Almagesto: Libro II - Capítulo 03

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{Como encontrar la Altura del Polo, y viceversa, si las mismas cantidades son dadas}[editar]

Dada nuevamente la misma cantidad [por ej. la longitud del día más largo], sea [nuestro] próximo problema, encontrar la elevación del polo siendo el arco BZ del meridiano [en la Fig. 2.1]. Ahora, en la misma figura,

Cuerda arco 2 * EΘ / Cuerda arco 2 * ΘA = (Cuerda arco 2 * EH / Cuerda arco 2 HB) * ( Cuerda arco 2 * BZ / Cuerda arco 2 * ZA). [M.T.II].

pero Arco 2 * EΘ = 37;30º,
entonces Cuerda arco 2 * EΘ = 38;34,22p,
y Arcos 2 * ΘA = 142;30º,
entonces Cuerda arco 2 * ΘA = 113;37,54p.
además Arco 2 * EH = 60º,
entonces Cuerda arco 2 * EH = 60p,
y Arco 2 * HB = 120º,
entonces Cuerda arco 2 * HB = 103;55,23p.

en consecuencia

Cuerda arco 2 * BZ / Cuerda arco 2 * ZA = (38;34,22 / 113;37,54) / (60 / 103;55,23) ≈ 70;33 / 120.

y nuevamente Cuerda arco 2 * ZA = 120p,
entonces Cuerda arco 2 * BZ = 70;33p.
en consecuencia Arco 2 * BZ = 72;1º
y Arco BZ ≈ 36º.

Para hacerlo [en forma] contraria, sea BZ nuevamente en la misma figura [Fig. 2.1], sea dado el arco de la elevación del polo, siendo observado de 36º. Sea el problema hallar la diferencia entre el día más corto o el más largo con el día equinoccial, por ej. el arco 2 * EΘ.

Ahora, desde las mismas consideraciones,

Cuerda arco 2 * ZB / Cuerda arco 2 * BA = (Cuerda arco 2 * ZH / Cuerda arco 2 HΘ) * (Cuerda arco 2 * ΘE / Cuerda arco 2 * EA). [M.T.II].

pero Arco 2 * ZB = 72º
entonces Cuerda arco 2 * ZB = 70;32,3p,
y Arcos 2 * BA = 108º,
entonces Cuerda arco 2 * BA = 97;4,56p.
además Arco 2 * ZH = 132;17,20º, entonces Cuerda arco 2 * ZH = 109;44,53p,
y Arco 2 * HΘ = 47;42,40º,
entonces Cuerda arco 2 * HΘ = 48;31,55p.

en consecuencia

Cuerda arco 2 * ΘE / Cuerda arco 2 * EA = (70;32,3 / 97;4,56) / (109;44,53 / 48;31,55)

= 31;11,23 / 97;4,56
≈ 70;33 / 120.
pero Cuerda arco 2 * EA = 120p,
en consecuencia Cuerda arco 2 * EΘ = 38;34p.
en consecuencia Cuerda arco 2 * EΘ ≈ 37;30º,
o 2 ½ horas equinocciales [1].

Lo que se ha requerido para examinar.

Del mismo modo, el arco EH del horizonte puede ser determinado. Para

Cuerda arco 2 * ZA / Cuerda arco 2 * AB = (Cuerda arco 2 * ZΘ / Cuerda arco 2 * ΘH) * (Cuerda arco 2 * HE / Cuerda arco 2 * EB), [M.T.I].

y (Cuerda arco 2 * ZA / Cuerda arco 2 * AB) es un tamaño dado,
y entonces (Cuerda arco 2 * ZΘ / Cuerda 2 * ΘH),

Entonces, ya que el arco EB es dado, entonces es [igual a] la cantidad del arco EH.

Es obvio que si suponemos que H sea, en cambio del lugar del Solsticio de invierno, algún otro grado de la eclíptica, por un razonamiento similar ambos arcos EΘ y EH serán dados, dado que ya tenemos listo el arco del meridiano intersecado entre la Eclíptica y el Ecuador para cada grado de la eclíptica en la “Tabla de la Inclinación (de la Eclíptica)”: éste arco [2] corresponde al HΘ [en Fig. 2.1.].

Sigue inmediatamente que aquellos puntos de la eclíptica cortada por el mismo círculo paralelo, por ej. los puntos equidistantes desde el mismo solsticio, cortan arcos del horizonte [entre la Eclíptica y el Ecuador] siendo iguales y sobre el mismo lado del Ecuador. También ellos hacen [que] la longitud del día [sea] igual a la de aquel día [en el punto correspondiente], y la longitud de la noche sea igual a la de aquella noche [correspondiente].

Igualmente sigue que los puntos sobre [la eclíptica] cortan círculos paralelos por igual, esto es, puntos equidistantes desde el mismo equinoccio, arcos del horizonte cortados siendo iguales, pero sobre lados opuestos del Ecuador. Estos hacen también que la longitud del día sea igual a la longitud de la noche en el punto opuesto [correspondiente], y la longitud de la noche sea igual a aquella del día [correspondiente] .

En la figura ya dibujada [ver Fig. 2.2], pusimos a K como el punto donde el círculo paralelo es igual al paralelo a través de H cortando el semicírculo BED del horizonte; dibujamos los arcos HL y KM de los círculos paralelos: estos serán, claramente, iguales y opuestos. Dibujamos a través de K y del polo Norte el cuadrante [del gran círculo] NKX. Luego

Arco ΘA = arco XG (arco ΘA // arco LH, y arco XG // arco MK).

en consecuencia

Arco EΘ = arco EX (complementarios [del arco ΘA y arco XG]).

Entonces, en los dos triángulos esféricos similares [3] EHΘ y EKX tenemos dos pares de lados iguales, EΘ hacia EX, y HΘ hacia KX [4], y siendo ángulos rectos los [ángulos] Θ y X, entonces la base EH es igual a la base KE.

Fig. 2.2
Fig. 2.2
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Notas de referencia[editar]

  1. Para conseguir éste hermoso resultado, ha habido un redondeo selectivo en diferentes etapas de éste cálculo. Un cálculo preciso del arco 2 * E podría dar (al minuto más cercano) de 37;29º.
  2. Leer  (en el manuscrito D) en cambio de  en H95,18, y  (en los manuscritos D y L, adoptada por Manitius), en cambio de  en H95,22.
  3. La palabra que Ptolomeo utiliza para el “triángulo esférico”, , estuvo de acuerdo con Papo “Synagoge VI 2”, Hultsch p. 476, 16-7, utilizado [previamente] por Menelao.
  4. El arco HΘ = arco KX dado que ellos son las declinaciones de los puntos equidistantes desde un Equinoccio.