Almagesto: Libro V - Capítulo 14

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{Sobre la proporción de los Diámetros Aparentes del Sol, de la Luna y de la sombra en las Sizigias}[editar]

[1]

Ahora que hemos demostrado las distancias de la Luna de la manera anterior, la secuela apropiada es también demostrar aquellas las del Sol. Esto también puede ser fácilmente realizado geométricamente agregando a las distancias de la Luna en las Sizigias, si nos son dadas, los tamaños de los ángulos formados en el ojo [del observador] en tales Sicigias [y] por los diámetros del Sol, de la Luna y de las sombras.

Desde varios de los métodos utilizados para resolver éste último problema, hemos rechazado aquellas demandas de medir las luminarias haciéndolo [por medio del flujo del] agua o por el tiempo [de los cuerpos] que le toma salir en el Equinoccio [2], dado que tales métodos no pueden brindarnos un resultado para el asunto en mano. En cambio, construimos también un tipo de Dioptra que Hiparco describe, [y] que utiliza un listón de cuatro codos, [3] y, observando con éste, encuentra que el diámetro del Sol siempre subtiende aproximadamente el mismo ángulo, siendo una diferencia no notable debida a la [variación en] su distancia, sino que la Luna subtiende el mismo ángulo como el Sol sólo cuando éste está en su mayor distancia de la Tierra (por ej. en el Apogeo del Epiciclo) en la Luna llena, en contradicción con la Hipótesis de mis predecesores, [quienes asumieron que ésta subtiende el mismo ángulo como el del Sol en la Luna Llena] cuando éste está en su distancia media [4]. Además, encontramos que los ángulos por sí mismos son considerablemente más pequeños que aquellos tradicionalmente aceptados [5]. Sin embrago nuestro cálculo de [éstos] últimos [ángulos], no [observados mediante] la medición con la Dioptra, sino sobre ciertos Eclipses lunares. También fue posible determinar fácilmente con la Dioptra, [que hemos] construido, ambos diámetros [del Sol y de la Luna] cuando subtienden el mismo ángulo (ya que tal determinación no implica ninguna medida actual), la cantidad [del ángulo subtendido] vista por nosotros es completamente dudosa, [6] ya que la medición implica el posicionamiento de la anchura [de la planchuela] que cubre [el cuerpo siendo observado] sobre la longitud del listón, que va desde el ojo hasta la planchuela, puede ser imprecisa. No obstante, cada vez que fuera determinada la Luna en su distancia mayor, cuando subtiende el mismo ángulo en el ojo como [lo hace] el Sol, calculamos el tamaño del ángulo que ésta subtiende desde las observaciones de los Eclipses lunares en los que la Luna estuvo cerca de aquella distancia [mayor], y por consiguiente obtenemos inmediatamente el tamaño del ángulo subtendido por el Sol. Explicaremos en éste [capítulo] el método del procedimiento por medio de dos eclipses [ya] utilizados.

En el quinto año de [la era] Nabopolasar, que es el 127 avo. año desde [la era] Nabonassar, el 27-28 de Athyr [III] en el calendario Egipcio [21-22 de Abril de -620], al final de la décimoprimera hora en Babilonia, la Luna comienza a ser eclipsada; el máximo oscurecimiento fue de ¼ del diámetro desde el Sur. Ahora, dado que el comienzo del Eclipse ocurrió 5 horas de estación después de la medianoche, y el Eclipse Medio cerca de las 6 [horas de estación después de la medianoche], que corresponde a las 5 5/6 horas equinocciales en Babilonia en aquella fecha (la posición verdadera del Sol estuvo en Aries 27;3º), es claro que el Eclipse Medio, que [ocurre] cuando la mayor parte del diámetro está inmerso en la sombra, ocurrió 5 5/6 horas equinocciales después de la medianoche en Babilonia, y exactamente 5 [horas después de la medianoche] en Alejandría. [7].

El momento desde la época [de Nabonassar] es de

126 años Egipcios 86 días 17 horas equinocciales recontadas simplemente
126 años Egipcios 86 días 16 3/4 horas equinocciales en días solares medios [8].

Por lo tanto la posición de la Luna estuvo [según] lo siguiente:

la Posición Media en Longitud: Libra 25;32º
la Posición Verdadera en Longitud: Libra 27;5º
la distancia [en Anomalía] desde el Apogeo del Epiciclo: 340;7º
la distancia [en Latitud] desde el límite Norte sobre el círculo inclinado: 80;40º.

Por lo tanto es claro que cuando el centro de la Luna está cerca de su distancia mayor a 9 ⅓º distante del Nodo, medido a lo largo de su círculo inclinado, y el centro de la sombra yace sobre el gran círculo dibujado a través del centro de la Luna en ángulos rectos hacia el círculo inclinado (que es la ubicación en la que ocurre el mayor oscurecimiento), ¼ del diámetro de la Luna está inmerso en la sombra.

Nuevamente, en el decimoséptimo año de Cambises II, que es el 225 to. año desde Nabonassar, 17/18 de Phamenoth [VII] en el calendario Egipcio [16-17 de Julio de -522], 1 hora [equinoccial] antes de la medianoche en Babilonia, la Luna fue eclipsada mitad de su diámetro desde el Norte. Por lo tanto éste Eclipse ocurrió cerca de 1 5/6 horas equinocciales antes de la medianoche en Alejandría [9]. El instante desde la época [Nabonassar] es de

224 años Egipcios 196 días 10 1/6 horas equinocciales recontadas simplemente
224 años Egipcios 196 días 9 5/6 horas equinocciales recontadas en forma precisa

(la posición del Sol estuvo en Cancer 18;12º).

Por lo tanto la posición de la Luna estuvo en lo que sigue:

la Posición Media en Longitud: Capricornus 20;22º
la Posición Verdadera en Longitud: Capricornus 18;14º [10]
la distancia [en Anomalía] desde el Apogeo del Epiciclo: 28;5º [11]
la distancia [en Latitud] desde el límite Norte sobre el círculo inclinado: 262;12º.

Por lo tanto es claro que, cuando el centro de la Luna, está nuevamente cerca de su mayor distancia, [se ubica a] 7 4/5º desde el nodo, medido a lo largo de su círculo inclinado, y el centro de la sombra tiene la misma posición relativa a él como antes, la mitad del diámetro de la Luna está inmersa en la sombra.

Pero, cuando el centro de la Luna está a 9 ⅓° del nodo a lo largo del círculo inclinado, está a 48 ½' desde la Eclíptica a lo largo del gran círculo dibujado a través de él [(centro lunar)] en ángulos rectos hasta el círculo inclinado [la órbita]; y cuando está a 7 4/5º desde el nodo a lo largo del círculo inclinado, está a 40 ⅔' desde la Eclíptica a lo largo del gran círculo dibujado a través de él en ángulos rectos hasta el círculo inclinado [12]. Por lo tanto, dado que la diferencia entre [los tamaños de] los dos Eclipses comprenden ¼ del diámetro de la Luna, y la diferencia entre las distancias arriba [descritas] del centro de la Luna desde la Eclíptica (por ej. desde el centro de la sombra), comprende [48 ½ - 40 ⅔ =] 7 5/6', es obvio que el diámetro de la Luna subtiende un gran arco del círculo de [4 * 7 5/6 =] 31 ⅓'.

Desde los mismos datos es fácil ver que el radio de la sombra en la misma distancia mayor de la Luna subtiende 40 ⅔'. Cuando el centro de la Luna estuvo a ésta distancia de [40 ⅔'] desde el centro de la sombra, [se encontraba] tocando el filo de la circunferencia de la sombra, porque [en ésta ubicación] mitad del diámetro de la Luna fue eclipsada. Siendo insignificantemente menor que 2 3/5 tas. veces el radio de la Luna, que es de 15 ⅔'. Los valores que derivamos de las cantidades de arriba desde un número de observaciones similares están de acuerdo con ellos [13]; por lo tanto los utilizamos, ambos en otras partes de la teoría, concernientes a los Eclipses [14], y en la siguiente demostración de la distancia solar, la cual estará [contenida] a lo largo de las mismas líneas como aquellas seguidas [escritas] por Hiparco. Una futura presuposición [de esta demostración] es que los círculos del Sol, de la Luna y de la Tierra cubiertos por los conos no son notablemente menores que los grandes círculos sobre sus esferas, y [que] los diámetros también [no (son) notablemente menores que los diámetros del gran círculo] [15].

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Notas de referencia[editar]

  1. El encabezado del capítulo es ubicado, por varios de los manuscritos griegos (y por el texto de Heiberg), antes de H416,20. Yo lo he transferido aquí (antes de H416,9), siguiendo el manuscrito Arábigo (cf. también el manuscrito D, que lo tiene en el margen superior), como una interrupción más apropiada. Cf. ver la Introducción ("Que es el Almagesto y que no es"). Sobre éste Capítulo 14 ver HAMA 103-8, Pedersen 207-9 (con las correcciones Toomer [3] 140, 143, 149).
  2. De acuerdo a Papo ad loc. (Rome [1] I 87-9) "los astrónomos más antiguos" utilizaron Relojes de Agua (Clepsidra) para medir el tiempo tomado por el Sol en cruzar el horizonte, procedimiento criticado por Hiparco. Él se refiere a un trabajo perdido de Herón, , sobre el cual ver también a Proclo, Hypotyposis IV 73-6 (ed. Manitius p. 120-2). Heiberg correctamente acentúa  (desde el abstracto ). No hay evidencia de la existencia de , "vasija para la medición del flujo del agua", conjeturados por LSJ s.v. En el correspondiente pasaje de Proclus p. 120 línea 14 debería leerse . Cf. también ver HAMA 103 n.1.
  3. Hay descripciones antiguas de éste instrumento por Papo en su comentario ad loc. (Rome [1] I 90-2) y por Proclus, Hypotyposis IV 87-96 (ed. Manitius pp. 126-30). Ver Price, "Instrumentos de Precisión" 591, y, para una moderna literatura, ver HAMA 103 n.2. La característica esencial es [que es] una planchuela ( , H417,22-3) que puede ser movida a lo largo del listón graduado hasta que ésta parece cubrir exactamente el objeto siendo observado por el ojo ubicado al final del listón.
  4. Fue demostrado por Swerdlow, "Hiparco" 291-8, donde Hiparco fue uno de aquellos quienes sostuvieron esto. Una consecuencia importante de ésta Hipótesis es que los Eclipses Solares Anulares llegan a ser posibles, mientras que bajo Ptolomeo son imposibles [de ocurrir].
  5. Hiparco (ver el Libro IV Capítulo 9) asume que la Luna en su distancia media subtiende unas 650 ma. partes de un círculo, o cerca de 0;33,14º; por lo tanto su figura para el diámetro del Sol fue la misma. Ptolomeo (debajo) encuentra que cuando la Luna y el Sol tienen el mismo diámetro aparente (en la distancia máxima) éste es de 0;31,20º, considerablemente menor. Debe ser lo que él quiere decir aquí. Sin embargo, el valor del diámetro lunar en su distancia media, [es de] 0;33,20º, siendo insignificantemente diferente según Hiparco".
  6. Eliminando  en H417,23, para ésta [palabra] no le puedo agregar un significado (no puede entenderse [como] "muy laborioso", como Manitius traduce, y ni tampoco, si puediera [traducirse], sería cierto). La variante  hallada en el manuscrito D, parte de la tradición Árabe (L) y en Papo (Rome [1] I 93,21) puede ser traducida [como] ("que implica múltiples posicionamientos"), aunque no es verdadero que observando la Luna se requiriera más de un posicionamiento de la planchuela. A no ser que la corrupción sea muy acentuada (por ej.  la ha reemplazado con una palabra significando "delicada") uno debe asumir que  fue un glosario sin sentido intentando explicar porqué el proceso fue impreciso, y que éste fue corrupto al ininteligible  por atracción a 
  7. Oppolzer no. 901: el Eclipse Medio [ocurrió a las] 02:38 hs. (≈ 4 ½ después de la medianoche en Alejandría), magnitud 1,6 dígitos. P. V. Neugebauer, en su Spezieller Kanon, da cerca de 5 ¼ hora después de la medianoche (en Babilonia) para el Eclipse Medio, magnitud 2,1 dígitos.
    Fecha y horas calculadas con un programa de computación desde la observación realizada por los Babilonios (actual Bagdad) del siguiente:
    Eclipse lunar
    Fecha Tipo Eclipse 1° Contacto con la Umbra Eclipse Medio Último Contacto con la Umbra Duración de la Totalidad Tiempo Total del Eclipse % Oscurecimiento - Magnitud Luna en Carta
    22 de Abril de 621 a. C. (-621) Parcial 03:53:49 hs. 04:40:07 hs. 05:26:25 hs. ------ 01:32:36 hs. 15 % - 0,1468 Scorpius
    Almagesto Observación - 22.04.621 a. C.

    Nota del traductor al español: carta y datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico".

  8. La ecuación del tiempo para una longitud solar de Aries 27º es alrededor de -20 minutos mas bien que -15 minutos.
  9. Oppolzer no. 1056: el Eclipse Medio 21;0 hs. (≈ 23:00 hs. en Alejandría), magnitud 6,1 dígitos. P. V. Neugebauer da para el Eclipse Medio cerca de 23,6 hs. en Babilonia, magnitud 6,1 dígitos. El tiempo utilizado por Ptolomeo es claramente erróneo (aunque las posiciones calculadas del Sol y de la Luna le deben haber parecido confirmar [su observación]), pero el origen de su error también es complicado discutirlo aquí.
    El mejor tratamiento está en Britton [1] 81-4. Para éste Eclipse (de aquellos solamente preservados en el Almagesto) hay también un extenso reporte cuneiforme (publicado por Kugler, SSB I p.71). De acuerdo con A. J Sachs éste texto debería ser traducido del siguiente modo: "Año VII, Mes IV, noche del decimocuarto [día], un eclipse "total" lunar tomó lugar [sólo con] una pequeña [parte] remanente [no eclipsado] a las 1 ⅔ horas doble de la noche. El viento Norte sopló". Aquí el momento está de acuerdo con los cálculos modernos (y en desacuerdo con Ptolomeo), pero la magnitud está en desacuerdo con ambos.
    Fecha y horas calculadas con un programa de computación desde la observación realizada por los Babilonios (actual Bagdad) del siguiente:
    Eclipse lunar
    Fecha Tipo Eclipse 1° Contacto con la Umbra Eclipse Medio Último Contacto con la Umbra Duración de la Totalidad Tiempo Total del Eclipse % Oscurecimiento - Magnitud Luna en Carta
    16-17 de Julio de 523 a. C. (-523) Parcial 21:47:47 hs. 23:10:31 hs. 00:33:14 hs. ------ 02:45:27 hs. 53 % - 0,5288 Capricornius
    Almagesto Observación  - 16.07.523 a. C.

    Nota del traductor al español: carta y datos elaborados con mi software de aplicación "M1 Sistema Astronómico".

  10. Posiblemente uno debería leer 18;11º con el manuscrito D1 (calculado [como]: 18;10).
  11. Ptolomeo aquí ha cometido un error de cálculo: el correcto es seg. α = 27;54º. Obviamente, (solamente aquí) ha calculado para el instante no corregido de 10 1/6 hs. Sin embargo, no ha habido serias consecuencias, puesto que es simplemente la intención de demostrar que la Luna está cerca del Apogeo del Epiciclo. La discrepancia de la Posición Verdadera no puede ser explicada por éste error (ver la nota de referencia anterior).
  12. Sobre los cálculos de éstas cantidades ver HAMA 107. Parece probable que ellos, propiamente [dicho], las han calculado con un triángulo esférico con el ángulo recto en la órbita de la Luna (mas bien que desde un plano triangular o desde alguna de las otras aproximaciones allí sugeridas). Aunque los cálculos son imprecisos: Ptolomeo debería haber determinado 48 ¾' y 40 5/6' respectivamente. Cálculos similares con la Luna en el Perigeo del Epiciclo ver el Libro VI Capítulo 5 Fig. 6.1.
  13. Aunque el procedimiento de Ptolomeo para hallar los diámetros aparentes de la Luna y de la sombra, es elegante y teóricamente correcto para ambos, sufre de serias desventajas prácticas. Ver HAMA 106-8 sobre esos [diámetros], y las imprecisiones involucradas en los cálculos actuales.
  14. Referencia al Libro VI Capítulos 5-7 y al Libro VI Capítulo 11.
  15. Por ej. en la Fig. 5.12 los conos desde los puntos N y X cubriendo las Esferas del Sol (ABG), de la Luna (EZH) y la de la Tierra (KLM) tienen sus bases (los círculos sobre AG, EH y KM) que no son sensiblemente menores que los grandes círculos en aquellas esferas: por lo tanto AG, EH y KM pueden ser tratados como diámetros de las esferas. Ésta simple aproximación es completamente justificada por la magnitud de las distancias de los cuerpos comparados con sus diámetros.