Almagesto: Libro VI - Capítulo 06

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{Sobre el intervalo de Meses entre los Eclipses}[editar]

[1]

Además de lo anterior, también podría ser útil discutir el problema de los intervalos en los cuales, en general, es posible que ocurran las Sizigias Eclípticas, de este modo, una vez que hayamos determinado un único ejemplo de una Sizigia Eclíptica, no necesitaremos aplicar nuestro examen de los límites de la Eclíptica para cada Sizigia sucesiva por vuelta, sino sólo para aquellas que estén separadas [de la primera] por un intervalo de meses sobre los cuales es posible que se repita un Eclipse.

Ahora, inmediatamente es obvio que ambos Eclipses del Sol y de la Luna puedan ocurrir a intervalos de 6 meses, dado que el incremento en el Movimiento Medio de la Luna en [el Argumento] de la Latitud llega a ser 184;1,25º por encima de los 6 meses, y los arcos entre los límites de la Eclíptica [en nodos opuestos], ambos para el Sol y la Luna, comprenden menos que la cantidad arriba [mencionada] si ellos son más pequeños que un semicírculo, y más que la cantidad anterior si ellos son mayores que un semicírculo [2].

En el caso del Sol, los límites de la Eclíptica cortan 20;41º hacia el Norte desde ambos nodos sobre el círculo inclinado de la Luna (como hemos demostrado en el Libro VI al final del Capítulo 5), y 11;22º hacia el Sur. Por lo tanto [3] los arcos sobre los cuales los Eclipses no pueden ocurrir comprenden 138;38º hacia el Norte [de los nodos], y 157;16º hacia el Sur.

Y, en el caso de la Luna, los límites de la Eclíptica cortan 15;12º [por encima] del círculo [de la órbita de la Luna] desde los nodos a ambos lados de la Eclíptica. Por lo tanto cada uno de los arcos en los que los Eclipses no pueden ocurrir comprenden 149;36º.

Fig. H
Fig. H

Sobre la base de las teorías desarrolladas más arriba, es posible que los Eclipses de Luna recurran en un intervalo de 5 meses que es el más largo posible, por ej. un intervalo en el que el Sol tiene el Máximo Movimiento posible y la Luna el Menor. Seguidamente podemos ver esto.

En el intervalo de 5 meses encontramos los siguientes incrementos en los movimientos:

en el Movimiento Medio en Longitud de ambas luminarias: 145;32º
en el Movimiento en Anomalía de la Luna sobre el Epiciclo: 129;5º.

El del Sol es de 145;32º, cuando su Movimiento [Verdadero] es mayor [por ej. simétricamente distribuido] a ambos lados del Perigeo, produciendo una adición al Movimiento Medio por 4;38º [4]. Los 129;5º de la Anomalía de la Luna en el Epiciclo, [ocurre] cuando su Movimiento [Verdadero] es menor, [por ej. distribuido simétricamente] a ambos lados de Apogeo, produciendo un decremento desde el Movimiento Medio de 8;40º. Por lo tanto sobre el período de 5 Meses Sinódicos Medios durante los cuales el Sol tiene su Máximo Movimiento posible y la Luna su Mínimo, la Luna estará todavía hacia adelante del Sol por la suma de ambas [Ecuaciones anteriores de la] Anomalía, por ej. por 13;18º. Tomamos 1/12 ma. parte de éste [valor] (por las razones explicadas anteriormente en el Libro VI al final del capítulo 5), y tomamos alrededor de 1;6º para el movimiento adicional del Sol antes que la Luna lo alcance. Entonces, dado que éste tiene un movimiento adicional de 4;38º desde su propia Anomalía, y otros 1;6º desde el movimiento necesario para alcanzar [al Sol] en la sizigia verdadera, el mayor intervalo de 5 meses posible será mayor que el medio por 5;44º de Longitud. Por lo tanto el movimiento adicional de la Luna en Latitud sobre su círculo inclinado será alrededor de la misma cantidad [de 5;44º] sobre el Movimiento Medio en Latitud en 5 meses, que llega alrededor de 153;21º. Por lo tanto el Movimiento Verdadero en Latitud sobre el mayor intervalo posible de 5 meses llega a los 159;5º.

Pero los límites de la Eclíptica de la Luna para la distancia media de la Luna circundan alrededor de 1º (a ambos lados de la Eclíptica) del gran círculo dibujado a través de los polos del círculo inclinado de la Luna; en la Mínima distancia de la Luna [la cantidad correspondiente] es de 1;3,36º, y en su Máxima distancia es de 0;56,24º [5], por lo tanto [los límites de la Eclíptica abarcan] 11;30º del círculo inclinado a ambos lados de los nodos, y por lo tanto el arco "aneclíptico" [(arco eclíptico opuesto, por ej. + 180°)] entre ellos comprende 157;0º. Ésta cantidad es 2;5º menor que los 159;5º del círculo inclinado de [la Luna] que es el incremento sobre el mayor intervalo posible de 5 meses. Desde éstas consideraciones está claro que, si uno toma el intervalo más largo posible de 5 meses, la Luna puede ser eclipsada en la oposición al comienzo de tal intervalo, mientras se está apartando desde ambos nodos, y luego puede ser nuevamente eclipsada en la oposición al final del intervalo, mientras ella se está aproximando al nodo opuesto. El oscurecimiento tomará lugar desde el mismo lado de la Eclíptica (nunca desde lados opuestos) en ambos Eclipses.

Por lo tanto hemos demostrado que el intervalo más largo posible de 5 meses puede producir dos Eclipses Lunares. Sin embargo, es imposible que esto ocurra si intervienen 7 meses, incluso si asumimos el intervalo más corto posible de 7 meses, a saber, aquel en el cual el Sol tiene su menor movimiento y la Luna su mayor. Vemos esto por el mismo método como el de más arriba [explicado].

En el intervalo medio de 7 meses los incrementos en movimientos son los siguientes:

en el Movimiento Medio en Longitud de ambas luminarias: 203;45º
en el Movimiento de la Luna sobre el Epiciclo: 180;43º.

El del Sol es de 203;45º, cuando su movimiento [verdadero] es menor, [por ej. distribuido simétricamente] a ambos lados del Apogeo, genera una disminución del Movimiento Medio por 4;42º, mientras los 180;43º de la [Anomalía] de la Luna sobre el Epiciclo, cuando su Movimiento [Verdadero] es mayor, [por ej. simétricamente distribuido] a ambos lados del Perigeo, genera una adición al Movimiento Medio por 9;58º. Por lo tanto sobre el período de 7 Meses Sinódicos Medios en los cuales el Sol tiene su menor movimiento posible y la Luna su mayor, la Luna estará mas allá del Sol por la suma de ambas [Ecuaciones anteriores (más arriba)] de la Anomalía, [y por] 14;40º. Por la misma razón [como antes mencionada], tomamos 1/12 ma. parte de esto, [es decir 1;13º], y lo adicionamos a la disminución debida a la Anomalía del Sol, [de] 4;42º. El resultado 5;55º, nos da la cantidad aproximada por la cual los movimientos [de los cuerpos] en Longitud sobre el intervalo más corto posible de 7 meses es más corto que aquel sobre el intervalo medio de 7 meses. El movimiento de la Luna en Latitud será más corto que aquel sobre el intervalo medio de 7 meses, de 214;42º, por la misma cantidad [de 5;55º]. Entonces en el menor intervalo posible de 7 meses el incremento en el Movimiento Latitudinal de la Luna sobre su círculo inclinado será de 208;47º. Pero la cantidad total del arco mayor entre los límites de la [Eclíptica] de la Luna en su Mínima Distancia, es [igual] al arco entre el límite que precede a un nodo y el límite siguiente hasta el otro nodo, [siendo] solamente de [180º + 2 * 11;30º =] 203º. Por lo tanto es imposible que la Luna sea eclipsada en la primera oposición en un intervalo de 7 meses y entonces nuevamente sea eclipsada, de alguna manera, en la última oposición de éste intervalo, incluso si éste es el menor posible.

Ahora debemos probar que, sobre el mayor intervalo posible de 5 meses, el Sol también puede ser Eclipsado dos veces para observadores en un mismo lugar, y en todas las regiones de nuestra parte del mundo habitado.

En el intervalo más largo posible de 5 meses, el incremento de la Luna en [el argumento de] la Latitud es, como hemos demostrado [más arriba], de 159;5º. Y el arco sobre el cual los Eclipses Solares no pueden ocurrir, la distancia media de la Luna, es de 167;36º; los límites de la Eclíptica del Sol están a 0;32,20º desde la Eclíptica, medida a lo largo del círculo inclinado de la Luna [6]. Entonces es claro que, si la Luna no tiene una Paralaje, el evento en cuestión [Eclipses Solares en un intervalo de 5 meses] será imposible, dado que el arco "aneclíptico" excede al movimiento sobre el intervalo más largo posible de 5 meses por 8;31º contados a lo largo del círculo inclinado [de la Luna], que corresponden a alrededor de 0;45º sobre [el gran círculo] ortogonal a la Eclíptica. Sin embargo, en algún lugar donde la Luna pueda alcanzar una Paralaje tan grande que la Paralaje tanto en las Conjunciones en los dos finales [del intervalo], o en la suma de las Paralajes en ambas Conjunciones combinadas, excediendo los 0;45º, es posible que se produzca un Eclipse en ese lugar para las Conjunciones a ambos finales [del intervalo].

Ahora, [anteriormente] hemos demostrado que sobre el período de éste intervalo Medio de 5 meses [7] en el cual la Luna tiene su menor movimiento posible y el Sol su mayor, [intervalo que comienza desde los] dos tercios a lo largo de Virgo hasta dos tercios a lo largo de Aquarius, [8] la Luna está todavía por delante del Sol por la suma de ambas [Ecuaciones de] la Anomalía, [por] 13;18º. A la Luna le toma, en [su] Movimiento Medio de 1 día 2 ¼ horas, moverse (13;18º + 1/12 * 13;18º) [9].

Por lo tanto está claro que el período del intervalo más largo posible de 5 meses será de 148 días 18 horas ya que el período del intervalo medio de 5 meses es alrededor de 147 días 15 ¾ horas [10]. Por lo tanto la última Conjunción, que toma lugar cerca de las dos terceras [partes] a lo largo de Aquarius, se dará más temprano [en el día] que la primer Conjunción, que toma lugar cerca de dos terceras partes a lo largo de Virgo, [es decir] por 6 horas (que es la diferencia [del período de arriba] por un número entero de días). Entonces tenemos que buscar para un lugar y tiempo en los que, si la Luna está en Virgo [alrededor de los 20º] y también, 6 horas más temprano, en Aquarius [alrededor de los 20º], su Paralaje excederá los 0;45º anteriormente mencionados, esto es, en ambas de sus paralajes en uno de éstos signos tomados individualmente, o a la paralaje combinada en ambos de aquellos signos.

Ahora encontramos que la paralaje hacia el Norte de la Luna nunca alcanza aquella cantidad (bajo las condiciones prescritas) en algún lugar de nuestra parte del mundo habitado. Por lo tanto es imposible que el Sol sea eclipsado dos veces en el intervalo más largo posible de 5 meses cuando la posición de la Luna está al Sur de la Eclíptica, que es cuando está retrocediendo desde el nodo descendente en la primera Conjunción y aproximándose al nodo ascendente en la última. No obstante, esto puede lograr una paralaje hacia el Sur por ésta cantidad, en todas las regiones (comenzando también en el Ecuador, y yendo hacia el Norte), si uno toma la paralaje combinada en ambos signos de arriba con una diferencia de 6 horas. Esto ocurre cuando Virgo 20º está en el punto de su puesta en la primer Conjunción, y Aquarius 20º en el Meridiano en la segunda conjunción. En éstas ubicaciones, para la Luna en su distancia media (sustrayendo la Paralaje Solar) [11], encontramos las siguientes paralajes aproximadas hacia el Sur:

Luna en Virgo Luna en Aquarius
en el Ecuador 0;22° 0;14°
donde el día más largo es de 12 ½ hs. 0;27° 0;22°

Por lo tanto en [ésta] última región las paralajes combinadas exceden por 4 minutos los 0;45º en cuestión. Y dado que los incrementos de la Paralaje hacia el Sur como uno los toma en las regiones de más al Norte, es obvio que allí habrá una posibilidad que se incremente, [como si uno fuera hacia las regiones más lejanas del Norte,] el Sol será eclipsado dos veces en el intervalo más largo posible de 5 meses para los habitantes de aquellas regiones. Sin embargo, solamente esto puede suceder mientras la posición de la Luna está al Norte de la Eclíptica, que es cuando está retrocediendo desde el nodo ascendente en el primer Eclipse y aproximándose al nodo descendente en el segundo.

Digo, además, que es imposible que el Sol también sea eclipsado dos veces para los observadores en un mismo lugar en el intervalo más corto de 7 meses. Como hemos demostrado [más arriba], el movimiento de la Luna en [el argumento de] la Latitud sobre el intervalo más corto de 7 meses es de 208;47º. Y el arco más grande del círculo inclinado [de la Luna] interceptado entre [dos] límites eclípticos (que es el arco entre el límite precediendo un nodo y el límite sucediendo el nodo opuesto) es [de] 192;24º [12] para el Sol cuando la Luna está en su distancia media. Entonces nuevamente está claro que, si la Luna no tiene una Paralaje, el evento en cuestión no toma lugar, dado que el arco del círculo inclinado [de la Luna] cubierto en el intervalo más corto de 7 meses excede al arco más grande cortado entre los límites eclípticos del Sol por 16;23º, medido sobre el círculo inclinado, [que corresponde a] 1;25º sobre el círculo a través de los polos de la Eclíptica. Pero en algún lugar donde la Paralaje lunar es suficientemente mayor así que la Paralaje en ambas conjunciones en los dos finales [del intervalo], o la suma de las paralajes en ambas conjunciones combinadas, exceden 1;25º, es posible que las conjunciones en ambos extremos produzcan un Eclipse en ese lugar.

Ahora hemos demostrado [más arriba] que, sobre el período de aquel intervalo medio de 7 meses en el que la Luna tiene su mayor movimiento [verdadero], y el Sol su menor, [intervalo que va] desde el final de Aquarius hasta la mitad de Virgo [13], la Luna, en el Movimiento Verdadero, ya ha alcanzado al Sol por 14;40º. La Luna en Movimiento Medio atraviesa (14;40 + 1/12 * 14;40)° en 1 día 5 horas [14]. Por lo tanto, dado que el período del intervalo medio de 7 meses comprende cerca de 206 días 17 horas, el período del intervalo más corto posible de 7 meses será de 205 días 12 horas. Por lo tanto, en la última conjunción, que toma lugar alrededor de la mitad de Virgo, será de 12 horas mas tarde [en el día] con respecto de la primer Conjunción, que toma lugar alrededor al final de Aquarius. Entonces tenemos que buscar un lugar y tiempo [donde] la paralaje de la Luna pueda exceder los 1;25º, tanto en una ubicación individual de aquellas o en ambas ubicaciones combinadas, cuando las dos ubicaciones están separadas por 12 horas, por ej. un signo en la puesta y el otro en la salida (pues de otro modo sería imposible que ambos eclipses ocurran por encima del Horizonte).

Ahora, nuevamente, es imposible que la Luna alcance una Paralaje hacia el Norte por aquella cantidad en alguna región de nuestra parte del mundo habitado, ya que, incluso para aquellos viviendo directamente debajo del Ecuador, la Paralaje [hacia el Norte] en Latitud en la distancia media [de la Luna] [15] nunca excede los 23 minutos. Por lo tanto es imposible que el Sol sea eclipsado dos veces en el intervalo más corto de 7 meses cuando la posición de la Luna está al Sur de la Eclíptica, por ej. cuando se está aproximando al nodo ascendente en la primer Conjunción y alejándose desde el nodo descendente en la última Conjunción. Pero encontramos que la Paralaje hacia el Sur por aquella cantidad [por ej. mayor que 1;25º] es alcanzada [en las regiones al Norte de una Latitud siendo] aproximadamente el Paralelo a través de Rodas, cuando el final de Aquarius está saliendo y la mitad de Virgo se está poniendo. En Rodas, y en aquellas regiones por debajo del mismo paralelo, en ambas de las ubicaciones anteriormente [mencionadas] la Paralaje de la Luna en la distancia media (con la Paralaje solar restada) es alrededor de 0;46º hacia el Sur [16]. Por lo tanto ya en esas regiones la suma de las Paralajes en ambas conjunciones es mayor que 1;25º. Y ya que para las regiones aún mas allá del Norte con respecto a éste paralelo la Paralaje hacia el Sur es mayor, es obvio que para los habitantes de aquellas regiones un Eclipse del Sol puede ser observado dos veces en el intervalo más corto de 7 meses. Sin embargo, nuevamente, es posible sólo cuando la posición de la Luna está al Norte de la Eclíptica, por ej. cuando está aproximándose al nodo descendente en el primer Eclipse y alejándose del nodo ascendente en el segundo.

Nos resta probar que es imposible que el Sol sea eclipsado dos veces en un intervalo de un mes en nuestra parte del mundo habitado, ambos [para observadores] en la misma latitud o en diferentes latitudes, incluso si uno asume una combinación de condiciones que de hecho no podrían verdaderamente cumplirse todas al mismo tiempo, sino que pueden juntamente ser agrupadas en un vano intento de brindar una posibilidad de que suceda el evento en cuestión. Estas asunciones son, que la Luna esté a una distancia menor (para hacer su Paralaje mayor); que el mes sea el más corto posible (de modo que la cantidad, por la que el Movimiento Mensual en Latitud excede la distancia entre los límites eclípticos del Sol, sea tan pequeña como fuera posible) [17]; y que utilicemos, sin un análisis [si se da en una ubicación posible], aquellos instantes y los signos zodiacales en los que la Paralaje aparente de la Luna sea mayor.

Ahora en 1 mes Sinódico Medio los Movimientos Medios de los cuerpos son los siguientes:

el incremento del Movimiento en Longitud para ambas luminarias: 29;6º
[la Anomalía] de la Luna sobre el Epiciclo: 25;49º.

Los 29;6º del Movimiento del Sol, [cuando están simétricamente distribuidos] a ambos lados del Apogeo producen su menor Movimiento [Verdadero], resultando en una Ecuación de -1;8º del [Movimiento] Medio. Y los 25;49º del Movimiento de la Luna, [cuando están distribuidos simétricamente] a ambos lados del Perigeo producen su mayor Movimiento [Verdadero], resultando en una Ecuación de +2;28º para el [Movimiento] Medio. En concordancia con nuestra demostración previa, tomamos la suma de ambas Ecuaciones de la Anomalía, [por] 3;36º, y sumamos 1/12 ma. parte de ésta, [es decir] 0;18º, a la cantidad por la que el Sol estuvo por detrás [por ej. por 1;8º]. Esto nos da 1;26º para la cantidad por la que el movimiento sobre el mes más corto en Longitud y [el argumento] de la Latitud está excedida para aquella en un mes Sinódico Medio. Por lo tanto, desde el Movimiento en Latitud durante un mes Sinódico Medio es de 30;40º, siendo en el mes más corto por 29;14º, que corresponde alrededor de 2;33º sobre el gran círculo perpendicular a la Eclíptica. Pero la cantidad total de [la distancia correspondiente hasta] los límites Eclípticos del Sol, cuando la Luna está en su mínima distancia, es de 1;6º [18], en la cual la longitud del mes más corto excede por 1;27º.

Por lo tanto, [primero] si el Sol es eclipsado dos veces en un intervalo de un mes, en ambos [Eclipses] podría ser absolutamente necesario que la Luna no tenga una Paralaje en una Conjunción y más de 1;27º en el otra, o, segundo, que la Paralaje en ambas Conjunciones estén en la misma dirección y por una diferencia entre las paralajes que sea mayor a 1;27°, o, [tercero], que la paralaje en una Conjunción esté hacia el Norte y la Paralaje en la otra esté hacia el Sur, mientras sus sumas exceden [por 1;27º] aquella cantidad. Pero en ninguna parte sobre la Tierra lo hace la Luna en la Sizigia, incluso en su mínima distancia tiene una Paralaje latitudinal por más de 1° (cuando la Paralaje solar es sustraída). Por lo tanto no será posible que un Eclipse Solar [pueda] ocurrir dos veces en un intervalo del mes más corto tanto cuando la Luna no tenga una Paralaje en una conjunción o cuando su Paralaje esté en la misma dirección en ambas conjunciones. La diferencia entre las Paralajes no pueden exceder 1º, y necesitamos 1;27º. Por lo tanto el evento en cuestión puede ocurrir sólo bajo la condición de que las dos Paralajes estén en direcciones opuestas, y que la suma de ambas excedan 1;27º. Esto puede ocurrir en las partes [(regiones)] de las zonas habitadas en diferentes [partes de la Tierra], dado que es posible que la Paralaje hacia el Sur de la Luna en las regiones al Norte del Ecuador, en nuestra parte del mundo habitado, y la Paralaje hacia el Norte en las regiones al Sur del Ecuador, sobre el llamado "antípodas", alcance como mucho 1º (con la sustracción de la Paralaje Solar) [19]. No obstante, esto nunca podría suceder en la misma parte del mundo habitado, ya que igualmente en ambas Oikoumenai, para aquellos situados directamente por debajo del Ecuador, la Máxima Paralaje de la Luna, ambas al Norte y al Sur, no exceden los 25' [20], y [respectivamente] para aquellos en el extremo Norte, o en el extremo Sur [de sus Oikoumene] la paralaje en la dirección opuesta no excede el 1º arriba mencionado, de modo que incluso en éste caso [por ej. tomando el Ecuador y los límites Norte o Sur] la suma de las Paralajes son aún más pequeñas en las regiones entre el Ecuador y el otro extremo [de cada Oikoumene], la imposibilidad comienza [a ser] cada vez mayor para tales regiones. Por lo tanto es imposible que el Sol sea eclipsado dos veces en un mes para los mismos observadores [situados] en cualquier lugar de la Tierra, o para diferentes observadores en la misma parte del mundo habitado. Esto fue lo que intentamos probar.

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Notas de referencia[editar]

  1. Ver HAMA 129-34. Pedersen 230-1 para ser útil está también resumido.
  2. Lo siguiente se refiere a la Fig. H, y, para los incrementos en movimiento, a la tabla Libro VI Capítulo 3. Para la Luna, DA = BC = 149;36º < 184;1,25º, y AD = CB = 210;24º > 184;1,25º. Para el Sol, BC = 138;38º < 184;1,25º, AD = 202;44º > 184;1,25º; DA = 157;16º < 184;1,25º; y CB = 221;22º > 184;1,25º. Es necesario que ambas condiciones sean cumplidas por ella [la Luna] para continuar que cuando la Posición Media de la Luna está sobre uno de los arcos de la Eclíptica (AB o CD), al comienzo del intervalo, la Luna estará al final sobre el otro [arco de la Eclíptica] (a una distancia de 184;1,25º).
  3. Omitiendo  (en el manuscrito D) en H485,22.
  4. Por ej. la Ecuación Solar es de -2;19º en una Anomalía Solar de 180º - (145;32 / 2)º, o 107;14º, y +2;19º en la posición simétrica de 252;46º. Las Longitudes Verdaderas correspondientes son 65;30º mayores, o alrededor de Virgo 20º y Aquarius 20º, cf. más adelante en éste capítulo.
  5. Ver al principio de éste capítulo (en la Fig. H) y Libro V final del capítulo 14. La cantidad es la suma del radio de la Luna y de la Sombra. En la Máxima Distancia es de 0;15,40º + (2 3/5 * 0;15,40)º = 0;56,24º.
  6. Los límites de la Eclíptica del Sol son, en Latitud, la suma del Radio del Sol (0;15,40º, Libro VI Capítulo 05 Fig. 6.1) y la Luna en su Distancia Media (media entre 0;15,40º, Libro V final del capítulo 14, y 0;17,40º, Libro VI Capítulo 05 Fig. 6.1, por ej. 0;16,40º). 0;15,40º + 0;16,40º = 0;32,20º. La distancia correspondiente desde el nodo es de 11 1/2 * 0;32,20º = 6;11,50º ≈ 6;12º. Entonces el arco aneclíptico es de (180º - 2 * 6;12º) = 167;36º.
  7. Es esencial leer (en el manuscrito D y el Ar)  en H490,16 en cambio de  ("el intervalo mayor de 5 meses"). El significado es "el intervalo de 5 meses Sinódicos Medios". El cambio para  fue probablemente realizado por alguno que comparó en  (H489,25), donde la frase está en orden sólo porque se refiere a los Meses Sinódicos Verdaderos. Sin embargo modo, por una confusión puramente mecánica entre  /  comparar la siguiente nota de referencia nro. 13
  8. Ver la nota de referencia anterior nro. 4.
  9. En 1 día 2 ¼ horas la Luna se mueve 14;24,42º en Longitud. 13;18º + 1;6º (de más arriba) = 14;24º.
  10. Es el resultado de multiplicar 29;31,50,8,20 días por 5. Más preciso podría ser 15 ⅔ horas.
  11. Los detalles del cálculo de éstas [paralajes] son dadas en el comentario de ¨Papo (Rome [1] I 225-9), quien encuentra 0;29º en cambio de 0;27º.
  12. Por ej. 180º + 2 * 6;12º. Cf. nota de referencia anterior nro. 6.
  13. Cf. nota de referencia anterior nro. 4. Aquí las longitudes están dadas por
    65;30º ± ½ * (203;45º - 4;42º) = Aquarius 25;58 ½°
    65;30º ± ½ * (203;45º - 4;42º) = Virgo 15;1 ½°
  14. seg. λ Luna en 1 día 5 horas = 15;55,17º. 13/12 * 14;40º = 15;53,20º.
  15. Leer  (en el manuscrito Ar) en cambio de  ("gran distancia") en H494,12. La lectura es garantizada ampliamente: Ptolomeo utiliza la Distancia Media de la Luna a través de toda ésta sección (cf. más arriba en éste libro); tomando la mayor distancia disminuye la paralaje (que aquí está en conflicto con el argumento). Numéricamente, desde la Tabla Libro V Capítulo 18, para una Distancia Cenital de 24º (la Máxima Distancia Cenital de la Eclíptica en el Ecuador terrestre) la Paralaje (la lunar menos la solar) en la Distancia Media es de 0;22,6º + ½ * 0;4,18º - 0;1,9º = 0;23,6º (asimismo en una Mínima Distancia ésta es de 0;22,6º + 0;4,18º - 0;1,9º = 0;25,15º, cf. al final de éste capítulo). Corregida por Manitius.
  16. Alguna verificación numérica insatisfactoria sobre ésto (utilizando las Tablas Manuales) se encuentra en el comentario de Papo (Rome [1] I 232-4).
  17. Como Ptolomeo implica, éstas dos condiciones no pueden mantener a ambas: la luna, para alcanzar su Máxima Paralaje, tiene que estar en el Perigeo del Epiciclo, aunque para generar el mes más corto (ver más abajo) tiene que estar en posiciones simétricas a ambos lados del Perigeo.
  18. La suma del Radio del Sol y de la Luna en su Mínima Distancia es de 0;33,20º (Libro VI Capítulo 05 Fig. 6.1). Ptolomeo redondea esto a 0;33º y lo duplica (dado que estamos tratando con dos eclipses).
  19. Esto ya fue demostrado por Hiparco, como lo es claro [lo explicado por] Plinio el Viejo, N H II 57, un pasaje que demuestra que Hiparco había anticipado a Ptolomeo en la investigación sobre el tema de los intervalos de los Eclipses Cf. HAMA 322. La palabra que he traducido "antípodas" es  ("[la gente en la parte] opuesta de la Tierra"), Ver LSJ s.v. 2. He eliminado  seg.  en H498,8. Esto podría significar "estar entre los límites de 0;25º y 1º", que no tiene sentido, ya que el límite menor es cero. La frase fue interpolada por alguien que no entendió el uso de , y tomó los 25' desde justo por debajo (sin sentido en este contexto).
  20. Cf. nota de referencia anterior nro. 15.