Almagesto: Libro VI - Capítulo 10

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{Determinación de los Eclipses Solares}[editar]

[1]

La correcta predicción de los Eclipses Lunares simplemente puede ser lograda según lo anterior, si los cálculos son precisamente llevados a cabo por el camino descrito. Sin embargo, los Eclipses Solares, con los que nos encargaremos próximamente, son mas complicados de predecir debido a la Paralaje Lunar. Haremos ello de la siguiente manera.

Determinamos el número de Horas Equinocciales por el cual el instante de la Sizigia Verdadera precede o continúa desde el mediodía en Alejandría.

Entonces, si la posición geográfica en cuestión, [por ej.] aquella la del lugar requerido, es diferente [de aquella], por ej. si ésta no se ubica por debajo del mismo Meridiano como el de Alejandría, sumamos o sustraemos la diferencia en longitud entre los dos Meridianos, expresados en Horas Equinocciales, y [por lo tanto] decidir cuántas muchas horas antes o después del mediodía la Sizigia Verdadera también ocurre en aquel lugar. Luego determinamos, primero, el tiempo de la Sizigia Aparente (que será aproximadamente la misma como en el Eclipse Medio) en la ubicación geográfica requerida, aplicando el método de cálculo de las Paralajes que explicamos previamente (Libro V Capítulo 19) [de la siguiente manera].

Entramos por la Tabla de los Ángulos y de los Arcos y por la Tabla de las Paralajes, utilizando [como argumentos] la Latitud apropiada, la distancia en horas desde el Meridiano, punto sobre la Eclíptica donde la conjunción ocurrió, y también la distancia de la Luna. Por lo tanto encontramos, primero, la Paralaje de la Luna a lo largo del gran círculo dibujado a través del Cenit y del centro de la Luna. Siempre sustraemos de ella ésta Paralaje Solar que está sobre la misma línea, y con el resultado determinamos, por el camino indicado, el componente de la Paralaje en Longitud por sí misma, que es calculada por medio del ángulo que encontramos [en la tabla] entre la Eclíptica y el gran círculo a través del Cenit. Siempre adicionamos a ésta [Paralaje Longitudinal] el incremento de la "epiparalaje" [(diferencia entre la primera y la segunda Paralaje)] correspondiente al número de Horas Equinocciales representadas por la Paralaje Longitudinal. Esta epiparalaje está determinada de la siguiente manera.

Tomamos la diferencia (determinada desde la misma tabla) entre la Paralaje correspondiente a la distancia Cenital original y la Paralaje correspondiente a la distancia Cenital después del paso del número de Horas Equinocciales [representadas por la Paralaje longitudinal]. Tomamos el componente longitudinal de ella por sí mismo, más una cantidad adicional (si ésta es significante) que es la misma fracción de ésta última ya que ésta última es la Paralaje [Longitudinal] original. [2].

Para la Paralaje total en Longitud, calculada por éste camino, le adicionamos la 1/12 ma. parte de sí misma, para tener en cuenta el Movimiento adicional del Sol, y convertir el total a Horas Equinocciales dividiéndolo por el Movimiento Horario Verdadero de la Luna en la Conjunción. Si la Paralaje Longitudinal que encontramos está hacia atrás [por ej. del orden] de los signos (cómo determinar esto lo explicamos previamente en el Libro V Capítulo 19 Fig. 5.16), sustraemos la cantidad en grados que hemos convertido en Horas Equinocciales desde la posición de la Luna, cómo determinamos previamente, en el momento de la Conjunción Verdadera, en Longitud, en Latitud y en Anomalía (cada una separadamente): esto nos da [las correspondientes] Posiciones Verdaderas de la Luna en el instante de la Conjunción Aparente, mientras el número de horas por sí mismo [resultando de los cálculos anteriores] nos da por cuanto la Conjunción aparente precede la Verdadera. Pero si la Paralaje Longitudinal que encontramos está hacia adelante [por ej. en el orden inverso] de los signos, contrariamente, adicionamos la cantidad en grados a la posición, como la determinada previamente, en el momento de la Conjunción verdadera, en Longitud, en Latitud y en Anomalía (cada una separadamente); y el número de horas nos dará la cantidad por la cuál la Conjunción aparente es posterior a la verdadera.

A continuación, utilizando los mismos métodos, determinaremos la distancia en Horas Equinocciales de la Conjunción Aparente desde el Meridiano, primero, que la Paralaje de la Luna está medida a lo largo del gran círculo a través de la Luna y del Cenit. Del resultado sustraemos la Paralaje Solar para el mismo argumento, y utilizamos éste resultado para determinar, como antes, (por medio del ángulo formado entre los círculos [de la Eclíptica y de Altitud (altura)] en aquel momento), la Paralaje Latitudinal [por ej. la Paralaje] a lo largo de un círculo ortogonal a la Eclíptica. Convertimos el resultado en una distancia a lo largo del círculo inclinado [de la Luna], por ej. lo multiplicamos por 12 [3]. Si el efecto de la Paralaje Latitudinal es hacia el Norte con respecto de la Eclíptica, adicionamos el resultado a la Posición Verdadera en [el argumento de] la Latitud determinada previamente en el momento de la Conjunción aparente, cuando la Luna está cerca del nodo ascendente, sino lo sustraemos cuando la Luna está cerca del nodo descendente. Contrariamente, si el efecto de la Paralaje Latitudinal es hacia el Sur con respecto de la Eclíptica, sustraemos la distancia derivada de la Paralaje desde la posición previamente determinada en [el Argumento de] la Latitud en el momento de la conjunción aparente, cuando la Luna está cerca del nodo ascendente, pero la sumamos cuando la Luna está cerca del nodo descendente.

De este modo obtenemos la cantidad del [argumento] de la Latitud aparente en el momento de la Conjunción aparente. Con ésta como argumento, entramos en las Tablas de los Eclipses Solares, y si nuestro argumento cae dentro del rango de los números en la primera de las dos columnas, podemos decir que allí ocurrirá un Eclipse Solar, y que su [Eclipse] Medio coincide aproximadamente con el instante definiendo la Conjunción aparente. Entonces colocamos [escribimos] separadamente hacia abajo las cantidades de los dígitos [magnitudes] y de los minutos de inmersión y emersión (egreso) correspondientes al argumento de la Latitud, derivado desde cada una de las dos tablas, luego entrar, con la distancia de la Luna en Anomalía desde el Apogeo (del Epiciclo) en la Conjunción aparente, dentro de la tabla de correcciones, tomamos el número correspondiente de los minutos, y tomamos la fracción correspondiente de la diferencia entre cada [par de] resultados que escribimos hacia abajo. En cada caso adicionamos el resultado al número derivado de la primer tabla. Los dígitos encontrados por éste procedimiento nos darán, nuevamente, la cantidad, en duodécimas partes del Diámetro del Sol, lo que aproximadamente será oscurecido en el Eclipse Medio. Incrementamos los minutos del recorrido [encontrado por éste procedimiento] para ambos [tramos, por ej. el de inmersión y el de emersión] por 1/12 ma. parte, para tener en cuenta el Movimiento adicional del Sol, y convertir el resultado dentro de Horas Equinocciales [dividiéndolo] por el Movimiento [Horario] Verdadero de la Luna. Por lo tanto tenemos la Longitud de ambas inmersiones y emersiones (egresos); esto es, no obstante, sobre la asunción que el [cambio en] la Paralaje no tiene un efecto sobre esos intervalos de tiempo.

De hecho hay ahora una desigualdad notable en estos intervalos, debido, no al Movimiento Anomalístico de las luminarias [4], sino a la Paralaje de la Luna. El efecto de esto es hacer que cada uno de los dos intervalos [el de inmersión y el de emersión], separadamente, sean siempre mayores que la cantidad derivada por el método anterior (de más arriba), y, generalmente, desiguales entre sí. No obviaremos tomar esto en cuenta, incluso si éste [efecto] es pequeño. Éste fenómeno se debe al hecho que el efecto de la Paralaje en el Movimiento Aparente de la Luna sea siempre generar la apariencia del movimiento que podría ser hacia adelante (si uno tuviera que pasar por alto el movimiento propio de la Luna hacia atrás). Supongamos, primero, que la Posición Aparente de la Luna está antes [por ej. hacia el Este] del Meridiano: entonces, como ésta va saliendo gradualmente más alto (por encima del Horizonte), su Paralaje hacia el Este continuamente se convierte en más pequeña con respecto al momento precedente, y por lo tanto su movimiento hacia atrás parece más lento. O suponer, segundo, que su posición aparente está después [por ej. hacia el Oeste del] Meridiano: entonces, nuevamente, ésta descendiente gradualmente [hacia el Horizonte], su Paralaje hacia el Oeste continuamente se va convirtiendo más grande con respecto [de aquellas] en el momento precedente, y por lo tanto, como antes, su movimiento hacia atrás parece más lento. Por ésta razón los intervalos en cuestión son siempre mayores que aquellos derivados por el simple procedimiento descrito. Además, la diferencia entre las Paralajes sucesivas [en iguales intervalos de tiempo] se vuelve mayor a medida que uno se acerca al Meridiano: por consiguiente aquellos intervalos [de inmersión y emersión] los cuales están más cerca del meridiano necesariamente deben volverse mas extendidos. Por esta razón, la única ubicación en la que el tiempo de la inmersión es aproximadamente igual al tiempo de emersión es cuando el Eclipse Medio ocurre precisamente al mediodía, para entonces el aspecto del movimiento hacia adelante resultado de la Paralaje es alrededor de la misma a ambos lados [del Eclipse Medio]. Pero cuando el Eclipse Medio ocurre antes del mediodía, entonces el intervalo de la emersión está más cerca del Meridiano y [por lo tanto] mayor, mientras que si el Eclipse Medio ocurre después del mediodía, entonces el intervalo de inmersión está más cerca del Meridiano y es más extenso.

Entonces con el fin de corregir los intervalos de tiempo para éste efecto, [primero] determinamos, por el camino explicado, la Longitud no corregida de cada uno de los intervalos en cuestión, y la Distancia Cenital en el Eclipse Medio. Supongamos, por ejemplo, que cada intervalo es de una hora equinoccial, y la Distancia Cenital es de 75º. En la Tabla de las Paralajes buscamos los minutos de la Paralaje correspondiente al argumento de 75º (por ej. la Máxima Distancia de la Luna, para lo cuál uno toma las entradas en la tercer columna). Encontramos [entonces] 52', correspondientes a los 75º. Dado que, por Hipótesis, el intervalo de tiempo de ambas inmersión y emersión, en la [Distancia] Media, es de 1 hora equinoccial, o de 15 grados de tiempo, sustraemos esos 15º de los 75º de la Distancia Cenital, y encontramos los minutos de la Paralaje en la misma columna correspondiente al resultado 60º, [a saber], 47'. Por lo tanto el desplazamiento hacia adelante resultante de la Paralaje en la posición (promedio) más cercana [5] al meridiano llega a los 5'. También sumamos los [15º] a los 75º, y encontramos en la misma columna los minutos de la Paralaje total correspondiente a los 90º resultantes, 53 ½'. Por lo tanto aquí el desplazamiento hacia adelante resultado de [la Paralaje] en la posición más cercana al Horizonte es de 1 ½'. Tomamos los componentes longitudinales de esos incrementos que hemos encontrado, y los convertimos [separadamente] cada uno dentro de una fracción de una hora equinoccial por medio del Movimiento Verdadero de la Luna, [ya] descrito, y luego sumamos cada resultado al intervalo medio apropiado, calculado simplemente, de la inmersión y de la emersión; esto es, adicionamos el mayor al intervalo limitado por la posición más cercana al Meridiano, y el menor al intervalo limitado por la posición más cercana al Horizonte. Es obvio que la diferencia entre los dos intervalos en el ejemplo de arriba es de 3 ½', o por cerca de 1/9 na. [parte] de una hora equinoccial, que es el tiempo tomado por la Luna en el Movimiento Medio en atravesar ésta distancia [6].

Sólo queda por cumplir con la sencilla tarea, si deseamos, de convertir el tiempo en Horas Equinocciales en cada intervalo dentro de Horas de Estación en particular [según la Latitud y la fecha dada], por [medio] del método explicado en la parte inicial de nuestro tratado (Libro II Capítulo 9).

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Notas de referencia[editar]

  1. Ver Cálculos, Ejemplo 12.
  2. Por ej. supongamos la Paralaje Longitudinal original de 1(1): esto nos da una corrección al tiempo de la Conjunción (según el método de cálculo que vemos debajo), y por lo tanto una nueva Distancia Cenital, que conducirá a una nueva Paralaje longitudinal 1(2). La regla de Ptolomeo es: 1(2) - 1(1) = e. Entonces la "epiparalaje" está dada por e´ = e + e * (e / 1(1)), y la Paralaje Longitudinal final por 1 = 1(1) + e´ = 1(1) + (1(2) - 1(1)) + (1(2) - 1(1))^2 / 1(1).
  3. De la práctica inicial de Ptolomeo (por ej. Libro VI Capítulo 5 nota de referencia nro. 26) uno puede esperar "11 ½", y es hallado verdaderamente en la tradición Árabe (en los manuscritos Q y Ger). Sin embargo, la tosca aproximación para 1 / Seno 5º es también insignificante cuando uno considera que la Paralaje Latitudinal es generalmente pequeña.
  4. Por ej. el hecho de que la Velocidad Verdadera de ambos, del Sol y de la Luna, no se mantienen constantes sobre el curso del Eclipse. cf. final del Libro VI Capítulo 9.
  5. . Si no hay una interpolación, debe significar, tomando la posición obtenida aplicando los 15º del movimiento de los cielos en 1 hora directamente a la Distancia Cenital. De hecho [estos] 15º es el máximo cambio posible en la Distancia Cenital en 1 hora Equinoccial. Cf. nota de referencia siguiente.
  6. Aquí el procedimiento de Ptolomeo es, por decir poco, muy tosco. En cambio del cálculo de las presentes Distancias Cenitales de los cuerpos en el comienzo y al final del Eclipse, simplemente aplica los 15º del movimiento de una hora de los cielos a la Distancia Cenital en el Eclipse Medio. Encontrando la Paralaje Total desde la Distancia Cenital, la aplica como si ésta fuera la Paralaje Longitudinal. El procedimiento es quizás explicable ilustrando el máximo efecto posible de éste factor: el Eclipse Solar más largo posible es de alrededor de 2 horas; para tomar la Máxima Diferencia Paraláctica entre los dos intervalos tenemos que tomar la Distancia Cenital tan grande como sea posible. Permitiendo los 15º de movimiento horario (cf. nota de referencia anterior), los 75º es la Máxima Distancia Cenital que permite que el Eclipse sea totalmente visible. La Paralaje Total es el máximo valor posible de la Paralaje Longitudinal. Para ser consistente, no obstante, Ptolomeo debería haber tomado la Luna en su Mínima Distancia (para lo cual la diferencia entre las Paralajes es mayor), por ej. col. 3 + col. 4 en el Libro V Capítulo 18. Esto podría haberle dado correcciones de 6' y 2', con una diferencia de 4' (aún solo con 1/8 ava. parte de una hora).