferencia)] de alrededor de 1/4º en el resultado final.

  3. Esto ésta de acuerdo, al minuto más cercano, con aquellos [valores] encontrados en las tablas. Cf. Libro XI Capítulo 5 nota de referencia nro. 4.
  4. Leer  (en el manuscrito D) en cambio de  ("está dado") en H417,13.